6有限长单位脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计

1、第六章有限长脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计本章主要内容线性相位FIR数字滤波器的特点用窗函数法设计FIR滤波器用频率采样法设计FIR滤波器线性相位数字滤波器的实现方法1:设计满足幅度指标要求的IIR滤波器,再加线性相位校正网络（如全通网络）；设计复杂，成本高;方法2：用FIR滤波器的设计方法，幅度特性满足技术要求，又保证严格的线性相位。6.1线性相位FIR数字滤波器的特点h(n)是FIR滤波器的单位脉冲响应，长度为N,则其系统函数为:NH二工 h(n)z'nn=00收敛域包括单位圆；o z平面上有个零点;是阶极点；特点：FIR滤波器永远稳定和容易实现线性相位一、线性相位条件对于长度

2、为N的h(n),传输函数为:NH(ejG)=工 h(n)e-ja)n =H (co” 严n=0h(o)称为幅度函数，e(co)称为相位函数注意：-H(co)为3的实函数，可能取负值; IH(eJ-)淋为幅度响应，总是正值1、什么是线性相位线性相位是指0（O）是3的线性函数，即:6(3)= TCO, P为常数;第一类线性相位0(co)=0oTCO, %是起始相位但上两种情况都满足群时延是一个常数dco2、第一类线性相位条件2、第一类线性相位条件h(n)是以(N-l)/2偶对称实序列，即:h(n) = h(N-n-l)N为奇数的情况h(n)N-l2N为偶数的情况3、第二类线性相位条件h(n)是以(

3、N-l)/2奇对称实序列，即：h(n) = - h(N_n_l)3、第二类线性相位条件3、第二类线性相位条件h(n)h(n)110N-n2N为偶数的情况N为奇数的情况4、第一类线性相位特点一（N加一 1） 丿(HeJCO) = e"龙 g)cos( n=O2)力N-lA-lH(z) =工 乙 11 - V Zz(N-卅 一 1)厂"=/z(m)zn=0厶"兀=°n?=0N_=严刊工h(m)F = pg'H(小m=01 N_n_ v-ivN-lN_H2心)L+hF*)山厂+广2 go怎 2将se抑代入上式，得到：4、第一类线性相位特点HO) = f

4、 /z(m)cos(一仪二&(69)= (7V - 1)0第二类线牲相位条件证明第二类线牲相位条件证明N-lN-lN_H=工 h(n)z-n = -E h(N - n -1)7"= _工 h(m)z(N，nl)第二类线牲相位条件证明n=0m=0N=-厂心)工 h(m)zm = Z(Nl)H(z)n=0i N-l_N- y-iH(z)=牙工 h(n)z'，J -z(Nl)zn= z 2 工L n=0«=01 -心 hWz 2N1n乙2 <z=e js代入上式，得到:_丿匕舁-1N _ H(eJC0) =-je 2 工 /2(n)sina>(n77=

5、0 2)1柏住函数导 塢丈 他sin（上二L”）n=O21兀&(劲=(N 1血+ 第一类相位函数条件山(n)偶对称第二类相位函数条件:h(n)奇对称如)=一(N 1)。2二、线性相位FIR滤波器幅度函数的特点1、h(n)=h(N-n-l), N二奇数由前面推导的幅度函数H )为：匕N 1H(3)=2 /1(71)COS(77)/n=02特点： h(n)对(N-l)/2偶对称，余弦项也对(N-l)/2偶对称；以(N-l)/2为中心，把两两相等的项进行合并，因N为奇数，余下中间项n=(N-l)/2H(co) #(号)+(AT/n=02A(w)cos(az-N_"T")q

6、令 m=(N-l)/2-n=h(N-l2(Nl)/2)+ zm=l-772)cos(N-1)/2=Y a (n) cos 伽n=0N 1tv 1N 1W"T2,3,，丁其中 a(0) = /?( 2)，。(兀)=2/?(厂(N_l)/2H (co)=工 an)coscDnn=0幅度函数特点: 式中coscon项对co =0,兀，2兀皆为偶对称，则幅度特性对3 =0, 兀，2兀是偶对称的。(2)可实现所有滤波特性(低通、高通、带通、带阻)。2、h(n)=h(N-n-l), N=偶数推导情况和前面N为奇数相似，不同点是由于N为偶数，Hs(co) 中没有单独项，相等的项合并成N/2项。上-

7、1nn ?n H(co) G)cosS)"=工 2h(n) cos o)(一 n)77=02/7=o2令 m=N/2-nN/2=zmN12h(m)cos®(m )N/2工 b(n) cosco(n -其中：NNb(n) = 2h(-n),n = 1,2,-n=严）N/2H(co)附)COS(X)0z) n=2当o=冗时，故H （冗）=0,即H在4-1处，有一零点； 由于cosco（n-）对w=tc奇对称，所以H（3）在3 =兀呈奇对称;（3）用这种滤波器设计方法不能实现高通、带阻滤波器；3、h(n)=-h(N-n-l), N二奇数 由前面推导的幅度函数可得:N1H(co)

8、= h(n)sina)(77=0由于h(n)=-h(N-n-l),当n=(N-l)/2时:N -1N -1N -1 K r/xT 1 ah( ) = -h(N-1) =*h(N-l)/2=0厶厶厶h(n)和正弦项都对(Nl)/2奇对称，相同项合并，共合并(N-l)/2项。(N-3)/2H=Jh(n) Sing( 口 - n)令m=(Nl)/2nn = 02(Nl)/2二工 c()sin 伽c(n) = 2/?(2n=(N1)/2H(co)=工 c(n) sin conn-幅度函数H（3）在3 =0,仏2兀呈奇对称。H（3）在3=0、兀、2兀处值为0,即H零点在卩±1处，只能 实现带通

9、滤波器；4 h(n)=-h(N-n-l), N=偶数N-lN1H (co) = 力()sin|/y(n=0J2-n) =2/z(n) sin/?=0令：m=N/2-n,则有：N【2nH(co)=工 2/z(m) sin(D (m )m=''N/2=> d(n)sina)(n)n=2d(n) = 2/i(y ), = 1,2,3 £N/2H(o)二工n-J(n)sin(y(n-)幅度特点:I H(fiO)由于sin3(m%)在3=0、2兀处都为0，因此H (co)在3=0, 2兀处也 为0, H在z"处为零点；不能实现低通、带阻滤波器。由于sinco(n

10、-)在3 =0、2兀处都呈奇对称，对® =兀呈偶对称， 故幅度函数H(co)在3 =0, 2兀也呈奇对称，在3 =兀处呈偶对称。三、零点位置第一类和第二类线性相位的系统函数综合起来用下式表示:表明: 如果z=Zi是H的零点，则z=zi也是H的零点。由于h(n)为实序列，零点必定共轨成对。则呼和(窣尸也是H的零点；即H的零点必定互为倒数的共轨对。分析: 当勺不在实轴上，不在|刃=1上则零点 是互为倒数的两组共轨对；确定了一个零 点，其它三个确定了。当坷不在实轴上，但在lzl=l±,由于共轨对的倒数是它们本身，故此时零点是一组共轨对；(3)召在实轴上，不在lzl=l上则零点是(

11、4)坷在实轴上也在lzl=l±,则零点只有一个，或位于或位于z = -l。互为倒数两个实数零点；例：如果系统的单位脉冲响应为冰：r 1, 0<n < 5 h(n) = iI 0,其他n(1) 判断该系统是否具有线性相位，说明理由。求出该系统的频率响应，画出幅度、相位和群时延特性曲线。6.2用窗函数法披it FIR滤波器-S扱计思想设希望设计的滤波器传输函数为Hd（ej3）, hd（n）是与其对应的单位脉冲响应，因此:00工h加仙I Un)-|2龙1问题：一般情况下Hd（e）是逐段恒定的，在边界频率处有不连续 点，所以hd（n）是无限时宽，且为非因果，这样的系统不能实现。例

12、：一理想低通滤波器的传输函数Hd3）为為(占)=八0卜叭I< a> < 7V相应的单位脉冲响应hd（n）为2龙 J-%-加z .eJdw = _2兀ejw(n-a)j(n-a)wcsinWc（一a）7r(n-a)t |Hd(e)hd(n)-(jDc 0hd（n）是无限时宽，非因果序列要求:得到一因果序列h(n)；(2)构造一个长度为N的线性相位滤波器;将hd(n)截取一段，并保证截取的一段对(Nl)/2对称(线性相位)o7 z、 sin(XS_a)设截取的一段用h(n)表示，即h(n)=hd(n)RN(n)矩形窗的长度为N,且 a= (N-l)/2时，满足 上述两个要求。N_

13、丹二工h(n)znn=0二、Ml窗处理对FIR««器幅頻特性的影响设计过程中，加窗后的单位响应序列为h(n)= hd (n) -RN(n) o即 用一个有限长的序列h (n)去代替一个无限长的序列hd (n),会产生误差，时域中是截断处理，在频域表现出的现象就是通带和阻带中 有波动，也称为吉布斯效应(截断效应)。这样设计出来的频响H(eJw)只能是尽量逼近要求的Hd (e)分析：频域卷积走理h(n)= hd(n)-RN(n) H(旷)=丄出(严”心(严17UNlN_他（严）=工Rn（q严” =E厂之n=0刃=0-协-咖810（砂/2）=心（吸如sin(e/2)=、eJ

14、74; = Hdco)ejcocl矩形窗的幅度因数W CD < CDc理想低通滤波器的幅度特性H（Re）二丄Hd）e-j0aRN（G）_0）小（必027T一龙1 M.=石JL巴心"必二HS）严=丹佃）=£0尸心S）结论：设计出来的滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的幅度特性山（3）与矩形窗幅度特性Rd （3）的卷积。Hd（co）与Rd（3）卷积形成H（3）的过程H（d）与原理想低通Hd（co）差别有以下2点：H（3）在3“c附近形成过渡带，过渡带宽度B=4tc/N,近似于矩 形序列幅度谱Rn（3）的主瓣宽度；通带内增加了波动，最大的峰值在"化-2MN处，阻带

15、内产生 了余振，最大的负峰值在3=%+2兀/N处。幅度谱Rn®波动越快 （N加大），通带、阻带内波动越快，其旁瓣的大小直接影响H（o）波 动的大小。Hd（co）在加窗后在频域中的现象称为吉布斯效应影响：（1）通带内的波动影响滤波器通带的平稳性；（2）阻带内波动影响阻带的衰减，可使最小衰减不满足技术要求;减小吉布斯效应措施1、增加N值可减小过渡帶宽度，由于主瓣与旁瓣幅度也增加，且主瓣和旁 瓣的相对值不变，H(w)的波动幅度没有改变。带内最大肩峰比H(0)高8.95%,阻帶最大负峰比零值超过8.95% o 使阻带最小的衰减只有21dB。谱间干扰未减小，波动更明显，因此加大N并不是减少吉布

16、斯 效应的有效方法2、改善窗函数的形状减少带内波动以及加大阻帶的衰减只能从窗函数的形状找出解 决方法，主要考虑以下2点因素：(1) 尽量减小主瓣宽度，以获得较窄的过渡帶；尽量使窗函数的最大副瓣相对于主瓣要小，使设计出来的滤波 器幅度特性中肩峰和余振较小，阻带衰减较大。三、几种常见的窗函数1、矩形窗(Rectangle Window)wR(n)=RN(n)其频率响应为%占)二smN/2)如 sin(6)/2)Wr(沪)主瓣宽度为4兀/N，第一副瓣比主瓣低13dB。N2n三角窗(Bartlett Window),巴特利特窗N ' 0<n<l(N-l)sin(j)2n2-启I硕為

17、1.0-0.5-w(n)dl WBr (e Jw)主瓣宽度为8兀/N； 第一副瓣比主瓣低26dB。OdB /、20lgV(ejco)rx/VVV'N"T"IilU：N7T(04.哈明窗(Hamming Window)一改进的余弦窗24.哈明窗(Hamming Window)一改进的余弦窗9 TF/7%何=0.51-込(育)叭频响函数2兀O qr_ N-1= "%") = 05叫(劲 + 025必-f)+ ) eN IN 1W珈0) = 0.5%3) + 0.25叫0 千)+出3 +千)其幅度函数WHn(e>)主瓣宽度为8兀/N,第一副瓣比1

18、.00.52N=0.540.46cos()/?AZ(n)% (宀=0.54 叫(RJ-023叱«E) 0.23 叭 O= 054叱二"&) + 023叱二。-023V(o + TV 1TV 1N用血加)主瓣宽度为8兀/N,第一副瓣比25.布莱克曼窗(Blackman Window):二阶升余弦窗ebi 5) 0.42 0.5cosf 0.08cosN N /(69%(严)= 042% (严)一025Wr(e严nS)4j3z ) + %(£j( - )J(69+)+ 004叱(丘 z ) + WR(e z)° 7T2tTWBl (o) = 0.42

19、% (o) + 0.25W/e (o (e + N 1N 1王)篇)4tt+ 004叫(O y) + 叭(Q +N021.0-w()Wbi（M）主瓣宽度为12k/N,第 一副瓣比主瓣低57dBollliiii小 nN-rrrrOdB-2制卜-20lgV(ejco)oWN026> 凯塞贝塞尔窗(Kaiser-Basel Window)Wk(n) =£o(£)，o(a)I0(x)是零阶第一类修正贝塞尔函数I°(x)取 1525项，可 满足精度要求a参数用以控制窗的形状，影响滤波器的性能参数，a加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为：4<a<9；当a

20、=5.44时，窗函数接近哈明窗,a=7. 865时，窗函数接近布莱克曼窗。(W-1)/2凯塞窗的幅度函数为： 必(。)=冬(0) + 2工 y()cos如77 = 1凯塞窗参数对滤波器的性能影响a过渡带宽通带波纹/dB阻带最小衰减/dB2.1203. 0O/N±0. 27-303-384446tc/N±0.0864404.5385. MN±0. 0274505.5687> 2U/2V±0. 008 68606.764& 641C/N士 0 002 75f 707,86510, WN±0. 000 868-808 96011, EN

21、±0. 000 275-9010. 05610.如 N±0.000 087-100六种窗函数的基本参数呱、窗函数法的玻廿步骤1. 确定希望逼近的滤波器的频响函数Hd(ei-)2、根据Hd3)确定其对应的单位脉冲响应hd(n) 也(曲)可封闭求解，则：h,W =丄Hc,(ejco)ejaPd(DHd(eJ-)不可封闭求解，对也(曲)从co=02兀采样M点，采样值 为Hd(ei2), k=0丄，Ml,用2tc/M代替上式中dco ,则：1 容jk jknshMM =h(/ n + rM )R(n)（3）如果已知通带（或阻带）衰减和边界截止频率叭，选理想滤波器作为逼近函数，对理想

22、滤波器频响函数作IFT,求出hd（n）。7V（n-a）ejcoa co < cor0,0 < CO < 7T2、选择窗函数根据过渡带与阻带衰减的要求,选择满足条件的窗函数形式,并估计窗口长度N。原则是保证阻带衰减的前提下，尽量选主瓣窄的窗函数。3、计算所要设计的滤波器的单位采样响应h(n)计算滤波器的单位取样响应h(n)= hd(n) w(n)o其中w(n)是上面选择好的窗函数，hd(n)与w(n)都应满足线性相位要求。4、验证技术指标是否满足要求N_已设计出的滤波器的频率响应H(严)=工 h(n)ejcO11 o 验算H(曲)n=0是否满足设计要求，若不满足要求，重复上面2

23、, 3, 4过程。Hd(ei-)IFT比较，满足设计要求，则设计完毕，不合格则修改窗函数窗函数法优点:从时域出发的一种设计方法，设计简单，方便，实用。缺点是：要求用计算机实现，边界频率不易控制。例：用矩形窗设计法设计一个FIR线性相位低通滤波器，已知叭 =0.5兀，N=21, a=(N-l)/2,画出h(n)和201g|H(co)/H(0)|曲线，再计 算正、负肩峰的位置和过渡带宽带度。解：理想滤波器的频响为:宀e S0, ,a)c <cd <71单位脉冲响应hd (n)为:sm(o(n-a)sin05 兀(n-a)7rn-a)7t(n-a)计算得:加矩形窗：h(n)=hd(n).

24、RN(n)h(n) = 0, 1/97T, 0, 一 1/7“ 0, 1/5兀，0, 一 1/3兀，0, 1/7T, 0.5,1/7T, 0, -1/37T, 0, 1/571, 0, -1/771, 0, 1/9兀，0h(n) = 0, 0.0354, 0, -0.0455, 0, 0.0637, 0, -0.1061, 0, 0.3183, 0.50,0.3183, 0, -0.1061, 0, 0.0637, 0, -0.0455, 0, 0.0345, 0201g|H(co)/H(0)|tt 线如下:20也0.74dB-6dB-21dB6.3用頻率采样法披廿町R滤波器一、频率采样法基本

25、原理设區(&3)为所要设计的数字滤波器的频率响应，则:1、在3=02兀范围内对區3)进行N点等间隔采样，得到Hd(k)£2 = £（严）£ = 0丄2,、N 12、对N点H/K)进行IDFT,得所设计的滤波器的单位脉冲响应h(n)T 丄龙/（金 "0丄2,N 1N k=o.对求出的h(n)进行z变换，得到滤波器的系统函数H(z)NH二工 h(n)znn=0或利用频域内插公式(P88)哂7竺等间隔采样IDFTHd3)> Hd(k) h(n)内插函数H(eJ-)是否满足指标二、线性相位的约束第一类线性相位：h(n)偶对称，N为奇数_ .N1 H

26、(ejco) =特点：幅度函数H(co)关于3=0, 7T, 2兀偶对称，H (co) = H(2k- co)釆样值:严k2%H(k) = H2 n)= H*kWHk严AH*关于N/2偶对称，即：Hk= HN.kri 八.V z 亠八N 1 2 兀N1 -»相位采样值：乞一十帀旅(2)第一类线性相位：h(n)偶对称，N为偶数_ .AMH (严)=H 如E特点：幅度函数H(co)关于3=兀奇对称，H(3)=H(2兀_ 3)相位釆样值:17C 7 N 1k =NN7tk釆样值：严k2%H伙)= H(e n严=HkeAHk关于N/2奇对称，即：Hk= -HN k ,且Hn/2=02(3)第

27、二类线性相位：h(n)奇对称，N为奇数H(ejco) = H)eg = H)尹亠却特点：幅度函数H(co)关于3=0, 7T, 2兀奇对称，H(3)= -H(2兀-3)严 kO jr釆样值：H伙)=H(e n)= H*k)严=H&血AH*奇对称，即：Hk= -HN.k亠 < 込+ 门N 17C f 7C N , 7L»相位采样值：以一丁x亦2厂-丁加+刁(4)第二类线性相位：h(n)奇对称，N为偶数H(ejco) = H)eg = H)尹亠却特点：幅度函数H(CO)关于3=7T偶对称，H (CO) = H(2tC- CO)严 k7 rr釆样值：H伙)=H(e n)= H

28、*k)严=H&血» Hr偶对称，Bp: Hk=HNkw z 亠八 N 12 乃 7U N 1»相位采样值：皆一丁x亓一亍-丁设计方法:用理想滤波器作为逼近滤波器，截止频率为呗，采样点数为N,则珥和的计算公式为:kc取小于等于3cN/2兀的最大整数(1) h(n)偶对称，N为奇数时:(2) h(n)偶对称，N为偶数时:k=0, 1,，kcjk= kc+1, kc+2, ，N-kc-1；k=0, 1,N-l ；k=0, 1, ., kc；k= kc+1, kc+2, N-kc-1 jk=0, 1, ., kc；k=0, 1,，N-l ；由前面计算出的Hk和纵的值可构造出

29、H(k)H(k) = HkeJ3k等效于在0, 2兀上的N个釆样值对H(k)进行IDFT变换，求出h(n)；由h(n)可求出所设计滤波器的频响H(»)1、误差分析与改进措施设待设计的滤波器为Hd(&®),对应的单位取样响应为hd(n)Hdejco)ejcond(D1、从时域分析误差频域釆样定理：在频域02兀之间等间隔釆样N点，利用IDFT得到的h(n)。00力()=工 hd(n + rN)RN(n)分析：如果也(刖)有间断点，则hd(n)是无限长的，这样得到的h(n)产生时域的 混迭，无法逼近h/n)。改进措施：增大N值，使设计出的滤波器愈逼近待设计2、从频域分析误

30、差频率域等间隔釆样得到N个釆样值H(k),频响函数和H(k)的关系为误差分析:佃)=丄也空辺°N sin(y/2)N_H(k 佃一k=0在釆样点co=27ck/N, k=O，l，,N1处，|)(327tk/N)=：l,因此釆样点H(*k)与H(k)相等，逼近误差为0。A在釆样点间，H(»)由有限项H(k)与geo2兀k/N)之乘积和形成，其误差与 %(商)平滑度有关，越平滑，误差越小。A特性曲线间断点处，误差最大，表现形式为间断点用斜线取代，且间断点附 近形成振荡特性，使阻带衰减减小，有可能满足不了技术要求。减小误差措施（1）增大N值，但间断点仍无法弥补，带来体积增大，成本

31、增加。 在频响间断点附近区间内插一个或几个过渡采样点,使不连 续点变成缓慢过渡，虽然增加了过渡带带宽（代价），但增加了阻 带衰减（收获）。过渡带的优化要借助于计算机优化设计。总结：频率采样法设计线性相位FIR滤波器步骤1、根据叫及N的奇偶性，确定滤波器珥和乞及反值;2、由H(k) = HkeJ0k,求出 H(k)；3、对H(k)进行IDFT变换，求出h(n)；4、由h(n)求出所设计的滤波器的频率响应HQ。并分析误差,优化设计。例：试用频率采样设计法设计一个FIR线性相位低通滤波器，已知:(oc=0.5tt, N=51o 画出 IHd(eJw)l, IH(k儿201glH(dw)l曲线。解：在00.5兀和1.5兀2兀处的幅度函数为1,其余为0。采样频率 为：2兀/N=2兀/51, cocX51/2tt=12