x数形结合常见例题

1、数形结合例题分析实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方 程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式(x 2)2 (y 1)24一、联想图形的交点例1.已知0 a 1,则方程a冈|loga x叫实根个数为()A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 1 个或2个或3个分析：判断方程的根的个数就是判断图象y a|x1与y |loga x|的交点个数，画 出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选(B)。例2.解不等式X6令y1 v,x 2

2、, y2 x,则不等式x2 x的解，就是使y1 Jx 2的图象在丫2 X的上方的那段对应的横坐标,如下图，不等式的解集为X|XAxXb而xB可由尿一2X,解得，xB2,故不等式的解集为x| 2 x 2练习：设定义域为R函数f (x)lgx 0，则关于x的方程f 2(x) bf (x) c0有7个不同实数解的充要条件是()A.b 0,c 0B.b 0,cC.b 0,c 0D.b 0,c 0 答案二、联想绝对值的几何意义例1、已知C 0 ,设P :函数ycx在R上单调递减，Q：不等式x x 2c 1的解集为R,如果P与Q有且仅有一个正确，试求 C的范围。因为不等式 X X 2c 1的几何意义为：在

3、数轴上求一点 P(x),使P到A(0), B(2c)的距离之和的最小值大于1,而P到AB二点的最短距离为 AB 2c 1,即c1 一 一X， r ，、，、 一 r,一而P：函数y cx在R上单调递减，即c 12，一一 一 1 一 由题息可得：0 C 一或C 12三、联想二次函数例1、已知关于X的方程x2 4x 5 m有四个不相等的实根， 则实数m的取值范围为分析：直接求解，繁难！。由方程联想二次函数进行数形结合, 了。设 yi x2 4x 5,y2 m。又四、联想反函数的性质yi为偶函数，由图可知1例 1、方程 2X x 3, log 2 x x3的实根分别为X.解：令 yi 2 , y2 l

4、og 2 x, yyi,y2互为反函数，其图象关于x对称，设A(xi,3 xi), B(X2,3 X2) xiX2即X1X2六、联想斜率公式例i.求函数y sinx 2的值域。 cosx 2X1, X2 ,y sinX 2的形式类似于斜率公式cosx 2y2yiX2Xiy sinx 2表示过两点p0(2, cosx 22), P(cosx, sinx)的直线斜率由于点P在单位圆x2 y2 i上，如图显然，kp)AVkP0B设过P0的圆的切线方程为y 2 k(x 2)而行 12k 2|4±V7 0ni 4 77,4 否则有 Fi,解得 k -即 kPoA-，kPoB -k2 i3334

5、. 747二函数值域为,33例2、实系数方程X2b 2ax 2b 0的一根在o和in同，另一根在i和2之间，求 的取值氾围。a ib2解：数形结合由b一 的结构特征，联想二次函数性质及 a iJ2的几何意义来求解，以形助数，则简洁明了。 a i令f (x)x2 ax 2b ,则由已知有f (0) 0b 0f (i) 0 得至U i a 2b 0f (2) 02 a b 0这个二元一次不等式组的解为ABC内的点(a,b)的集合由b2的几何意义为过点a i(a,b)和点D(i,2)的直线的斜率，一 一一 1由此可以看出：一kAD4, d b 2kBD 1 即a 1，一一 1 八的取值范围是(1,1

6、)。4练习：如果实数x、y满足(xc222) y3,则y的最大值为( xA. 12B 3B.3D. 3五、联想两点间的距离公式例 1、设 f (x)1 x2 ,a,bRM af(a) f(b) a b解：a b,不妨设a b,构造如图的Rt OAP其中OP则 PA 1 a2f (a),PB,1 b2 f (b), AB a1,OA a,OB在 Rt OAP 中，有 PA PBAB f(a) f(b) a六、联想点到直线的距离公式例1、已知P是直线3x 4y8 0上的动点，PA,PB是y2 2x2y0的两条切线，A,B是切点，C是圆心，求四边形 PACB面积的最小值。解：Spacb 2Spac

7、2 1 PA AC PA ,PC2 1要使面积最小，只需 PC最小，即定点C到定直线上动点 P距离最小即可即点C (1,1)到直线3x4y8 0的距离,3 14 2 8 而 d-,c2,2,34(SPACB)min 32 12 2Y七、联想函数奇偶性例1、设yf (x)是定义在R上的奇函数，且y f(x)的图象关于直线1 ， x 对称，则2f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)解：本题由于y f (x)不明确，故f (x)的函数值不好直接求解。若能联想到奇函数的性质，数形结合，以数助形来解决，则简洁明了。则可知 f (0) 0,又且y f(x)的1图象关于直线 x 5对称， f(1) 0则奇

8、函数可得：f ( 1) 0,则又由对称性知：f(2) 0同理：f (3) f (4) f (5) 0f(1) f(2)f(3) f(4)f(5) 0八、其它简单方法：例1.若关于x的方程x2 2kx 3k 0的两根都在1和3之间，求k的取值范围解：令f(x) x2 2kx 3k,其图象与x轴交点的横坐标就是方 程f(x) 0的解，由y f(x)的图象可知，要使二根都在1,3之间，只需f( 1) 0, f(3) 0,bf (一) f( k) 0同时成立，解得 1 k 0,故女(1,0)2a课后练习:1.方程lgx sin x的实根的个数为() A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4

9、个2.函数y a|x|与ya的图象恰有两个公共点,则实数a的取值范围是A. (1,B.(1, 1) C.(,1 1,D.(，1) (1,3.设命题甲：0 x3,命题乙：|x 1| 4,则甲是乙成立的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分也不必要条件4.若方程lg( x2 3x m) lg(3 x)在0, 3上有唯一解，求m的取值范围。5.设a0且aw1 ,试求下述方程有解时k的取值范围。loga(x ak)lOga2a(x2 a2)。练习答案1. C2. D提示：画出ya| x| 与 ya的图象情形1:3. A4.解:原方程等价于情形2:3x3x3x m 04x 3 m令 y1x2 4x3, y2m,在同一坐标系内，画出它们的图象，其中注意象在0, 3)上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由下图可见，当m=1,或此m的取值范围为 3, 01。5.解：将原方程化为：loga (xak)loga 技a2 ,ak Jx2 a2 ,且xak0, x2 a2