电磁场和电磁波答案及解析第四版谢处方

1、.WORD完美格式.(8)5.专业知识编辑整理求:所以章习题解答1.1给定三个矢量A、B和C如下：A 二 ex ey2 -ez3B - ey4 ezC = ex5 - ez2C1)a A ； (2) A-B ；(3) aL|b ；(7) Aj B C)和(A B UC ； (8)Ae x ey2-ez3解(1) a a -lAl/=(ex+ ey2 _ez3) _($4+ ej = e*+ e61222(-3)2(2)(3)(4)(5)(6)(7)A BA|_B = (ex ey2 - ez3)|_(-ey4 ez) = -11aLB-1111由 cos%A在b上的分量ex15由于B C -(

2、4)JAB ； ( 5) a 在 b 上的分量；(6) a C ； (A B) C 和 A (B C)。1丄 23-ex e y - e z 寸14如如-ez4 = .53|A B 14 ,17238AB =ey20ex05ex10AB = A CoSABez-3-2ey-40ey2-4得咖宀匚加135.511B 、17= -ex4 -ey13 -ez10ez1-2ez-31=ex8 ey5 ez20=_ex10 _ ey1 _ ez4ey2 -ez3)LI(ex8 ey5 ' ez20) = -42A!B C) =(ex(A B)UC 二(010-eyl-ez4)LI(ex5 -ez

3、2) 一42ex ey ez-10 -1 -45-ex2-ey40 ez50 -2ex18ey2e z-320=ex55 - ey44 - ez11.WORD完美格式.1.2 三角形的三个顶点为P(O,1,2)、F2(4,1,_3)和巳(6,2,5)。(1) 判断APP2F3是否为一直角三角形；(2) 求三角形的面积。解(1)三个顶点P(O,1,_2)、F2(4,1,3)和F3(6,2,5)的位置矢量分别为ri= ey-ez2，r2= ex4ey-ez3，r3= ex6ey2ez5则R2 二 D- ri= ex4_ ez，R23= 13-丫2二 ex 2eyez8，R31 =百 _ r3 ex

4、6 ey ez7由此可见R12LR23 =2x4 -ez)L(ex2+ eez8) =0故arp2F3为一直角三角形。1(2)三角形的面积21.3 求P(-3,1,4)点到P(2, -2,3)点的距离矢量 R及R的方向。 解rP =-ex3-ey- ez4，rP=ex2 _ ey2-e，Rp p rp _ rp = ex 5 - ey 3 - ez轴的夹角分别为eXRp)=cosfpp 与AA r12 汇 R23 = R12 汇 |R2-7x76 = 17.1322= 32.31'-lz=cos ( IRppI =cos(：y 只P) =cos，|Rpp| = COS(e:口 &quo

5、t;j) =cos(一|RppI1.4 给定两矢量 A=ex2，ey3 - ez4和B=ex4 - ey5 ez6，求它们之间的夹角和A在上的分量。解A与B之间的夹角为 ABA在B上的分量为1.5给定两矢量上的分量。= 120.47-99.73'_! AB4-31%cos ( AB)""二厂了了)B-31A 才 37A 二 ex2 ey3ez4 和 B 二-ex6ey4 ez，求 a b 在 C 二 ex - ey ez二-3.532= 131.专业知识编辑整理ex ey ez解 AB= 234= ex13 + ey22 + ez10-6-41所以A B在C上的分量

6、为(A B)c(a_b)Jc|c|23 二一体43B =C，未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。 p = AJx而P=A X， P和P已知，试求X。由P = A X，有故得1.8A P=A (A X )=( ALX) A-(A _A) X = pA - (A_A) Xv pA - A 汉 PaLa2 二在圆柱坐标中，一点的位置由(43)定出，求该点在：(1)直角坐标中的坐标;'3 '6 证明：如果 a|_B = A|_C 和 AmB = AmC，贝V B=C ； 解由 A B=A C，则有 A (A B )= A (A C)，即(AB)A-(A A)

7、B =(AC)A-(A A)C 由于 AB "bC，于是得到(AA)B= (A_A)C故1.7如果给定设a为一已知矢量，解(2)球坐标中的坐标。解()在直角坐标系中X =4cos(2;；3) - -2、y 二 4sin(2 二=2、. 3、z = 3故该点的直角坐标为 (_2 2 J3 3)。(2)在球坐标系中r42 32 =5、v - ta n(4 3)=53.1、二2二,'3 = 120?故该点的球坐标为(5,53.1,120)1.9用球坐标表示的场(1)求在直角坐标中点求在直角坐标中点(2)解(1)在直角坐标中点25E = er 2 ,r(3,4, 5)处的 E 和 E

8、x ；(-3,4, -5)处e与矢量B二ex2-ey2 ez构成的夹角。 (-3,4, -5)处，r2 二(一3)2 42 (-5)2 = 50，故12252 rEx(2)在直角坐标中点1-33 2=X = rx 2 5.2 20(-3,4, -5)处，r _ _ex3 ey4 - ez5，所以2525r -ex3 ey4 -ez52rexE =|E, cos 日故E与B构成的夹角为1.10球坐标中两个点间夹角的余弦为10. 2七eLb、 七19. (1迈、=cos () = cos (一:) = 153.6|EUB32(X, J和(r2门2, 2)定出两个位置矢量 R1和R2。证明R和R2，

9、EB1- 2)ecos ' =cosq cos sin 齐 sin 二2 cos(解 由 R 二exA sin 齐 cos 1 ey sin 十 sin 1 ezA cos得到1.11R2 二 exr2 sin j2 cos 2 eyr2 sin 二2 sin 2 ezr2 cos 寸2sRA_R2coslRJ Ir2|sin 哥 cos sin v2 cos 2 sin 哥 sin sin v2 sin 2 cos齐 cosr2 sin十 sin Ccos lcos ； 1 sin sin 2) cos弓 cosy 二sin 齐 sin n2 cos( - 2) cos弓 cosr2

10、一球面S的半径为5，球心在原点上，计算：J (er 3sin8)d S 的值。s兀.2兀3sinLerdS二 d 3sin 52sinrdv-75二21.12理。（e3sin 可怙 S -o o在由r=5、z = 0和z = 4围成的圆柱形区域，对矢量A = er2+ ez2z验证散度定所以1 丹H在圆柱坐标系中(rr2) (2z) =3r 2r croz42 二5'Uad 二 dz d (3r 2)rdr =1200二0002 rez2z)_(er d Sr e d S ezdSz)二4 2 二5 2 7：52 5d dz 亠 I I 2 4rdrd =1200二0 00 0故有1.

11、13一个单位立方体的积分;JVLa dz =1200兀=j A. d ST求（1）矢量A =exx2 eyx2y2 ez24x2y2z3的散度；（2）求；a对中心在原点的（3）求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。22 22 2 3解（1）、血；：（24xyz）=2x 2x2y 72x2y2z2玫cycz（2）对中心在原点的一个单位立方体的积分为12 1；2 12、i_Ad =（2x 2x2y 72x2y2z2）dxd ydz =二：i；-12 1 2 d 2（3）a对此立方体表面的积分12 12 一112 12 一124J Ad S= J J(：)2dydz- J J(-：)2dydz +

12、S.1 2 J 212 122 1 2 2 1 2i i 2x ( ) d xdz i i 2x () d xdz42422424221212 12 12I i 24x2y2(】)3d xdyI i 24x2y21 )3 dxdy-42422-4222二丄24故有1.14 分。仏 d. £ 专 ALd S计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求 ；|_r对球体积的积Jr|_d S = /r_er d S = Jd © Jaa2sin B dB = 4兀a30 0 又在球坐标系中，'r = JL_（r2r）=3，所以r cr2 a ' LT d

13、 .二3r2sinvdrdvd =4：. a3E0 0 01.15 求矢量A =exx eyx2 ezy2z沿xy平面上的一个边长为 2的正方形回路的线积分， 此正方形的两边分别与 x轴和y轴相重合。再求i A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托 克斯定理。所以故有1.16积分。2 2 2 2UAH I = xd x _ 'xd x 亠 122 d y _ Od y = 8 ex-_x0ey:yx2'、Ad S =S0ezex2yz ez2x;z2y z2 2i i (ex2yz ez2xJez d xd y = 80 07Ad I = 8 =严X A|_d SS求矢量A =$x

14、 + eyxy2沿圆周x2 + y2 = a2的线积分，再计算可x A对此圆面积的|Ad I =xd x +xy2d yc2 二=f (-a2 cossin© +0二 a4a4 cos2 sin2 )d4r2sin2 rd dr 二4eXx eyy ，' AJd 5 二 qHss 、x 、y证明：(1) R =3 ；( 2) R = 0 ；( 3八(aLR)= A。其中 R =Mzd S 二 y d S = !. !.S0 01.17A为一常矢量。解（1） i|_R= - =3(2)e x:xey-7y.:z(3)1.18设 A 二 exAx eyAy ezAz，贝卩 AR

15、二 Axx Ayy Azz，故a、(AR) = ex(Axx Ayy g(Axx Ayy Azz)玫dye (Axx Ayy AzZ)二 exAx eyAy ezAz = A :z一径向矢量场f =erf(r)表示，如果|F =0，那么函数f(r)会有什么特点呢?1 吕rf (r) =0r d r解在圆柱坐标系中，由、lf 二可得到为任意常数。Cf(r) 一r2r f(r) =0在球坐标系中，由l_F = -12 d可得到r d r f(r)二 r1.19 给定矢量函数E=exy + eyx ,试求从点R(2,1,1)到点B(8, 2厂1的线积分E d l : (1)沿抛物线x =y2 ；(2

16、)沿连接该两点的直线。这个E是保守场吗？解(1)E|_dl = Exdx Eydy 二 ydx xdy =CCC2 2222y d(2y ) 2y d y 二 6y d y =141 1(2)连接点R(2,1,1)到点巳(8,2, 1)直线方程为x _2 x -8 y -1 y -222EUd l = Exdx Eydy 二 yd(6y-4)(6y4)d y 二(12y4)dy=14CC11由此可见积分与路径无关，故是保守场。1.20 求标量函数.=x2yz的梯度及宇 在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量345ex ey ez: 定出；求(2,3,1)点的方向导数值。、50. 50- 5

17、0L、L、L、*2I2I2W 二ex(x yz) ey ' (x yz) ez (x yz)二:x:y:zex2xyz eyx2z ezx2yiz题1.21图解在圆柱坐标中, 的通量为:、n注*345故沿方向 e =ex= ey= ez= 的方向导数为J50V50V502 2箋，空由=鉴+挛z+密丄cl750 V50 J50点(2,3,1)处沿e的方向导数值为讯361660112 =+ =-:l, 5050 、50. 501.21试采用与推导直角坐标中.Ua =匹电壬相似的方法推导圆柱坐标下的公式 玫 创£zLi I 1cA cAz-HA 二-(rAr)。r :rr.:：z取

18、小体积元如题1.21图所示。矢量场A沿er方向穿出该六面体的表面,'zArrp(r+Ar)drd© f jArrrdrd$*(r：r)A(r，z)-rA(r, ,z)二它z ： ：(rAr)= 1 ；(rAr)：.crrcr同理r ：ir z 存f I A|啊朋rdz- J J A肿rdz :A (r, ： ： =、, z) - A (r, ,z)：z . ：r ： 二虫；：r；:r &.；：r 匸r ' . :'zf J Az z地rd rd©-f AzAz(r, ,z ：z)Az(r, ,z)r r ：:;zA rr- -'

19、9;-z 役- -:Z: z因此，矢量场A穿出该六面体的表面的通量为1 c(rAr) 爾氓丄W =Wr -竖 r-rcrr6®cz故得到圆柱坐标下的散度表达式、A = lim1 (rAr).二A - -A-7r ?rz1.22 方程口2 2 2 碁-给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。2 ab2c2解由于v 2x 2y 2z 、u 二 ex 飞 eyj ez 右 a b c5=2故椭球表面上任意点的单位法向矢量为=(ex :aey1.23(1)Vu现有三个矢量A 二 er sin v coscost cos -e sinB =erz2sine z2cosez2rzsin2

20、 2C =ex(3y 2x) + eyX + ez2z哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表rr sin 日rrsin 日erre日r sin-1L、c cr 2si n 日a云日c*A rAer sin耳rersin 日 e©1r2 sinBc0sin& cos© r cos& cos©-r sin日 sin©=0=0' A故矢量A既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示; 在圆柱坐标系中示？求出这些矢量的源分布。(2) 解(1)在球坐标系中'=丄上(r2AJ

21、9;(sinA)-=r trr sin日胡r sin日列1 ： 2 1 ： 1 :2 (r sin vcos )(sin v cost cos ), (-sin )二r ；:rrsin 一-r sin j2.cos 2sin r cos cos sin cos心=仁何)1邑邑二r :了r /. z1 ;2.1 r 2(rz sin )(z cos )(2rzsin )二r :rr ''zz2sin * z2sin '. .2rs in =2rsinrCx :Cy vjc =dxcy6c 2(3yx-2x) (x )(2z) =0J故矢量C(2)1.24e:x23y-2x

22、ey-:y2xez©:z2z二 ez(2x-6y)可以由一个矢量函数的旋度表示。 这些矢量的源分布为A =0，'、 A = 0 ；B = 2r sin ，i Lc =0，'- c利用直角坐标，证明'、B =0= ez(2x-6y)err e0ezerre日ez1g二.e1g二.gr&czrdrc*czBrrB日Bzz2 si n©rz2 cos©2rz si n©=0：-7 B =故矢量B可以由一个标量函数的梯度表示; 直角在坐标系中；Cz+ =.:zL、L、二 2 fA) = fl _A - A, f解在直角坐标中八UA

23、 A山f "( ) (Ac丄Ay丄凡丄)二:x:y:z:x:y : z(f 刍 Ax) (4 Ay 兰)(f 込 Az 斗 exexcycyczcz(fAx) (fAy) (fAz) »L(fA):x:y:z1.25 证明(A H ) = HA _ AH解 根据' 算子的微分运算性质，有L(A H )八 a丄A H ) i hA H )式中l A表示只对矢量 A作微分运算，lH表示只对矢量 H作微分运算。由 aib c) = c_(a b)，可得可aLAH ) = H 可A) = H px A)同理、hL(A h)-a_c、h H) - -Aj H)故有(A H )

24、= H A-A H1.26 利用直角坐标，证明.WORD完美格式.；?：(fG)=f：? G ：-f G解在直角坐标中"Gfg G = fex(zf-：GyjGx；：Gz: Gy-y) ey(x- z) ez(y:z: z : X: Xf"fFfG = ex(Gz -Gy) ey (Gx cy&dzex.Gxx)-:y-Gz)ez(GyGx )excyfff'、GG=ex(Gz_ f 七)-(Gy_ ffey(Gx . f ；G&cf ez(Gy fexe J(fGz) ex-(fGy) ez-x_z.G:zcf)-(Gz 丄fex;:f 一Gy):

25、z旦):X-：Gxylx" : y : y-:(fGy)：(fGx)；:(fGz)y eyx-.z：(fGx) =(fG)1.27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明I C u)=0及 p' A) =0，试证明之。解(1)对于任意闭合曲线C为边界的任意曲面S，由斯托克斯定理有:z.:x所以.专业知识编辑整理题1.27图j( w)Ld s =卩 JLd 1 段di =du =0SCCC由于曲面S是任意的，故有可汉(灯U)= 0(2)对于任意闭合曲面 S为边界的体积.，由散度定理有LO A)d 二C A)_d S=C A)_d SC A )jd STsssS2其中

26、S和如题1.27图所示。由斯托克斯定理，有(於 A)Ld S=H A_d I， J 2 A£d S =|7 Ad IS2S1匕由题1.27图可知C1和C2是方向相反的同一回路，则有所以得到 LC A)d = A_d I A_d ITC1C2由于体积.是任意的，故有炸 A)=0-|a Id Id l= 0C2C2 S,X1.WORD完美格式.2.专业知识编辑整理2.1一个平行板真空二极管内的电荷体密度为X = 0，阳极板位于X = d，极间电压为U0。如果U 求：（1）二章习题解答 = - 4 ；0U0d*3x'3，式中阴极板位于90 二 40V、d = 1cm、横截面 S =

27、 10cm 2，(2)x =0和x=d区域内的总电荷量Q ；（ 2）x = d：2和x=d区域内的总电荷量Q。d 4Q = f Pdi = J（- w0U0d°3x°3）Sdx =%U0S= -4.72F0-11 CT 093d(1)2.2质子束， 解d4_4-3 234q 二上.=；°u°d x ）Sdx（1-d；293d一个体密度为 p =2.32汉10丄C/ m3的质子束，通过1000 V的电压加速后形成等速的 质子束内的电荷均匀分布， 束直径为2mm，束外没有电荷分布， 试求电流密度和电流。 质子的质量m=1.7 10上7 kg、电量q =1.6

28、 10J9C。由-mv = qU20S 二-0.97 101Cv = . 2mqU =1.37 106 m sJ v = 0.318Am2I = J（d/2）2 =10上 A2.3一个半径为a的球体内均匀分布总电荷量为 Q的电荷，球体以匀角速度；：；绕一个直径旋转，求球内的电流密度。z轴。设球内任一点 P的位置矢量为r，且r与解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为 z轴的夹角为二，则p点的线速度为v 二 r球内的电荷体密度为Q4 二 a3 3e 丰rsd4-a3j = Pv = Q3 or sin 日屮4兀a3/32.4 一个半径为a的导体球带总电荷量为 Q，同样以匀角速度，绕一个直径旋转，求

29、球表 面的面电流密度。解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴。设球面上任一点 P的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为二，则P点的线速度为v = r = e护 as in -球面的上电荷面密度为a =4- a.WORD完美格式.专业知识编辑整理.J s = ；v 二 e.4ia2.5两点电荷q8C位于z轴上z=4处，的电场强度。解 电荷q1在(4,0,0)处产生的电场为qr_rQ 2 as in, = e si nrq2 = VC位于y轴上y = 4处，求(4,0,0)处Ei_ 2 ex4 - ez40 r ri二；0 (< 2)3电荷cq,在(4,0,0)处产生的电场为C2 r -r,

30、4 二；°1 ex4 - ey4二；0 (4.2)3故(4,0,0)处的电场为E1E 2 =exey 弋232、2二 02.6一个半圆环上均匀分布线电荷几，求垂直于圆平面的轴线上E (0,0, a)，设半圆环的半径也为a，如题2. 6图所示。解 半圆环上的电荷元 八dl丄几ad在轴线上z = a处的电场强度为dE =3d =4聴0 &2a)3斤ez - (ex cos py sin ) d .8 2： 0在半圆环上对上式积分，得到轴线上z二a处的电场强度为E (0,0, a)二 d E -.ez(excosey sin )d 二 l(ezex2)8 ；2二 ya8 ； 2；

31、0a _二22.7三根长度均为L，均匀带电荷密度分别为:?l1、：2和|3地线电荷构成等边三角形。设讣=22 =2：l3，计算三角形中心处的电场强度。解 建立题2. 7图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为d 二丄tan303L2 6E1 =ey匕(cos30"-cos150) = e31y4二;0dy2二；0LE-(excos30 e,sin30)丑($、32 二;°Lz=a处的电场强度题2.7图.WORD完美格式.E -(excos30 -eySin30'；) 3 l3 2耽0L故等边三角形中心处的电场强度为仏 g3-ey)二二 ey 3讣E =巴亠E2亠E3

32、 ey(纵 I 3 ey )2二；0L8二；0L8二；0L4二；0L2.8 点电荷 q位于(-a,0,0)处，另一点电荷 _2q位于(a,0,0)处，空间有没有电场强 度E =0的点？解电荷q在(x, y,z)处产生的电场为qex(x a) ey ezZ1 贏0(x+a)2 讦七232电荷_2q在(x, y,z)处产生的电场为E2 -莎(xa)2W2(x, y,z)处的电场则为 E = E1 E2。令E = 0，则有ex(x a) eyy ez2ex(x-a) e刿 ezz2q ex(x -a) ey ezz222.3 222232(x+a) +y +z (x_a) + y +z由上式两端对应

33、分量相等，可得到(x+a)(x _a)2 +y2 +z23''2 =2(x_a)(x + a)2 + y2 +z23'2 y(x a)2 + y2 +z232 =2y(x +a)2 + y2 +z23'2 z(x_a)2 +y2 +z23'2 =2z(x+a)2 +y2 +z232当y 0或z = 0时，将式或式代入式，得a = 0。所以，当y = 0或z = 0时无解; 当y=0且z=0时，由式，有(x a)(xa)3 =2(x-a)(x a)3解得x =(-3_2、. 2)a但-3a 2.2a不合题意，故仅在(-3a-2、2a,0,0)处电场强度E

34、= 0。2.9 个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为 二。证明：垂直于平面的z轴上Z = Zd处的电场强度E中，有一半是有平面上半径为-：3z0的圆内的电荷产生的。解 半径为r、电荷线密度为 一 =；dr的带电细圆环在 z轴上z = z°处的电场强度为d E =ez223 22%(r +zo)故整个导电带电面在 z轴上z = z0处的电场强度为QOE P 220 0(r +zJrpdrZjd _ =%132 _令2；0 (r2 z2)12而半径为,3z0的圆内的电荷产生在z轴上z=Zq处的电场强度为3Z) 1二 ezEo4.2r；Zodr'、3z-r-z-dr二 zu1E

35、ez2232 _ez22 12-2?u（r +z-）20 （r +z-）2.10一个半径为a的导体球带电荷量为 Q，当球体以均匀角速度绕一个直径旋转，如题2.10图所示。求球心处的磁感应强度解球面上的电荷面密度为Q24 二a当球体以均匀角速度.绕一个直径旋转时，球面上位置矢量r =era点处的电流面密度为的电流为J s = y= 3 r = : ezera =coQa sin j - e sin v十 4ira将球面划分为无数个宽度为dl二ad二的细圆环，则球面上任一个宽度为dI二a细圆环©Qd I = Jsd l sin vd v4n细圆环的半径为 b =asin v，圆环平面到球

36、心的距离 d = acos，禾U用电流圆环的轴线上的磁 场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为%b2 d I% Qa2sin3 二u00 Qsin'drd B=ez223 2 =ez2.22232 二 ez2(b d )8 (a sin 二 a cos 二)u Qsin3. u QB = ez-d v - ez0"a各有N匝，相互隔开距离为d，如题2.11图所示。故整个球面电流在球心处产生的磁场为8- a2.11两个半径为b、同轴的相同线圈，电流|以相同的方向流过这两个线圈。（1）求这两个线圈中心点处的磁感应强度（2）证明：在中点处dBX.'dx等于零;（3）求出

37、b与d之间的关系，使中点处B - exBx ；解（1）由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度d2 Bxd x2也等于零。BP咖22(a2 z2)32(2)两线圈的电流在其轴线上%Nlb2得到两个线圈中心点处的磁感应强度为B=e 加乃2B ex(b2 d24)32 x (0 ： x ： d)处的磁感应强度为 亠%NIb2；所以故在中点2(b2 x2)32 2b2 (d -x)232dBx _3%Nlb2x3%Nlb2(d-x)22、5222.5 2dx 2(b +x )2b +(d x)x = d 2处，有.专业知识编辑整理.b题2.11图.WORD完美格式.专业知识编辑整理dBxdx(3)令 d2

38、Bxdx2即故解得2.123%Nlb2d 23%Nlb2d 22b2 d2 4522b2 d2 452d2 Bx 15%Nlb2x23%Nlb2dx2 - 2(b2 x2)72 _2(b2 x2)5215%Nlb2(d -x)23%Nlb22b2 (d x)272 _2b2 (d x)2525d2/41门0b2 d2 472b2 d2 4525d2.4 二b2 d2 4d = b一条扁平的直导体带，宽为2a，中心线与z轴重合，通过的电流为Bx必-,By0 ln $式中】、r1和r2如题2.12图所示。-4二 a r112解 将导体带划分为无数个宽度为dx的细条带，每一细条带的电流dl二丄dx，

39、。由安培环路定理，可得位于x处 2a的细条带的电流dl在点P(x,y)处的磁场为0dl %ldx%ldxdB22J24 a(xx ) y 40lydx"dBxBsin0 . 22 -4二 a(x _ x ) y °l (x -x )d xd By = d Bcos一4二 a(x-x)2 y22 ,7 2x=d 2=0，有I。证明在第a，By =ln4 二 a4 二 a象限内的磁感应强度为则a2二 R 4二aR、2 22 2AJydxB =.x ,：a(x-x)2y2L arctan4 二 a |L所以714 二 aarcta nx -x-aa x-arcta n节=%I、一

40、 y丄 arctan4 二 a |L-arcta ny丿 i I(口2-%)=04 二 aa4 二 a(x a)2 y2aB,=y ”a(x -x)2 y22.13 如题2.13图所示，有一个电矩为 p的电偶极子，位于坐标原点上, 的电偶极子，位于矢径为r的某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为Fr =彳卩吧(sin 齐 sin 二2 cos -2cos弓 cos"2)4： ；°riol(x-x)dxI220I ln(x-x)2 y28aM lIn 228 a(x_a)y另一个电矩为 p4- ar1解电偶极子p在矢径为r的点上产生的电场为E 1 3( pLT )r PiE

41、i5 一飞4二；0 r r所以P与P2之间的相互作用能为We= -pLEi 二13( 口&小)p_ P2式中刁=：r, pi -, q=：r, p2 -, '是两个平面(r, p)和(r, P2)间的夹角。并问两个偶极子在怎 样的相对取向下这个力值最大？因为 q =< r, p >， d =< r, P2 >，则pLr = prcos 弓 pLr 二 P2rcoB2又因为©是两个平面(r, p)和(r, p2)间的夹角，所以有(r p)L(r p2r2p1p2sin 弓sin cos另一方面，利用矢量恒等式可得(r »)"

42、p2)=(r P)门色=2 pi-(rLpi) r _ 应=r2 ( pLp?) - (rL°)(丄 p2)因此1 .(Pi b)2【(r pi)_(r 4) (r_pj( rp2) = pp2S in 弓si geospcoBiCOS?r于是得到We = PiP23 ( sin弓 sinr2 cos - 2cos弓 cosr2)4兀名0r故两偶极子之间的相互作用力为0 6d iFrq zconst 上(sin弓 sinr2cos - 2cos弓 cosr2)(飞)二4二；0dr r3p，P24 (sin sincos - 2cosi co匸2)4 二；0r由上式可见，当=0时，即两

43、个偶极子共线时，相互作用力值最大。ol iBi = e2兀ri4 | |Fm2 二 12ez Bi d z = _ei2 0 1 02.i4两平行无限长直线电流h和丨2，相距为d，求每根导线单位长度受到的安培力解 无限长直线电流h产生的磁场为直线电流I?每单位长度受到的安培力为式中e2是由电流Ii指向电流12的单位矢量。_20|i| 2同理可得，直线电流Ii每单位长度受到的安培力为Fm2i二-F mi2二$2一2兀dI2的圆环在同一平面上，圆心与导线的距2.i5一根通电流li的无限长直导线和一个通电流 离为d，如题2. i5图所示。证明：两电流间相互作用的安培力为Fm 二 I1I2（sec：

44、-1） 这里是圆环在直线最接近圆环的点所张的角。解 无限长直线电流I1产生的磁场为0I1B1 -e 2二 r圆环上的电流元12 d 12受到的安培力为由题2. 15图可知所以2x-0I 11 22 d12 =（-exsinr ezco）ad x = d a cos J-0a11 I 2d F m=l2d 12 B/d l2 ey（ezs in 日ex cosO）d 日= 0 2二（d a cosR制叮二ex 2 二COST0a1112 /2二 dd 8 = e x（ + 产0 （d acos"2二 a a . d2 _ a22.16 证明在不均匀的电场中，某一电偶极子P绕坐标原点所受

45、到的力矩为 r （右）E p E。解如题2.16T）=-ex丄ohl2（sec-1）图所示，设p二qdI （d丨： 1），则电偶极子P绕坐标原点所受到的力矩为 F qE（叨- r qE（r1）=（r 乎）qE （r 弓）-（-乎）qE （r-号）=2 2 2 2-j IrilezJ Iqr E （r 匸）-E （r可）勺 I E （r =） E （r二）2 2 2 2 2当dl I： 1时，有故得到E （rE （r-E （r） & '、E （r）2E（r）-（斗 i）E（r）2T r （qdI、）E（r） qdl E（r）二 r （廿）E p E三章习题解答3.1 真空中半径为

46、a的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q和-q,试计算球赤道平面上电通密度的通量 录（如题j赤道平面、匚aX7/题3.1图3.1图所示)。解由点电荷q和-q共同产生的电通密度为D=奈R=q err ez(z-a) _ ej ez(z a) 4兀r2+(z a)232 r2+(z+a)232则球赤道平面上电通密度的通量=JDd S= JDz/S二SSq a (a)a/ 2232 一 / 223 22二 rdr 二4 0 (r a ) (r a )(-a)4:qa(r2 a2)12-1)q = - 0.293q3.21911年卢瑟福在实验中使用的是半径为荷量为-Ze的电子云，在球心有一正电荷Ze

47、到球体内的电通量密度表达式为Do 二 erZe J4兀lrra的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电 （Z是原子序数，e是质子电荷量）I ra丿，试证明之。解 位于球心的正电荷 Ze球体内产生的电通量密度为原子内电子云的电荷体密度为，通过实验得故原子内总的电通量密度为题3. 3图(a)电子云在原子内产生的电通量密度则为4 r3Ze3- 一34- ra 34 - ra4二 r3 34 - rZeZeD - D1 D2 - er4 :Ze rer34 二 ra r 3ra丿3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为?0 C m3,两圆柱面半径分别为a和b，轴线相距为c（c：b-a），如题3.3图（a）所示。求空间各部分的电场。解由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为a的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为-0的两种电荷分布，这样在半径为b的整个圆柱体内具有体密度为:?0的均匀电荷分布，而在半径为a的整个圆柱体内则具有体密度为-0的均匀电荷分布，如题3.3图（b）所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。在r Ab区域中，由高斯定律|ELds=，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点p产生r3 Ar2(r 乞 a)Dr 二a5 Aa4(r -a)其中A为常数，试求