电磁场与电磁波课后习题及答案五章习题解答

1、百度文库11五章习题解答真空中直线长电流i的磁场中有一等边三角形回路，如题图所示，求三角形回路内的磁通。 解 根据安培环路定理，得到长直导线的电流|产生的磁场丁I穿过三角形回路面积的磁通为BdSS-3b 2 z-dzd xd X 0-d x x由题图可知，z (x算各部分的磁感应强度解 将空腔中视为同时存在 均匀的电流分布：一个电流密度为 均匀分布在半径为 a的圆柱内。 叠加即可得到圆柱内外的磁场。d)ta n 6oI d3j的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，如题图所示。计B，并证明腔内的磁场是均匀的。J和 j的两种电流密度，这样可将原来的电流分布分解为两个j、均匀分布在半径为 b

2、的圆柱内，另一个电流密度为j、由安培环路定律，分别求出两个均匀分布电流的磁场，然后进行，故得到、3b 2X01，可得到电流密度为 J、均匀分布在半径为 b的圆柱内的电rbrbb流产生的磁场为Bbob2 J 斥rb2电流密度为 j、均匀分布在半径为 a的圆柱内的电流产生的磁场为aoa2 Jraraa这里ra和rb分别是点oa和ob到场点p的位置矢量。 将Ba和Bb叠加，可得到空间各区域的磁场为圆柱外：B -0 J222ba2b2嘉rbra(rbb)2圆柱内的空腔外:BoaJrb2 rara(rbb, ra a)空腔内：B0J2rb ra° J d2(raa)式中d是点和Ob到点Oa的位

3、置矢量。由此可见，空腔内的磁场是均匀的。 下面的矢量函数中哪些可能是磁场？如果是，求其源变量j。(1)Hear ,BoH（圆柱坐标）Hex( ay) eyax,BoHHexax eyay,BoHHe ar ,BoH（球坐标系）解 根据恒定磁场的基本性质，满足B 0的矢量函数才可能是磁场的场矢量，否则,不是磁场的场矢量。若是磁场的场矢量，则可由1(rBr)r r(1)在圆柱坐标中该矢量不是磁场的场矢量。ay)(ax) y该矢量是磁场的矢量，其源分布为(3)B (ax)xay)该矢量是磁场的场矢量，其源分布为(4)在球坐标系中r sin该矢量是磁场的场矢量，其源分布为reH求出源分布。-(ar2)

4、 2a 0rezeyez2aayyaxezr sinaxy ay 0(ar)r sin eH丿r sinera ctage 2aar2 sin由矢量位的表示式 A(r)证明磁感应强度的积分公式B(r)J(r )R3r的函数，即并证明 b 0解：B(r)A(r)0 J(r)d0J(r )d0 J(r)4R4R4/0“ R0J(r ) RJ(r )(3)dd4R4RBA(r)0有一电流分布J(r)ezrJ°(ra)，求矢量位A(r)和磁感应强度B(r)。1(R)d解由于电流只有e,分量，且仅为r的函数，故A(r)也只有ez分量，且仅为A(r) ezAz(r)。在圆柱坐标系中，由Az(r)

5、满足的一维微分方程和边界条件，即可求解出A(r),然后由B(r) A(r)可求出 B(r)。记r a和ra的矢量位分别为 A1(r)和A2 (r)。由于在r a时电流为零，所以2Azi(r) -(r_oJor( r a)r r r1A2Az2(r)(r 一 ) 0( r a)r r r由此可解得1 3Azi(r)9 °J°rCi lnr D-/Az2(r) C21nr D2Azi(r)和Az2(r)满足的边界条件为r 0时，Az1(r)为有限值 r a 时，Az- (a)Az2 (a)，r ar由条件、，有Ci由此可解得C2故Azi(r)Az2(r)1,30，9 0J0aC

6、2 In a D2，10J0a ， D21.3/10J0a (二333Az29 0J0rDi13In a)J°a2C2-1 °J°a3l nr 1 00&3(丄 Ina)333式中常数Di由参考点确定，若令 r0 时，Az1 (r)0，则有(r a)(r a)D10。题图空间的磁感应强度为1 2Br)A(r) e 3 °J°r(r a)B2(r)如题图所示，边长分别为 a和b、载有电流|的小矩形回路。(1)求远处的任一点 P(x, y, z)的矢量位A(r)，并证明它可以写成A(r)o Pm r。其4 r3中 pm ezIab ；(2)

7、由a求磁感应强度B-o (d4并证明B可以写成式中d(1)电流回路的矢量位为A(r)式中：R(x根据矢量积分公式2 2X) (y y) Az212r2所以A(r)dl dS，有曲：6场点对小电流回路所张的立体角。2roI 1 d|d l4qR2rsin (x0丄dly RcosdSSsin ) x2(R)2 .1 2 y '对于远区场，ro14 SA(r)dS(2)由于又由于er 2cosi(R)oI41(R)x , r(-)A(r)Aer0 Pm4半径为a磁介质球，MdSS，所以1r sinsin(R)r，故idS(一)Sr(eJab)(-)Pmez(3) e(sin A )oPm

8、sin41 e (rA )r2oPr3(吟)r具有磁化强度为Q(Az2 B)(cos(2ro143 (er2cos rabez er)r2o14其中A和B为常数，求磁化电流和等效磁荷。解 磁介质球内的磁化电流体密度为(d(Az2等效磁荷体密度为Az2B)2AzoPmr4 r3e sin )B)ezez2Az 0磁介质球表面的磁化电流面密度为题图JmS M n r22a ez er(Aa cos B)22e (Aa cos B)sin等效磁荷面密度为22M r a er ez (Aa cosB)如题所示图，无限长直线电流 求：(1)两种磁介质中的磁感应强度1和(2)磁化电流分布。解(1)由安培环

9、路定理,可得所以得到Bi0HB2(2)磁介质在的磁化强度则磁化电流体密度JmI垂直于磁导率分别为B1 和 B2 ；2 2(Aa cos B) cos2的两种磁介质的分界面，试012 rI2 rB201 d “ ez(rMr d r_ ( o)Ie2 ore J o)I z 2H1(R)也P1)Jl11fpH1(R)|H2(P2)1 2题图百度文库0处，b2具有奇异性，所以在磁介质中0处存在磁化线电流半径作一个圆形回路 C，由安培环路定理，有ImI m。以z轴为中心、r为dl丄故得到 Im ( 1)10在磁介质的表面上，磁化电流面密度为J mS Mez二上0r已知一个平面电流回路在真空中产生的磁

10、场强度为别为1和2的两种均匀磁介质的分界平面上，试求两种磁介质中的磁场强度 解由于是平面电流回路，当其位于两种均匀磁介质的分界平面上时， 法向分量，根据边界条件，有 b1 B2在介质两种不同情况，应用安培环路定律即可导出在分界面两侧，作一个尺寸为2 h1 H dl H1(F1) h IC因H垂直于分界面，所以积分式中 H 对平面电流回路两侧为真空的情况，则有H0 dlC由于P和P2是分界面上任意两点，由式(B B2H02亠注H°1 2B 4h°1 1 2证明：在不同介质分界面上矢量位于是得到故有Hi7题图申H0，若此平面电流回路位于磁导率分H1 和 H 2。分界面上的磁场只

11、有B。在分界面两侧作一个小矩形回路，分别就真空和存H1' H 2与H0的关系。l的小矩形回路，如题图所示。根据安培环路定律，H2(P) h H1(F2) h H2(F2) h I(1 )H20。这里|为与小矩形回路交链的电流。2Ho(R) h 2Ho(F2) h I1)和(2)可得到比 H2 2H02A的切向分量是连续的。A dS A dl(1)B dSA得百度文库22在媒质分界面上任取一点 p，围绕点p任作一个跨越分界面的狭小矩形回路 C，其长为 宽为 h，如题图所示。将式（1）应用于回路C上，并令 h趋于零，得到I BdS0 SA dll AA lh limh由于B为有限值，上式右

12、端等于零，所以/ aJ laJl由于矢量丨平行于分界面，故有Alt A2t一根极细的圆铁杆和一个很薄的圆铁盘样品放在磁场 的磁导率为）。求两样品内的 度M °解对于极细的圆铁杆样品，B和H ；若已知B0根据边界条件Hlt1TBo中，并使它们的轴与 Bo平行，（铁5000 0，求两样品内的磁化强H2t，有Ho0对于很薄的圆铁盘样品，根据边界条件B。01H ( 1)B0049990B1nB2n0，有BB。HB.B0./B,/ 1 1 ,4999MH ()B°005000 05. 12如题图所示，一环形螺线管的平均半径r015 cm，其圆形截面的半径 a 2 cm,鉄芯的相对磁导

13、率r 1400，环上绕N 1000匝线圈，通过电流| 0.7A°（1）计算螺旋管的电感；（2） 在鉄芯上开一个l0 0.1cm的空气隙，再计算电感。（假设开口后鉄芯的r不变）（3）求空气隙和鉄芯内的磁场能量的比值。解（1）由于ar0，可认为圆形截面上的磁场是均匀的，且等于截面的中心处的磁场。题图由安培环路定律，可得螺旋管内的磁场为与螺线管铰链的磁链为故螺线管的电感为NS HH竺2 r°a2N2I2roa2N22TTL - I(2)当铁芯上开有小空气隙时，由于可隙很小, 界面上，磁场只有法向分量。根据边界条件，有 芯中的磁场强度 H不同。根据安培环路定律，有1400 410

14、7 0.°22 100022.346 H2 0.15可忽略边缘效应，则在空气隙与鉄芯的分B。 B B，但空气隙中的磁场强度H0与铁Holo(2 ro I。)NI又由于B00H0、B B，于是可得0 rNIBrl0 (2 r0所以螺线管得磁链为NSB2 2ra N Ir0l0)故螺线管得电感为rI0220 ra r0l0)(2(3)空气隙中的磁场能量为Wm04 2 10 7 1400 0.022 100021400 0.00120.15 0.001120.944 H鉄芯中的磁场能量为0曰細01Wm14002rH S(2r0 l0)0.0011.487 20.15 0.001证明：单匝线

15、圈励磁下磁路的自感量为L0 1 R，R为磁路的磁阻，故 NI感量为L N2; 。磁路中单匝激励下的磁场储能Wm0 WmN 2Wm0。故W也-Wm2 r0 10激励下，电Rm 0/2，则NI激励下的解 在单匝线圈励磁下，设线圈中的电流为I，有 0L0 I。则在NI激励下，磁路Rm的磁通为N2I"Rm故电感量为Rm在单匝线圈励磁下,A0'I22 Rm2Rm20。在NI激励下，磁路的磁能为I"N2I22R?N Rm2n2WN wm02Sl题图liWm如题图所示，两个长的矩形线圈，放置在同一平面上，长度分别为I1和I2，宽度分别为w1 和w2，两线圈最近的边相距为 S，两线

16、圈中分别载有电流|1和|2。设h >> I2，且两线圈都只有 一匝，略去端部效应。证明：两线圈的互感是12 (S w)(S %) M In 1-2 S(S w1 w2)解 由于l1>> |2，因此可近似认为线圈中的电流在线圈的回路中产生的磁场与两根无 限长的平行直线电流产生的磁场相同。线圈中的电流I在线圈的回路中产生的磁场为1与线圈交链的磁通o11故两线圈间的互感为1Bl2212为S W2“(_!_!_)r rw1)l2dr r w-iS w2InSInS w1w2S w1011I2 |门(S w)(S W2)2 S( S w1 w2)(S w,)( S w2)S( S w1 w2)长直导线附近有一矩形回路, 路间的互感是12 0I2 ,InIi2回路与导线不共面，如题图(a)所示。证明：直导线与矩形回R2 b( R2 C2)12 b2 R22、1 2 ,2 22BbrRip £ _题图（a）题图（b）IB解 设长直导线中的电流为|，则其产生的磁场为Hrr r°al2由题图（b）可知，与矩形回路交链的磁通B dS2 S其中 R C2 (bR2 C2)212 R2 b2 2b