机械波平面简谐波方程

1、波动第一节10 - 1机械振动在媒质中的传播过程称为机械波。产生机械波的必要条件：波源 作机械振动的物体；媒质 能够传播机械振动的弹性媒质。 波是运动状态的传播波是运动状态的传播，介介质的质点并不随波传播质的质点并不随波传播.注意注意横波与纵波横波：质点的振动方向与波的传播方向垂直纵波：质点的振动方向与波的传播方向平行软绳软弹簧波的传播方向质点振动方向波的传播方向质点振动方向 在机械波中，横波只能在固体中出现；纵波可在气体、液体和固体中出现。空气中的声波是纵波。液体表面的波动情况较复杂，不是单纯的纵波或横波。 纵波纵波 特点：质点的振动方向与波传播方向一致特点：质点的振动方向与波传播方向一致几

2、何描述波 前波 面波 线波面振动相位相同的点连成的面。波前最前面的波面。平面波 （波面为平面的波）球面波 （波面为球面的波）波线（波射线）波的传播方向。在各向同性媒质中，波线恒与波面垂直。波的物理量波传播方向波长振动状态完全相同的相邻两质点之间的距离。横波：横波：相邻相邻 波峰波峰波峰波峰 波谷波谷 波谷波谷 纵波：纵波：相邻相邻 波疏波疏波疏波疏 波密波密波密波密波的物理量波传播方向波速周期波形移过一个波长所需的时间。频率周期的倒数。波速单位时间内振动状态（振动相位）的传播速度，又称相速。机械波速取决于弹性媒质的物理性质。或 媒质中波动传到的各点，都可以看作能够发射子波的新波源，在这以后的任

3、意时刻，这些子波的包络面就是该时刻的波面。波的叠加原理 两波在空间某点相遇，相遇处质点的振动是各列波到达该点所引起振动的叠加；相遇后各波仍保持其各自的特性（如频率、波长、振动方向等），继续沿原方向传播。通常波强不太强的波相遇，满足叠原理，称为线性波。波强强到不满足叠加原理的波，称为非线性波。第一节10 - 2平面简谐波由简谐振动的传播所形成的波动。简谐波 简谐波又称余弦波或正弦波，是规律最简单、最基本的波。各种复杂的波都可以看作是许多不同频率的简谐波的叠加。简谐波的一个重要模型是平面简谐波。 平面简谐波的波面是平面，有确定的波长和传播方向，波列足够长，各质点振动的振幅恒定。波动方程一列平面简谐

4、波（假定是横波）观测坐标原点任设（不必设在波源处）波沿 X 轴正向传播（正向行波）头表示该波的传播方向。试分别用小箭头表明图中头表示该波的传播方向。试分别用小箭头表明图中A A、B B、C C、D D、E E、F F、G G、H H、I I各质点的运动方向。各质点的运动方向。例例 设某一时刻绳上横波的波形曲线如下图所示，水平箭设某一时刻绳上横波的波形曲线如下图所示，水平箭xyABCDEFGHIuABCDEFGHI随堂小议（1 1）A A点的振动速度大于零；点的振动速度大于零；（2 2）B B点静止不动；点静止不动；（3 3）C C点向下运动；点向下运动；（4 4）DD点的振动速度小于零。点的振

5、动速度小于零。以波速以波速 u 沿沿 X 轴逆向传播的简谐波轴逆向传播的简谐波 t 时刻的波形如时刻的波形如下图下图ABCD波动方程一列平面简谐波（假定是横波）观测坐标原点任设（不必设在波源处）波沿 X 轴正向传播（正向行波）设 位于原点 处质点的振动方程为 已知振动状态以速度 沿 轴正向传播 。对应同一时刻 ， 振动状态与原点在时刻的振动状态相同。因此，在设定坐标系中，波线上任一点、任意时刻的振动规律为点的这就是沿 X 轴正向传播的平面简谐波动方程。它是时间和空间的双重周期函数。续上沿 X 轴正向传播的平面简谐波动方程波动方程常用周期波长或频率的形式表达由得消去波速波方程意义若给定 ，波动方

6、程即为距原点 处的质点振动方程距原点 处质点振动的初相若给定 ，波动方程表示所给定的 时刻波线上各振动质点相对各自平衡点的位置分布，即该时刻的波形图。续上若 和 都是变量，即 是 和 的函数， 这正是波动方程所表示的波线上所有的质点的振动位置分布随时间而变化的情况。可看成是一种动态的波形图。正向波同一时刻，沿 X 轴正向，波线上各质点的振动相位依次落后。波沿 X 轴正向传播反向波同一时刻，沿 X 轴正向，波线上各质点的振动相位依次超前。波沿 X 轴反向传播例三波动方程y = = 0.05 cos p p ( 5 x 100 t ) (SI)此波是正向还是反向波，并求A、n、T T、u 及 l

7、l ；x = 2 m 处质点的振动方程及初相；x1 = 0.2 m及 x2 = 0.35 m 处两质点的振动相位差。cosa = cos(-a)0.05cos p p ( 5 x 100 t ) 20 m s - -1100 p p0.02 s与比较得0.05 m0.4 m50 Hz而且得知原点（ x = 0 ) 处质点振动初相0.05cos 100 p p ( t ) x20正向波例三波动方程y = = 0.05 cos p p ( 5 x 100 t ) (SI)此波是正向还是反向波，并求A、n、T T、u 及 l l ；x = 2 m 处质点的振动方程及初相；x1 = 0.2 m及 x2

8、 = 0.35 m 处两质点的振动相位差。x = 2 m 处0.05cos p p ( 52 100 t ) 0.05cos ( 100 p p t 10 p p ) 初相为 10 p p x1 = 0.2 m 处的振动相位x2 = 0.35 m 处的振动相位两者的相位差为5 p p0.150.75 p pp p ( 5x1 100 t ) p p ( 5x2 100 t ) 例二一平面简谐波以波速 沿 X 轴正向传播。位于 处的 P 点的振动方程为得 波动方程设 B 点距原点为P 点振动传到 B 点需时即 B 点 时刻的振动状态与 P 点 时刻的振动状态相同 例例3 一平面简谐波沿一平面简谐

9、波沿 轴正方向传播，轴正方向传播， 已知振幅已知振幅 ， ， . 在在 时坐标原点处的质点在平衡位置沿时坐标原点处的质点在平衡位置沿 轴正向轴正向运动运动. 求：求： ( (2) ) 波形图；波形图；s0 .1t( (3) ) 处质点的振动规律并作图处质点的振动规律并作图. m5 . 0 x( (1) )波动方程；波动方程；m0 . 1A0tm0 . 2s0 . 2TOxOy解解 ( (1) ) 写出波动方程的标准式写出波动方程的标准式)(2cosl-xTtAy2-0,0y v00 xt)(2cosl-xTtAyyAO2)0 . 20 . 2(2cos-xty(m) ( (2) )求求 波形图波形图s0.1t2cos0 .1xy-波形方程波形方程s0.1t0m/ym/x2.01.0-1.0 时刻波形图时刻波形图s0.1t2)0 . 20 . 2(2cos0 . 1-xtyxsin(m) ( (3) ) 处质点的振动规律并作图处质点的振动规律并作图 m5 . 0