高三数学一轮复习精练圆锥曲线

1、用心 爱心 专心1高三数学一轮复习精练：圆锥曲线高三数学一轮复习精练：圆锥曲线一、选择题1.两个正数 a、b 的等差中项是92，一个等比中项是2 5，且, ba 则双曲线12222byax的离心率为a53b414c54d4152.已知：20( , )|4yx yyx ，直线2ymxm和曲线24yx有两个不同的交点，它们围成的平面区域为 m，向区域上随机投一点 a，点 a 落在区域 m 内的概率为()p m，若2(),12p m，则实数 m 的取值范围为a1 ,12 b30,3 c3,13 d 0,13.已知椭圆22:12xcy的右焦点为f,右准线为l，点al，线段af交c于点b，若3fafb

2、,则|af =(a). 2 (b). 2 (c).3 (d). 3 4.过双曲线22221(0,0)xyabab的右顶点a作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,b c若12abbc ，则双曲线的离心率是 ( ) a2 b3 c5 d105.下列命题中假命题是（ ） a离心率为的双曲线的两渐近线互相垂直2 b过点（1，1）且与直线 x2y+3=0 垂直的直线方程是 2x + y3=0 c抛物线 y2 = 2x 的焦点到准线的距离为 1 d223x+225y=1 的两条准线之间的距离为4256.设斜率为 2 的直线l过抛物线2(0)yaxa的焦点 f,且和y轴交于点 a,若oa

3、f(o为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( ). 用心 爱心 专心2a.24yx b.28yx c. 24yx d. 28yx7.已知直线)0)(2(kxky与抛物线 c:xy82相交 a、b 两点，f 为 c 的焦点。若fbfa2,则 k=(a)31 (b)32 (c)32 (d)3228.过椭圆22221xyab(0ab)的左焦点1f作x轴的垂线交椭圆于点p，2f为右焦点，若1260fpf，则椭圆的离心率为 a22 b33 c12 d13 9.已知双曲线22122xy的准线过椭圆22214xyb的焦点，则直线2ykx与椭圆至多有一个交点的充要条件是a. 1 1,2 2k b. 11,

4、22k c. 22,22k d. 22,22k 10.已知双曲线)0( 12222bbyx的左、右焦点分别是1f、2f，其一条渐近线方程为xy ，点), 3(0yp在双曲线上.则1pf2pf a. 12 b. 2 c. 0 d. 411.已知圆 c 与直线 xy0 及 xy40 都相切，圆心在直线 xy0 上，则圆 c 的方程为（a）22(1)(1)2xy (b) 22(1)(1)2xy (c) 22(1)(1)2xy (d) 22(1)(1)2xy12.已知直线1:4360lxy和直线2:1lx ，抛物线24yx上一动点p到直线1l和直线2l的距离之和的最小值是用心 爱心 专心3a.2 b.

5、3 c.115 d.3716 二、填空题1.若221:5oxy与222:()20()oxmymr相交于 a、b 两点，且两圆在点 a 处的切线互相垂直，则线段 ab 的长度是 w 2、已知双曲线2 ,2),( 12222erbabyax的离心率，则一条渐近线与实轴所构成的角的取值范围是_ 3.椭圆22192xy的焦点为12,f f，点 p 在椭圆上，若1| 4pf ，则2|pf ；12fpf的大小为 . 4.已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12(,0),( ,0)fcf c，若椭圆上存在一点p使1221sinsinacpffpf f，则该椭圆的离心率的取值范围为 5.若直

6、线m被两平行线12:10:30lxylxy 与所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是 15 30 45 60 75 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）6.已知以双曲线 c 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为 60 o，则双曲线 c 的离心率为627.若抛物线22ypx的焦点与双曲线22163xy的右焦点重合，则p的值为 三、解答题用心 爱心 专心41.（本小题满分 12 分，（）问 5 分，（）问 7 分）已知以原点o为中心的双曲线的一条准线方程为55x ，离心率5e （）求该双曲线的方程；（）如图，点a的坐标为(5,0)，b是圆22(5)1xy上的点

7、，点m在双曲线右支上，求mamb的最小值，并求此时m点的坐标； 2.（本小题满分 14 分）设椭圆 e: 22221xyab（a,b0）过 m（2，2） ，n(6,1)两点，o 为坐标原点，（i）求椭圆 e 的方程；（ii）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 e 恒有两个交点 a,b,且oaob ？若存在，写出该圆的方程，并求|ab |的取值范围，若不存在说明理由。3.（本小题满分 12 分）)0( 12222babyax 33已知椭圆 c: 的离心率为 ，过右焦点f 的直线 l 与 c 相交于 a、b22用心 爱心 专心522（）求 a,b 的值；（）c 上是否存在点 p，

8、使得当 l 绕 f 转到某一位置时，有oboaop成立？若存在，求出所有的 p 的坐标与 l 的方程；若不存在，说明理由。4.（本小题满分 14 分）如图，已知圆:g222(2)xyr是椭圆22116xy的内接abc的内切圆, 其中a为椭圆的左顶点. （1）求圆g的半径r;（2）过点(0,1)m作圆g的两条切线交椭圆于ef，两点，证明：直线ef与圆g相切 5.（本小题满分 12 分）已知，椭圆 c 以过点 a（1，32），两个焦点为（1，0）（1，0）。（1）求椭圆 c 的方程；（2）e,f 是椭圆 c 上的两个动点，如果直线 ae 的斜率与 af 的斜率互为相反数，证明直线 ef 的斜率为定

9、值，并求出这个定值。 两点，当 l 的斜率为 1 时，坐标原点 o到 l 的距离为xyab0cmefg用心 爱心 专心66.（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 如图，已知抛物线2:e yx与圆222:(4)(0)mxyrr相交于 a、b、c、d四个点。（）求 r 的取值范围（）当四边形 abcd 的面积最大时，求对角线 ac、bd 的交点 p 的坐标。7.（本小题满分 14 分）已知直线220 xy经过椭圆2222:1(0)xycabab 的左顶点 a 和上顶点 d，椭圆c的右顶点为b，点s和椭圆c上位于x轴上方的动点，直线，,as bs与直线10

10、:3l x 分别交于,m n两点。 （i）求椭圆c的方程； （）求线段 mn 的长度的最小值； （）当线段 mn 的长度最小时，在椭圆c上是否存在这样的点t，使得tsb的面积为15？若存在，确定点t的个数，若不存在，说明理由用心 爱心 专心7oyx22-28.（本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 8 分。 已知双曲线22:1,2xcy设过点( 3 2,0)a 的直线 l 的方向向量(1, )ekv （1）当直线 l 与双曲线 c 的一条渐近线 m 平行时，求直线 l 的方程及 l 与 m 的距离；（2）证明：当k22时，在双曲线 c 的右支上不

11、存在点 q，使之到直线 l 的距离为6。参考答案一、选择题1.【答案】：d【解析】：由已知得9,20,ababab 5,4ab，2241cab ，415cea ，选 d。2.【答案】：d解析：已知直线2ymxm过半圆24yx上一点（，），当()1p m 时，直线与轴重合，这时，故用心 爱心 专心8可排除 a,c,若，如图可求得当2()2p m，故选 d.3.【答案】：a【解析】：解:过点 b 作bml于 m,并设右准线l与 x 轴的交点为 n，易知 fn=1.由题意3fafb ,故2|3bm .又由椭圆的第二定义,得2 22|233bf |2af.故选 a 4.【答案】：c 【解析】对于,0a

12、 a，则直线方程为0 xya，直线与两渐近线的交点为 b，c，22,(,)aabaabbcab ababab，则有22222222(,),a ba bababbcabababab ab ，因222,4,5abbcabe 5.【答案】：d 【解析】： 对于 a：e = 2，a = b，渐近线 y = x 互相垂直，真命题. 对于b：设所求直线斜率为 k，则 k=2，由点斜式得方程为 2x+y30 , 也为真命题. 对于 c：焦点 f（21，0）,准线 x = 21 , d = 1 真命题. 对于 d： a = 5 ，b = 3 ，c = 4 ，d = 2225ca2 假命题，选 d【总结点评】本

13、题主要考查对圆锥曲线的基本知识、相关运算的熟练程度. 以及思维的灵活性、数形结合、化归与转化的思想方法.6. 【答案】:b.【解析】: 抛物线2(0)yaxa的焦点 f 坐标为(,0)4a,则直线l的方程为2()4ayx,它与y轴的交点为 a(0,)2a,所以oaf 的面积为1| | 42 42aa,解得8a .所以抛物线方程为28yx ,故选 b. 【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数a的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合

14、二为一.7.【答案答案】：d用心 爱心 专心9【解析解析】：本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（：本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0），），由由2fafb及第二定义知及第二定义知)2(22baxx联立方程用根与系数关系可求联立方程用根与系数关系可求 k=2 23。8.【答案】：b【解析】因为2(,)bpca，再由1260fpf有232 ,baa从而可得33cea，故选 b9.【答案】：a【解析】易得准线方程是2212axb 所以222241cabb 即23b 所以方程是22143xy联立2 ykx可得22 3+(4k +16k)40

15、xx 由0 可解得a10.【答案答案】c【解析 1】：由题知22 b，故)0 , 2(),0 , 2(, 123210ffy ，0143)1,32()1,32(21 pfpf，故选择 c。【解析 2】：根据双曲线渐近线方程可求出双曲线方程22122xy，则左、右焦点坐标分别为12( 2,0),(2,0)ff，再将点0( 3,)py代入方程可求出( 3, 1)p，则可得120pf pf ，故选 c。11.【答案】b【解析】圆心在 xy0 上,排除 c、d,再结合图象,或者验证 a、b 中圆心到两直线的距离等于半径即可.2【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。解析：直线2:1

16、lx 为抛物线24yx的准线，由抛物线的定义知，p 到2l的距离等于 p到抛物线的焦点)0 , 1(f的距离，故本题化为在抛物线24yx上找一个点p使得p到点)0 , 1(f和直线2l的距离之和最小，最小值为)0 , 1(f到直线1:4360lxy的距离，即用心 爱心 专心1025|604|min d，故选择 a。解析 2：如下图，由题意可知22|3 1 06|234d 二、填空题1.【答案】：4解析：由题知)0 ,(),0 , 0(21moo，且53|5 m，又21aoao ，所以有525)52()5(222 mm，452052 ab。2.【答案】： , .43【解析】：依题意有22ca，2

17、224ca，即22224aba，2213ba，得13ba，433.【解析解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属于基础知识、基本运算的考查.【答案答案】2, 120 229,3ab，22927cab，122 7ff ，又1124,26pfpfpfa，22pf ， （第 13 题解答图）又由余弦定理，得22212242 71cos2 2 42fpf ，12120fpf，故应填2, 120.4.【答案】21,1【解法 1】，因为在12pff中，由正弦定理得211221sinsinpfpfpffpf f用心 爱心 专心11则由已知，得1211acpfpf，即1

18、2apfcpf设点00(,)xy由焦点半径公式，得1020,pfaex pfaex则00()()a aexc aex记得0()(1)()(1)a caa exe cae e由椭圆的几何性质知0(1)(1)a exaae e 则，整理得2210,ee 解得2121(0,1)eee 或，又，故椭圆的离心率( 21,1)e【解法 2】： 由解析 1 知12cpfpfa由椭圆的定义知 212222222capfpfapfpfapfaca则即，由椭圆的几何性质知22222,20,apfacacccaca则既所以2210,ee 以下同解析 1.5.本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考

19、查数形结合的思想。【解析】：两平行线间的距离为211|13| d，由图知直线m与1l的夹角为o30，1l的倾斜角为o45，所以直线m的倾斜角等于00754530 o或00153045 o。故填写或6.【答案】：62【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是, (b c b是虚半轴长，c是焦半距)，且一个内角是30，即得tan30bc，所以3cb，所以2ab，离心率3622cea7.【答案】：6【解析】：本题考查了抛物线和双曲线的有关基本知识用心 爱心 专心12双曲线22163xy的右焦点 f（3,0）是抛物线22ypx的焦点，所以，32p，p=6三、解

20、答题三、解答题1. 1.解：（）由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线的方程为22221(0,0)xyabab，设22cab，由准线方程为55x 得255ac，由5e 得5ca 解得1,5ac 从而2b ，该双曲线的方程为2214yx ；（）设点 d 的坐标为( 5,0)，则点 a、d 为双曲线的焦点，| 22mamda所以| 2 |2 |mambmbmdbd ，b是圆22(5)1xy上的点，其圆心为(0, 5)c，半径为 1，故| | 1101bdcd 从而|2 |101mambbd当,m b在线段 cd 上时取等号，此时|mamb的最小值为101直线 cd 的方程为5yx ，因点

21、m 在双曲线右支上，故0 x 由方程组22445xyyx 解得54 24 54 2,33xy 所以m点的坐标为54 2 4 54 2(,)33； 2.解:（1）因为椭圆 e: 22221xyab（a,b0）过 m（2，2） ，n(6,1)两点,所以2222421611abab解得22118114ab所以2284ab椭圆 e 的方程为22184xy（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 e 恒有两个交点用心 爱心 专心13a,b,且oaob ,设该圆的切线方程为ykxm解方程组22184xyykxm得222()8xkxm,即222(12)4280kxkmxm, 则=22222

22、2164(12)(28)8(84)0k mkmkm,即22840km12221224122812kmxxkmx xk ,22222222212121212222(28)48()()()121212kmk mmky ykxm kxmk x xkm xxmmkkk要使oaob ,需使12120 x xy y,即2222228801212mmkkk,所以223880mk,所以223808mk又22840km,所以22238mm,所以283m ,即2 63m 或2 63m ,因为直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为21mrk,222228381318mmrmk,2 63r ,所求的圆

23、为2283xy,此时圆的切线ykxm都满足2 63m 或2 63m ,而当切线的斜率不存在时切线为2 63x 与椭圆22184xy的两个交点为2 62 6(,)33或2 62 6(,)33满足oaob ,综上, 存在圆心在原点的圆2283xy，使得该圆的任意一条切线与椭圆 e 恒有两个交点 a,b,且oaob .因为12221224122812kmxxkmx xk ,用心 爱心 专心14所以22222212121222224288(84)()()4()41212(12)kmmkmxxxxx xkkk ,2222222121212228(84)|()(1)()(1)(12)kmabxxyykxx

24、kk422424232 45132134413441kkkkkkk, 当0k 时22321|11344abkk因为221448kk所以221101844kk,所以223232111213344kk,所以46 | 2 33ab当且仅当22k 时取”=”.当0k 时,4 6|3ab . 当 ab 的斜率不存在时, 两个交点为2 62 6(,)33或2 62 6(,)33,所以此时4 6|3ab ,综上, |ab |的取值范围为46 | 2 33ab即: 4| 6,2 33ab 【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数

25、法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.3.解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。关系解决问题，注意特殊情况的处理。解：（）设,0 , cf 当l的斜率为 1 时，其方程为ocyx, 0到l的距离为 2200cc用心 爱心 专心15 故 222c， 1c 由 3

26、3ace 得 3a，22cab=2（）c 上存在点p，使得当l绕f转到某一位置时，有oboaop成立。由 （）知 c 的方程为22x+23y=6. 设).,(),(2211yxbyxa () ) 1( xkylxl的方程为轴时，设不垂直当c oboaopp使上的点成立的充要条件是）点的坐标为（2121,yyxxp， 且6)(3)(2221221yyxx整理得 6643232212122222121yyxxyxyx632 , 63222222121yxyxcba上，即在、又故 03322121yyxx 将 并化简得代入, 632) 1(22yxxky0636)32(2222kxkxk 于是 22

27、21326kkxx, 21xx=223263kk, 2221221324)2)(1(kkxxkyy 代入解得，22k，此时2321 xx 于是)2(2121xxkyy=2k， 即)2,23(kp 因此， 当2k时，)22,23(p， 022 yxl的方程为； 当2k时，)22,23(p， 022 yxl的方程为。用心 爱心 专心16（）当l垂直于x轴时，由)0 , 2(oboa知，c 上不存在点 p 使oboaop成立。综上，c 上存在点)22,23(p使oboaop成立，此时l的方程为022 yx.4.解: （1）设b02, r y（），过圆心g作gdab于d,bc交长轴于h由gdhbada

28、h得02636yrrr,即 066rryr (1) 而点b02, r y（）在椭圆上,2220(2)124(2)(6)1161616rrrrry (2)由(1)、 (2)式得2158120rr,解得23r 或65r （舍去）(2) 设过点m(0,1)与圆224(2)9xy相切的直线方程为:1ykx (3)则221231kk,即2323650kk (4)解得12941941,1616kk 将(3)代入22116xy得22(161)320kxkx,则异于零的解为232161kxk 设11 1( ,1)f x k x ,222(,1)e x k x ，则121222123232,161161kkxx

29、kk 则直线fe的斜率为：221 112211231 164efk xk xkkkxxk k于是直线fe的方程为:2112211323231()1614161kkyxkk 即3743yx用心 爱心 专心17则圆心(2,0)到直线fe的距离3722339116d 故结论成立.5.解：（）由题意，c1,可设椭圆方程为2222114xybb。 因为 a 在椭圆上，所以2219114bb，解得2b3，2b34（舍去）。所以椭圆方程为 22143xy 4 分（）设直线方程：得3(1)2yk x，代入22143xy得 22233+4+4 (32 )4()1202kxkk xk（）设（ex，ey），（fx，

30、fy）因为点（1，32）在椭圆上，所以2234()12234ekxk， 32eeykxk。8 分又直线 af 的斜率与 ae 的斜率互为相反数，在上式中以k代k，可得2234()12234fkxk， 32ffykxk 。所以直线 ef 的斜率()212fefeeffefeyyk xxkkxxxx。即直线 ef 的斜率为定值，其值为12。 12 分6.解：解：（）将抛物线2:e yx代入圆222:(4)(0)mxyrr的方程，消去2y，用心 爱心 专心18整理得227160 xxr（1）抛物线2:e yx与圆222:(4)(0)mxyrr相交于a、b、c、d四个点的充要条件是：方程（1）有两个不

31、相等的正根 016070)16(449221212rxxxxr即 442525rrr或 或。解这个方程组得425 r15(,4)2r.（ii） 设四个交点的坐标分别为11( ,)a xx、11( ,)b xx、22(,)c xx、22(,)d xx。则由（i）根据韦达定理有212127,16xxx xr，15(,4)2r则2112211212 |() |()2sxxxxxxxx 222212121212()4(2)(72 16)(415)sxxx xxxx xrr 令216rt，则22(72 ) (72 )stt 下面求2s的最大值。方法 1：由三次均值有：221(72 ) (72 )(72

32、)(72 )(144 )2sttttt 331 7272144128()()2323ttt 当且仅当72144tt，即76t 时取最大值。经检验此时15(,4)2r满足题意。法 2：设四个交点的坐标分别为11( ,)a xx、11( ,)b xx、22(,)c xx、22(,)d xx则直线 ac、bd 的方程分别为)(),(112121112121xxxxxxxyxxxxxxxy 解得点 p 的坐标为)0 ,(21xx。用心 爱心 专心19设21xxt ，由216rt 及（）得)41, 0( t 由于四边形 abcd 为等腰梯形，因而其面积| )22(212121xxxxs 则4)(2(2122122112xxxxxxxxs 将721 xx，txx 21代入上式，并令2)(stf ，等)270(34398288)27()27()(232 tttttttf，)76)(72(2985624)(2 tttttf，令0)( tf得67