勾股定理的应用

1、1（2015茂名校级一模）超速行驶是引发交通事故的主要原因上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得APO=60°，BPO=45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？（参考数据：=1.41，=1.73）考点：勾股定理的应用分析：首先利用两个直角三角形求得AB的长，然后除以时间即可得到速度解答：解：由题意知：PO=100米，APO=60°，BPO=45°，在直角三角形BPO中，BPO=45&

2、#176;，BO=PO=100m在直角三角形APO中，APO=60°，AO=POtan60°=100AB=AOBO=（100100）73米，从A处行驶到B处所用的时间为3秒，速度为73÷324.3米/秒=87.6千米/时80千米/时，此车超过每小时80千米的限制速度点评：本题考查了解直角三角形的应用，从复杂的实际问题中整理出直角三角形并求解是解决此类题目的关键2（2015秦皇岛校级模拟）如图，铁路MN和铁路PQ在P点处交汇，点A处是重庆市第九十四中学，AP=160米，点A到铁路MN的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响（1）火车在铁路MN上

3、沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由（2）如果受到影响，已知火车的速度是180千米/时那么学校受到影响的时间是多久？考点：勾股定理的应用专题：探究型分析：（1）过点A作AEMN于点E，由点A到铁路MN的距离为80米可知AE=80m，再由火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响即可直接得出结论；（2）以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线MN于BC两点，连接AB、AC，则AB=AC=100m，在RtABE中利用勾股定理求出BE的长，进而可得出BC的长，根据火车的速度是180千米/时求出火车经过BC是所用的时间即可解答：解：（1）会受到影响过点A作AEMN于点E，点A到铁路MN的距

4、离为80米，AE=80m，周围100米以内会受到噪音影响，80100，学校会受到影响；（2）以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线MN于BC两点，连接AB、AC，则AB=AC=100m，在RtABE中，AB=100m，AE=80m，BE=60m，BC=2BE=120m，火车的速度是180千米/时=50m/s，t=2.4s答：学校受到影响的时间是2.4秒点评：本题考查的是勾股定理的应用，在解答此类题目时要根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，再利用勾股定理求解3（2015邵阳县一模）如图，根据道路管理规定，在某笔直的大道AB上行驶的车辆，限速60千米/时，已知测速站点M距大道AB的距离MN为3

5、0米，现有一辆汽车从A向B方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用时间危机6秒，AMN=60°，BMN=45°（1）计算AB的长度（结果保留整数）（2）通过计算判断此车是否超速（温馨提示：1.732，1.414）考点：勾股定理的应用分析：（1）已知MN=30m，AMN=60°，BMN=45°求AB的长度，可以转化为解直角三角形；（2）求得从A到B的速度，然后与60千米/时16.66米/秒，比较即可确定答案解答：解：（1）在RtAMN中，MN=30，AMN=60°，AN=MNtanAMN=30在RtBMN中，BMN=45°，BN=MN

6、=30AB=AN+BN=（30+30）米；（2）此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，此车的速度为：（30+30）÷6=5+513.66，60千米/时16.66米/秒，13.6616.66不会超速点评：本题考查了勾股定理以及解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形，难度不大4（2015无锡校级一模）耩（jing）子是一种传统农用播种的工具，大小款式不一，图（1）是改良后有轮子的一种，图（2）是其示意图，现测得AC=40cm，C=30°，BAC=45°为了使耩子更牢固，AB处常用粗钢筋制成，则制作此耩子时需要准备多长的粗钢筋？（结果保留根号）考点：勾股

7、定理的应用分析：过点B作BDAC于D设BD=x，在RtABD中和RtCBD中，分别求出AB和CD的值，再利用条件AD+CD=AC，即x+x=40，解方程求出x的值，进而求出AB的值解答：解：过点B作BDAC于D设BD=x，在RtABD中，BAC=45°，BD=AD=x，AB=x，在RtCBD中，ACB=30°，CD=x，AD+CD=AC，x+x=40，x=2020，AB=x=2020答：制作此耩子时需准备（2020）cm的粗钢筋点评：本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）根据题

8、目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案5（2015滨江区一模）如图1，海边有两个灯塔A，B即将靠岸的轮船得到信息：海里有一个以AB为弦的弓形暗礁区域，要求轮船在行驶过程中，对两灯塔的张角不能超过45°当轮船航行到P点时，测得轮船对两灯塔的张角APB刚好等于45°（1）请用直尺和圆规在图中作出如图2APB的外接圆（作出图形，不写作法，保留痕迹）；（2）若此时轮船到B的距离PB为700米，已知AB=500米，求出此时轮船到A的距离考点：勾股定理的应用；三角形的外接圆与外心；作图复杂作图分析：（1）作任意两边的垂直平分

9、线，交点即为外接圆的圆心；（2）过B作BHAP，将整个三角形分成两个含有特殊角的三角形求解即可解答：解：（1）如图1：O就是所求作的圆（2）如图2，过A作AHBP，在RtAPH中，P=45，AH=PH设BH=PH=x，则BH=700x在RtBAH中，x2+（700x）2=5002，x2700x+120000=0，解得：x=300或x=400，AP=米或AP=米答：轮船距离B有或米点评：本题考查了勾股定理及基本作图的知识，解题的关键是将整个三角形分成两个含有特殊角的三角形，难度不大6（2015张店区一模）一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线OAB，如图1所示，

10、量得连杆OA长为10cm，雨刮杆AB长为45cm，OAB=120°若启动一次刮雨器，雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置，如图2所示（1）求雨刮杆AB旋转的最大角度及O、B两点之间的距离；（2）求雨刮杆AB扫过的最大面积考点：勾股定理的应用；全等三角形的应用；旋转的性质分析：（1）利用已知图形得出雨刮杆AB旋转的最大角度，再利用锐角三角函数关系得出BE的长，进而求出BO的长；（2）直接得出BAOOCD，进而得出雨刮杆AB扫过的最大面积解答：解：（1）雨刮杆AB旋转的最大角度为180°，如图2，连接OB，过O点作AB的垂线交BA的延长线于E，OAB=120°，OAE=

11、60°在RtOAE中，OAE=60°，OA=10m，sinOAE=，OE=5m，AE=5mEB=AE+AB=50m，在RtOEB中，OE=5m，EB=50m，OB=（m）；（2）雨刮杆AB旋转180°得到CD，即OCD与OAB关于点O中心对称，BAOOCD，SBAO=SOCD，雨刮杆AB扫过的最大面积S=（OB2OA2）=1237.5（m2）点评：此题主要考查了勾股定理的应用以及锐角三角函数关系，利用锐角三角函数关系得出OE的长是解题关键7（2015宝山区一模）如图，P为O的直径MN上一点，过P作弦AC、BD使APM=BPM，求证：PA=PB考点：勾股定理的应用专

12、题：证明题分析：根据角平分线性质求出OE=OF，根据勾股定理求出AE=BF，PE=PF，即可得出答案；解答：解：过O作OEAC于E，OFBD于F，连接OB、OA，APM=BPM，OE=OF，在RtAEO和RtBFO中，OF=OE，OA=OB，由勾股定理得：AE=BF，在RtPEO和RtPFO中，OF=OE，OP=OP，由勾股定理得：PE=PF，PA=PB点评：本题考查了角平分线的性质，勾股定理的应用，熟练掌握性质和作出辅助线构建直角三角形是本题的关键8（2015春召陵区期中）如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.

13、4米，那么梯足将向外移多少米？考点：勾股定理的应用专题：计算题分析：在直角三角形ABC中，已知AB，BC根据勾股定理即可求AC的长度，根据AC=AA1+CA1即可求得CA1的长度，在直角三角形A1B1C中，已知AB=A1B1，CA1即可求得CB1的长度，根据BB1=CB1CB即可求得BB1的长度解答：解；在直角ABC中，已知AB=2.5m，BC=0.7m，则AC=m=2.4m，AC=AA1+CA1CA1=2m，在直角A1B1C中，AB=A1B1，且A1B1为斜边，CB1=1.5m，BB1=CB1CB=1.5m0.7m=0.8m答：梯足向外移动了0.8m点评：本题考查了勾股定理在实际生活中的应用

14、，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求CB1的长度是解题的关键9（2015春乌兰察布校级期中）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？考点：勾股定理的应用专题：几何图形问题分析：（1）利用勾股定理直接得出AB的长即可；（2）利用勾股定理直接得出BC的长，进而得出答案解答：解：（1）由题意得：AC=25米，BC=7米，AB=24（米），答：这个梯子的顶端距地面有24米；（2）由题意得：BA=20米，BC=15（米），则：CC=157=8（米），答：梯子的底端在水平方向

15、滑动了8米点评：此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理是解题关键10（2015春长汀县期中）有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高考点：勾股定理的应用专题：应用题分析：根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高解答：解：设门高为x尺，则竹竿长为（x+1）尺，根据勾股定理可得：x2+42=（x+1）2，即x2+16=x2+2x+1，解得：x=7.5，故：门高7.5尺，竹竿高=7.5+1=8.5尺点评：本题考查勾股定理的运用，正确运用

16、勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般11（2015春定州市期中）11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺每棵树的树顶上都停着一只鸟忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树根有多远？考点：勾股定理的应用分析：根据题意画出图形，利用勾股定理建立方程，求出x的值即可解答：解：画图解决，通过建模把距离转化为线段的长度由题意得：AB=20，DC=30，

17、BC=50，设EC为x肘尺，BE为（50x）肘尺，在RtABE和RtDEC中，AE2=AB2+BE2=202+（50x）2，DE2=DC2+EC2=302+x2，又AE=DE，x2+302=（50x）2+202，x=20，答：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根20肘尺另解：设：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根肘尺，则这条鱼出现的地方离比较低的棕榈树的树根（50x）肘尺得方程：x2+302=（50x）2+202可解的：x=20；答：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根20肘尺点评：本题考查勾股定理的正确运用；善于挖掘题目的隐含信息是解决本题的关键12（2015春江夏区期中）水池中有水

18、，水面是一个边长为10尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？考点：勾股定理的应用分析：找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答解答：解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（）2=（x+1）2，解得：x=12，芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），答：水池深12尺，芦苇长13尺点评：本题考查正确运用勾股定理善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键13（2015春平南县期中）如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60

19、6;方向走了100km到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100km到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离考点：勾股定理的应用分析：根据所走的方向可判断出ABC是直角三角形，根据勾股定理可求出解解答：解：ADBEABE=DAB=60°CBE=30°ABC=180°ABECBE=180°60°30°=90°，在RtABC中，=200，A、C两点之间的距离为200km点评：本题考查勾股定理的应用，先确定是直角三角形后，根据各边长，用勾股定理可求出AC的长，且求出DAC的度数，进而可求出点C在点A的什么方向上14（2

20、015春无棣县期中）如图所示，一架长为2.5米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端距离底0.7米，求梯子顶端离地多少米？如果梯子顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动多少m？考点：勾股定理的应用分析：首先利用勾股定理得出BO的长，进而求出CO的长，即可得出答案解答：解：由题意可得：AB=2.5m，AO=0.7m，故BO=2.4（m），梯子顶端沿墙下滑0.4m，DO=2m，CD=2.5m，CO=1.5m，AC=COAO=1.50.7=0.8（m）答：梯子底端将向左滑动0.8m点评：此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理是解题关键15（2015春孝南区期中）在海洋上有一近似于四边

21、形的岛屿，其平面图如图，小明据此构造出该岛的一个数学模型（如图四边形ABCD）来求岛屿的面积，其中B=D=90°，AB=BC=15千米，CD=3千米，请求出四边形ABCD的面积（结果保留根号）考点：勾股定理的应用分析：连接AC，根据AB=BC=15千米，B=90°得到BAC=ACB=45° AC=15，再根据D=90°利用勾股定理求得AD的长后即可求面积；解答：解：连接ACAB=BC=15千米，B=90°BAC=ACB=45° AC=15千米，又D=90°，AD=12（千米） 面积=SABC+SADC=112.5+18（平方

22、千米）点评：本题考查了解直角三角形的应用，与实际问题相结合提高了同学们解题的兴趣，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解16（2015春滑县期中）在平静的湖面上有一枝红莲花高出水面1米，一阵风吹来，花朵从根部倾斜被风吹到一边，花朵刚好齐及水面，这情景被在湖中游船上的小丽看见，她发现红莲移动的水平距离为2米，她想利用所学知识求出水深，你能帮她算出来吗？考点：勾股定理的应用分析：根据题意画出图形，结合图形利用勾股定理解答解答：解：如图，AD是红莲高出水面部分，即AD=1，B是红莲入泥处（根部）设BD=x，则BA=1+x，所以BC=AB=1+x，在RtBCD中，CD2+BD2=BC2，即22

23、+x2=（1+x）2，4+x2=1+2x+x2，2x=3解得：x=即这里的水深m点评：此题主要考查学生对勾股定理的应用这一知识点的理解和掌握，关键是根据题意构造直角三角形，利用勾股定理求解，难度不大，属于中档题17（2015春岱岳区期中）小明爸爸给小明出了一道题：如图，修公路AB遇到一座山，于是要修一条隧道BC已知A，B，C在同一条直线上，为了在小山的两侧B，C同时施工过点B作一直线m（在山的旁边经过），过点C作一直线l与m相交于D点，经测量ABD=130°，D=40°，BD=1000米，CD=800米若施工队每天挖100米，求施工队几天能挖完？考点：勾股定理的应用分析：根据题意得出ACD=90°，再利用勾股定理得出BC的长即可得出答案解答：解：ABD=130°，D=40°，DBC=50°，则ACD=90°，BD=1000米，CD=800米，BC=600m，故600÷100=6（天），答：施工队6天能挖完点评：此题主要考查了勾股定理的应用，得出ACD的度数是解题关键18（2015春娄底期中）如图，将长为2.5