No.57全国高中数学联合竞赛模拟试题

1、No.57高中数学联赛模拟试卷、填空题（共8题，每题8分，64分）1、f(x)是周期为 5 的奇函数，f(1) 8,则 f (2010) f (2009)2、设函数f x,若x表示不大于x的最大整数，则函数f x1 3x值域是。0的根，则323、0, x1，x2,必为多项式 x x x111123456357911 138121620242028 36 44 -486480112 144 (x x x3)( 一 )x1x2x34、如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行的相邻两个数的和写在这两数的正中间的下方得到下一行，数表从左到右、从上到下无限。则 2000在表中出现 次。

2、. _25、已知二次函数f x x 2mx 1 ,若对于0,1上的任意三个实数a,b,c,函数值f a ,f b ,f c都能构成一个三角形的三边长，则满 足条彳的m的值可以是6、若（x y）5 x5 y 0 ,则 y 。7、如图从第一格跳到第 8格，规定每次只能跳一格或者2格，| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 61718则不同的跳格方法总数为 。8、等比数列an中，a 1包010 4,函数 f (x) x(x a)(x az)L (x 22010),则函数在（0,0）处的切线方程为 。二、解答题（共3题，共56分）9、（本题16分）如图，已知 O为 ABC的外心，a,b,c分别是

3、角A、B、C的对边，且满足uuir ulu iur uurtanA tanACO AB BO CA。（1）推导出三边a,b,c之间的关系式；（2）求回A 回的值。tanB tanC-3 -10、（本题20分）设直线l:y kx m （其中22B,与双曲线y- 1交于不同两点C,412若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，D,问是否存在直线请说明理由.uuir,使得向量ACuuurBD 0,22x y 、 一 .k , m为整数）与椭圆 1交于不同两点 A ,16 12111、（本题20分）已知函数f x ，对于n N ,定乂至x f x ,fn 1 x f fn x , 1 x偶函数g x

4、的定义域为 xx 0,当x 0时，g x£2009 x。（1）求9*；（2）若存在实数a,b a b使得该函数在 a, b上的最大值为 ma ,最小值为mb ,求非零实数 m的取值范 围。1、8, f(0) 0,(2010) f (2009) f(0) f( 1) 812、0, 1。斛：由已知付0 f x 1, f x f x 1,所以当f x f x一时，值为1;21_, 一，, 1_，当0 f x时，值为0;当f x1时，值为0;所以值域为0,1223、 1,设x）,x2,L ,4为多项式的所有正根，由韦达定理有x1 x2 x31(1)xx2x1x3x?x3、一,，111、(2)

5、变形为 x2x3(一)一xx2x3取2*3(3)111(3)代入得一 Xix2x31结合（1）得（一x1X2,1、，L)(x1xnx2 Lxn)4、解：由数表推得，每一行都是等差数列，第记第n行的第m个数为f n,m，则f n,1n行的公差为2n 1f n 1,1 f n1,25、2f n 1,1算得f n,1n 22 2m n2 f n,1 f n 1,12n1 2n 242000 22n1f n,m53,当 nn 1 n 2f n,1 m 1 221,3,5,6时符合。答案为4。2m0,内的任一实数。解：由题意当2x 0,1 时,f x min2fx minf x max0时,f x mi

6、n2 f x minmax f 12m小存在;0,1时,f x min2m 02 f x min4mf x maxf x min2 f x min2 2m2max2m所以这时6、当”所以这时时,f x minm2 02 f x min2m2f x max；综上所述20 解：原方程可化为 x y 5x5 x考虑单调性7、完成从第一格到第 7格，每次跳一格,要跳 7次才能完成。有x次跳1格，y次跳2格,则 x 2y 7(x,y N)当x 1,y 3时，有c4种跳法；当x 3,y 2时，有c53种跳法当x 5,y 1时，有C5种跳法；当x 7,y 0时，有C；种跳法共有21种跳法20108、y 2

7、x, g(x)(x a)(x a2)L (x a20io)则 f (x)g(x) xg (x)切线斜率kf (0)aia?La20i0505(a a2010)220109、解：（1）取uurCOuurABAB、uur (CEAC的中点E、F,同理uurBOuuuCA(2)tan Atan By10、由 Jx16kx2 y12设 A x1 , y1y由x2 x4kx2 y12因为X3 :uur时,uurEO)uuuABuuu uurCE ABuurCBuurCAuuuCBuuuCA所以2a2tan A tanCcosB sin BcosC sin Csin AcosAsin B Csin Asi

8、n B sin C cos Abc2 22222b c a2bcm消去1X2 ， V2y化简整理得2：4k x28kmx 4 m488 km4k228km24k24m 480 dm消去y化简整理得1，V4 : uurAC BD8km3 4 k2由和得有9条.11、解:f1 xk22kmx12 0D X4, y4，则 X30,所以X4X22kmX4X3Xik222 km2m 122km3 k22. 3.所以2km0, 4此时V4 V2V3y10 .由 XiX2X3X4由和得3(1)因为1123 4k 30 .当k273.因m是整数，所以m的值为k 73 .因k是整数,f f1 x111 1 xx 1 f，f3 x x3, 21,0,1，2, 3.f2 x于是满足条件的直线共1 xx 11 x1 - ,x 0x所以g x11 一，x 0 x图象如右：ma 0 ,矛盾）（2）因为 a b,ma mb 0 m 0,a b 0;又因为mb 0,所以 1 a,b（否则m 0, mb.一1 ,当a b 1,则f x 1 1在