用行列式求法向量

1、行列式在高中几何中的应用三阶行列式的应用冋量作为沟通代数与几何的桥梁很引人高中 数学，大大简化了几何间题运算量；在立体几何中 常用法向量来解决距离间题，夹角间题，于是求法 向量又是一个新冋题°行列式在求法向量时比较简 洁，明快，并且三阶行列式还可以求点到平面的距 离，四面体，平行六面体的体积.-X行列式的定义n阶行列式的定义，符号第1列第2列第幵列叫做"阶行列式 具中吗表示行列式中弟，行第j列上的元素，即第一下标表示行数.第二下标表示列数.如表示弟2行第4列上的元素.返里只介绍三阶行列武的运算规定以及应用二阶行列式的定又乂符号三阶行列式的定义：符号。11% 如°1

2、 如 5 =如彳皿3 + a2a23a31+如冬一 a3a22a31 122133 一4142比 叫做三阶行列式（等号右边是运算结果）. 下面举例说明三阶行列式在离中几何中的应用.二.利用三阶行列式求法向量1.定义设平面G内不共线的两个的向量的坐标 为勺=（遢，必，可），_ 1 7 k色-（2，%，Zj，则行列式工】Vj Z24 V. 2.例；直棱枉ABC-ABC-中，九B=EC =丄川4 ,J 'Q1ZBAC = 90°, D为棱BE的中点.来平面ADC的一个法向量.如图，建立空间直角坐标糸 A - xy -z ,则“4(0 ,0,0),4(0 ,0,2),5(0 , 1

3、, 0),耳(0 ,1,2), C(1 , 0 , 0),C(1 ,0,2), Z)(0,1 r 1),取面 ADC 内两个不共线向量丁万二(0 ,1,1),疋= (1,0,0),则平面ADC的一个袪向量为: «i J k0 11 =j-k=(0 ,1,-1)；1 0 02.应用举例(1) 证明线面平行；平面平面&外一条直线？的一的一个非零法向量是：,a的充要条件是fw=Q (2) 求二面角；面aD面0=1,面a的一个非零法向量是并，面0的一!个非零袪向量是亦，则二面角a-1-p的大小为arccos <rn , n > 或 7T- arc cos <rn ,

4、 n> .:例1】正三棱柱ABC-AC.的侧棱长为, 底面辺长为2, Q是&C的中点.证明:ABx/f平面DSC】;解：依题意，建立如图所示的空间亘角坐标糸:c-x)2 ,则：C(0 , 0 , 0), C(0 , 0 ,刀)，5(0 , 2,0),耳(0 , 2 , V3), J(V3 ,1,0),平面DBC、的一个迭向量为:巫£ =（,1, V3）32九 , 1 9 J3), D声,1 , 0),贝IJ2 2,巧DB=(-,2丄，0),2龙=(也, 2/场丄刃，所以AB /平面DBC.炬丄”，所以且场平面(II )面QBC的一个袪问量为：面BCC的一个法向量为:_亍

5、j无_wi= 0 0 VI = -25/3?,万=（一2“, 0,0）,0 2 0贝ij | cos < m , n >|=m 门I剧帀ll2>/3 .2x/3 4因此二面角c的余弦值为：(3) 来异面直线的公共法问量：a与b是异面直线，向量£ =(兀,”,可)是直线 a的方向向量，v2 =(x2 9 y2 9 z?)是直线b的方问 向量，则异面直线a与b的一个公共法向量是：:J k刃=工】M 彳勺兀Z2法向量求两异面直线距离的基本思想：在空间中取 两条异面直线a和b ,且他们的一个法向量为：， 因为直线a丄云，记垂足为b丄d 记垂足为 N ,则线段£V的

6、长就是异面直线a和D的距离, 如图，记法向量nBA的夹角为&,则|而曰瓦|顽|迹6斗匸顽|,故|莎匸四马=也凹.其中水分别为两异面直线上的任意点，并且此 两点必须分居在两直线上.【例2】已知正方体ABCD-A.B.CD.的棱长为1 求异面直线D4勻卫C的距离.解；建立如图所示的空间直 角坐标D-xyz,込 0 , 0),外(1 , 0 , 1), C(0 , u 0),a<=(i ,o,i), .ic =(-i ,i,o)于是异面直DA与4C的一个法向量为W= 1 0 1 =- + 1-7=(-1 ,-1,1)-1 1 0分别在异面直线DA占AC各取一点虫、D , 异面宜线D冬与

7、EC的距离为,|£三5| |(-1 , -1 r 1).<-1 , 0 , 0)| 巧U =二=/ =I 川V33三.利用三阶行列式求平面方程 定理，过三点,4(无,y , NJ. B(x2 r y2 7 zj*C(x3，y3，Z3)的平面a的方程为：工-m y-y z-Z x2 -x1 y2 z2-z =0 .S - X1 丁3一门 G_Z定理！若平面a的方程为 < 貳工+ Qr + Cz + D = 0 ,则平面外一点P(xG, y0, %)到平面a的距頡为:【例3】己知正方形ABCD的边长为4, OG丄平 面 ABCD , CG = 2 , E、F 分别是 、AD

8、的 中点，求点B到平面£FG的距离.解：依题意，建立帅图所示的空间直角坐标糸：C-OTZ ,则：E(0 , 4, 0)疋(2 , 4 , 0),F(4 , 2 , 0) , G(0 , 0 , 2),则平面EFG 的方 程为:x-0 y-02-0 4-00-2=00-2zGC4-0 2-0即:一8工一8v + 4z8-16/+32 + 4y+ 4工=0 亦即：x + v + 3z-6 =0所以5(0 , 4 , 0)到平面EFG的距离为：|0 十4十0 6|2屈d =7=Vii 11四、利用三阶行列式求四面体的休积定理：记平行六面体ABCD -A.B.C.D,的一个顶 点A引出的三辺

9、所对应的向量AB=(x. , 3、，zj、AD = (x2，尹2 , zj、A A. =(x3, y3 , z3),则平行六面体的体积为；定理:记四面体S - ABC的一个罡点S引出的三边 所对应的向量坐标分别为：SB =(%j，”，K)、SC = (x3, y3 r z),则四面体S - ABC的体积为：所以卩三吐=”三技桂=+各2说明：1.定理中的三向量只妾是四面体的同一顶点引出的都可以，如飯、BC.方反等都行.2事实上,Z】Zr【例4】已知正四棱枉ABCD-A-B-C.D.，点E是 棱DR上的中点，截面EACW底面ABCD所成的 角为兰，AB = 2求三棱锥B.-E4C的体积.4解：记与

10、.40交点为0,由正方形A BCD性质知O是-4C中点且EO丄AC t E是棱DD.上的点，易知上X=EC,则fO丄AC,所以EOA AEOA =-,所以DE =DO=C ,4DD =小,建立如图所示的空间直角坐标糸：D - x-z ,则：£(0 , 0,41, A (2 ,0,0),5-(2 , 2 , JI), C(0 , 2 , 0),耳中向量BA = (0_C)，C = (-2xBZ=(-2 , -2 , 0)，于是三棱锥马 E4C的体积为；说明；若衣四棱锥，只需把四棱锥分割成两个三棱 笹，分别来出三稜律体积来和即可.平面袪向量的求袪及其应用引面 本节介绍平面法问量的三种求袪

11、:并对平直袪向量在吾中立体、几何中的应用作口纳和 总结。其中歪点介绍外积法求平面法问量的方法.因为此方法比穴积法更县有仇越性.持别 罡在來二面魚的平面甬方面。此方袪的引人，将对高考立，本几何中来空间角、来空间距离、 证明垂亘、证明平行等问逆的解答变得快速而准谀，那么耳年高考中那道12分的立体几何 题将会变得更幣松。一、平面的法向量1、定义：如果方丄那么向量方叫做平面Q的法冋重"平面&的法向量共有两大类 （从方冋上分），无数条。2、平面法向量的来法方注一（内积袪）：在结定的空间直角坐标系中，设平直G的袪冋量齐二（XJ.1）或 ?7 = （x.l,z）.或« = （l,

12、y,z）,在平面G内仕找两个不共线的问量ai 由«_<z ,得 M d = O£n-h = O ,由此得到矢于X的方程组，解此万程组即可得到方。方注二 任何一个的一次次方程他图形是:平面；反之 任何一个平面的方程疑的一次方程。加+gy十cz + D-o（,4,dc不同时河），称为平面的一般万程。具法冋 量7 = （£B,C）；若平面与3个坐标珂的交点为p. （d,O,O）J：（O,O）4（O,O,c）.如图所示;则 平面万程为上M1 称此方程为平面的戳距式方程，把它化为一般式即可求岀它的狂 a b c向量.方送三（外积法）：设为空间中两个不平行的非尊向量.其

13、外积二2为一长 旻等于|：|F|sin0,（0为两者交角，且0<"；7）,而与必5皆垂直的向:1。通常我们采取右手定则，也就是右手四指由丘的方向转为b的方4A设G =（心丿"6）” = E亿Q则："b =向时，大拇指所指的方向规定为axb 方向，=°_X1 Z/ ”心 Z、? X、Vy厶乙（汪：1.二阶行列式-ad-cb； 2、造合右丰定则。A例1、 己知 0 = （2,1,0）上=（一1,2,1） 试求（1）： ax b （2）： bx a.Key：(l) dx b =(l.-2.5);(2)bxa = (一 1丄5)例2、如图I丄在梭长为2的正

14、方ABCD-A B C中，求平面AEF的一个法向量n ° key:法向量n = AFxAE-(1.22)二、平面法向量的应用1、求空间用(1) 、求线面角，如图2一1,设7杲平面a的法问 量，如是平而a旳一条斜线.A&a 则aB与平而a所成角为； 图 24-1: = -< n.AB> -arccos U?7TTsill &=| cos< n. AB >Ln-AB图 2-1-2：=< n.AB>- = arccos-丄n-AB 彳(2) x求面面角:设向量加斤分别绘平直&、0的法向量.则二面角&一/一“的干面角为:T

15、Tpj. JJ0=<m,n >= arccos(图 2-2);fn-nT TCT Tm.n0 =< m. fi >=兀一aicco (<1 2-3 I恳|用|I I T I两个平面的送向量方向选取合适,可吏送向量夹毎就等干二百角的平面甬。约定，在囹2-2- 中，m的方向对平面2而言向外，"的方句对平面厂而言向内；在图2-3中，皿的方向对T面o而言向内，“的方向对千面0而肓向内。栽们只要用两个向量的向量积(简称“外 和：満斥“冇手定则”)使得两个半平面的法向量一个问內一个向外.则这两个半平页的法 向童的夹角即为二面角al- 0的平面角。2乘空间距庚(1)、

16、异面亘线之间距离：方袪捋导，如图2-1,b的万冋冋童7、1).为平面a內仕一点，平面的法问童为“则点P到|«|其中A s a.B ea 方是平面a的法向量图2-8平面0的距恚公戏为d = |-4SeA?丘|(3) 、亘线与平面间的距离:方扶指孚如图26宜线a三平面&之间的距臥(4) x平面与平面厨的瞪离方袪指导：如因2两平行干面g p力司能距离:T T川,其中Awa,B邛。厉是平面a、0的法冋量.HI3、证明（1）、证明线面垂宜，在图28 口:加冋是平直Q的送问量, 宜线8的方问冋莹，讣明半面的咗冋童与宜嘶在冋量共线（2）、证明线面平行柱图29中剧问是平向&痢袪冋量.的方问问量，込明平面的送向量弓且线所仕向量垂宜（/:（,）证明而而巫亩，秤图210 口. m是平面&的法向量.斤是平面0的法向量.证明两T面的迭向量垂直（7" ?! = 0 ）（4）、证明面面平行：在图2-11中，几向是平面