用微积分理论证明不等式的方法1

1、用微积分理论证明不等式的方法高等数学中所涉及到的不等式， 大致可分为两种：函数不等式(含变量)和数值不等式(不 含变量)对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性 质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数， 从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似.微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方 法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为 函数的问题，禾U用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式.一、用导数定义证明不等式法1证明方法

2、根据导数定义f(X)-愀) limXXo导数定义：设函数y = f(x)在点。xo的某个邻域内有定义，若极限y = f (x)在点 Xo二y存在，则称函数f(X)在Xo可导，称这极限为函数点X 的导数，记作y = f (x0) 2.证明方法:(1)找出xo，使得y二f(X。)恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已 知条件去研究.3例例1：设函数f(x) =dsinx，a2sin2x川川'ansinnx，其中a1,a2/' an都为实数，n为正整数，已知对于一切实数x，有f(x)兰sinx ,试证：a1+2a2+ nan < 1.证 明 :因 f (x) =

3、a1 cosx 2a2 cos2xnan cosnx. 贝yf (0) p 2a2 J nan.得:锂"呵%严=四乎=ixm号由于f(x2sinx所以丨f (o)兰|汁也=1 即|a1 +2a2 +naj兰14.适用范围用导数定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论 之间的关系有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的用可导函数的单调性证明不等式法1. 证明方法根据-可导函数的一阶导数符号与函数单调性关系定理定理一：若函数f(x)在(a,b)可导，则f(x)在(a,b)内递增(递减)的充要条件是:f (x) _0(f

4、 (x)乞 0),x(a,b).定理二：设函数f (x)在a,b连续，在(a,b)内可导，如果在(a, b)内f (x) . 0 (或f (x) c0)，那么f (x)在a,b上严格单调增加(或严格单调减少)定理三：设函数f(x)在(a,b)内可导，若(x) .0 (或f (x) :：: 0 )，则f (x)在(a,b) 内严格递增(或严格递减)上述定理反映了可导函数的一阶导数符号与函数单调性的关系，因此可用一阶导数研究函数在所讨论区间上的单调性2. 证明方法(1)构造辅助函数f (x)，取定闭区间a,b；如何构造辅助函数？ 利用不等式两边之差构造辅助函数； 利用不等式两边相同“形式”的特征构

5、造辅助函数； 若所证的不等式涉及到幕指数函数，则可通过适当的变形(若取对数)将其化为易于证明的形式，再如前面所讲那样，根据不等式的特点，构造辅助函数(2)研究f (x)在a,b上的单调性，从而证明不等式 .3. 例例 2:证明不等式：1 xln(x Ji x2) . 1 x2 (x 0).证明：令 f (x) =1 xln(x 1 x2) - . 1 x2 ,x 0,二)，易知 f (x)在0,：)上连续，且有f (x) = In(x ；1 x2)0, x (0,：)，由定理二可知f (x)在0,:)上严格单调增加，所以由单调性定义可知f (x) f (00,(x0)，即1 xl rx ( .

6、 1 x2) - . 1 x20.因此 1 xln(x. 1 x2). 1 x2 (x 0).例3:求证:afb|兰田、也1+|a+b|1+|a|1 +|b证明：设辅助函数xf (x),(x 0).易知f (x)在0J上连续，且有1 +x” 1f (x)2 - 0, (x(1 +x)20).则由定理二可知f (x)在0/:)上严格单调增加.由Oa+b wa + b，有 f(a+b)兰 f(a+|b),得到 上< _世也=_H_+_ <A+A,所以原不等式 1+|a+b| 1+|a| + |b| 1+|a|+|b| 1+|a| + |b| 1+忖 1+|b成立4.适用范围利用函数单调

7、性证明不等式，不等式两边的函数必须可导；对所构造的辅助函数f(X)f (x)的值为O,然后通过在应在某闭区间上连续，开区间内可导，且在闭区间的某端点处 开区间内f(X)的符号来判断f(X)在闭区间上的单调性三、函数的极值与最大、最小值证明不等式法1 证明方法根据-极值的充分条件定理定理四(极值的第一充分条件)设f(x)在XO连续，在_.O(xO-)内可导，(i )若当 x(Xo ,Xo)时，f (x)_o,当(Xo,Xo，)时，f (x)乞 O,则f (X)在Xo取得极大值；(ii) 若当 X (X。-、,Xo)时，f(x)o,当 X (Xo,Xo、)时，f(x)_o,则f (X)在Xo取得极

8、小值.定理五(极值的第二充分条件)设f (x)在的某领域-(Xo,'：)内一阶可导，在X = xo处二阶可导，且f(Xo) = o , f (Xop" o ,(i)若(xo) ： o，则f (x)在Xo取得极大值；(ii)若f (xo) o，则f(x)在Xo取得极小值极值和最值是两个不同的概念.极值仅是在某点的邻域内考虑，而最值是在某个区间上 考虑.若函数在一个区间的内部取得最值，则此最值也是极值.极值的充分条件定理反映了可导函数的一阶导数符号或二阶导数在可疑点上的导数符号与函数极值的关系2. 证明方法(1)构造辅助函数 f (X)，并取定区间.如何构造辅助函数？ 当不等式两

9、边均含有未知数时，可利用不等式两边之差构造辅助函数； 当不等式两边含有相同的“形式”时，可利用此形式构造辅助函数；当不等式形如g(x) _a (或g(x) _a ) ( a为常数)时，可设 g(x)为辅助函数.(2)求出f (x)在所设区间上的极值与最大、最小值.极值与最大、最小值的求法 极值求法：(1)求出可疑点，即稳定点与不可导的连续点；(2)按极值充分条件判定可疑点是否为极值点 最大、最小值的求法：(1)闭区间a,b上连续函数的最大、最小值的求法：先求出可疑点，再将可疑点处的函数值与端点 a,b处的函数值比较，最大者为最大值，最小者为最小值.(2)开区间(a,b)内可导函数的最大值、最小

10、值的求法：若f(x)在(a,b)内可导，且有唯一的极值点，则此极值点即为最大值点或最小值点3. 例例4:证明：当x =0时有x5 £5x + 4.证明：构造辅助函数 f (x) = x5 5x 4, (x 0)，则有f (x) =5x4 -5 = 5(x2 1)(x2 -1) =5(x2 1)(x 1)(x-1),令 f (x)二 0 ,解得 x 二 1，其中只有 x =1 在区间(0,二)内，由 lim f (x) = lim x5 - 5x - 4 二 f (1)，有 f (x)在 x = 1 点 xx_$连续.因当0：x"时，f(x)：0,则f (x)在(0,1)上为

11、减函数；当x 1时，(x)0, 则f (x)在(1,：)上为增函数；由定理四可知，f(x)在x = 1处取得极小值，即f(1)=0为区间(0,=)上的最小值，所以当x 0时，有f(x)_ f(1)=0 .故x5 -5x-4_0(x0),即 x5 -5x 4(x 0).4. 适用范围利用函数单调性证明不等式，不等式两边的函数必须可导；对所构造的辅助函数f(x)应在某闭区间上连续，开区间内可导，且在闭区间的某端点处f (x)的值为0,然后通过在开区间内f (x)的符号来判断f(x)在闭区间上的单调性.三、函数的极值与最大、最小值证明不等式法1. 证明方法根据-极值的充分条件定理定理四(极值的第一充

12、分条件)设f(x)在x0连续，在- 0(x0r-)内可导，（i ）若当 X （X0 - ,X0）时，f（X）- 0,当 X （X0,X0 '）时，f（X）乞 0 ,则f(x)在Xo取得极大值(ii) 若当 X (X0-、,Xo)时,f(x)O,当 X(Xo,Xo)时，f(x)_O,则f (X)在Xo取得极小值.定理五(极值的第二充分条件)设f (X)在的某领域一.(x0,J内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且f(Xo) = 0， f (Xop- 0 ,(i)若f <Xo) ： 0，则f (x)在Xo取得极大值； (ii)若厂(Xo) o，则f (x)在xo取得极小值极值和最值是两

13、个不同的概念极值仅是在某点的邻域内考虑，而最值是在某个区间上考虑.若函数在一个区间的内部取得最值，则此最值也是极值.极值的充分条件定理反映了可导函数的一阶导数符号或二阶导数在可疑点上的导数符号与函数极值的关系2. 证明方法(1)构造辅助函数f (X)，并取定区间如何构造辅助函数？ 当不等式两边均含有未知数时，可利用不等式两边之差构造辅助函数； 当不等式两边含有相同的“形式”时，可利用此形式构造辅助函数； 当不等式形如g(x) _a (或g(x) _a)( a为常数)时，可设 g(x)为辅助函数(2)求出f (X)在所设区间上的极值与最大、最小值极值与最大、最小值的求法 极值求法：(1)求出可疑

14、点，即稳定点与不可导的连续点；(2)按极值充分条件判定可疑点是否为极值点 最大、最小值的求法：(1)闭区间a,b上连续函数的最大、最小值的求法：先求出可疑点，再将可疑点处的函数值与端点 a,b处的函数值比较，最大者为最大值， 最小者为最 小值(2)开区间(a,b)内可导函数的最大值、最小值的求法：若f (x)在(a,b)内可导，且有唯一的极值点，则此极值点即为最大值点或最小值点3. 例例5 :证明：当x > o时有x5兰5x + 4 证明：构造辅助函数 f (x) = x5 - 5x - 4,(x o)，则有f (x) =5x4 -5 =5(x2 1)(x2 -1) =5(x2 1)(x

15、 1)(x-1),令 f (x) =o，解得 x 二 1，其中只有 x =1 在区间(o,二)内，由 lim f (xHlim x5 - 5x - 4 二 f(1)，有 f(x)在 x = 1 点xT连续.因当O：xJ时，f(x)：O,则f(x)在(0,1)上为减函数；当x 1时，f(x).O,则f (x)在(1,：)上为增函数；由定理四可知，f (x)在x=1处取得极小值，即f(1)=0为区间(0, :)上的最小值，所以当x . 0时，有f (x) _ f (1) = 0 .故x5 5x 4丄0(x 0),5即 x _5x 4(x 0).4.适用范围(1)所设函数f(x)在某闭区间上连续，开

16、区间内可导，但在所讨论的区间上不是单调函数时；(2)只能证不严格的不等式而不能证出严格的不等式四、用拉格朗日中值定理证明不等式法1. 证明方法根据一拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：若函数f (x)满足下列条件：(I) f (x)在闭区间a,b上连续；(ii) f(x)在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点'，使得f ( ) = f(b)f(a).b a拉格朗日中值定理反映了函数或函数增量和可导函数的一阶导数符号之间的关系2. 证明方法辅助函数f(x)，并确定f (x)施用拉格朗日中值定理的区间a,b；对f (x)在a,b上施用拉格朗日中值定理; 利用与a,b的关系，对

17、拉格朗日公式进行加强不等式.3.例x例 6 :证明：当 x 0,ln(1 x) : x.1 + x证明：构造函数f (t) = I nt，因f(t)在1,1 x(x 0)上连续，在(1,1 x)上可导,f(t)在1,1 x(x 0)上满足拉格朗日条件于是存在 -(1,1 x),f (1 X)- f (1)(1 x) -1111ln(1 + x)(1 X)- f(1) = In(1 X)-1 n1 二 In(1x),1,1.1 +x -1 + x x：ln(1 x) ： x,(x 0).4.适用范围当所证的不等式中含有函数值与一阶导数，或函数增量与一阶导数时，可用拉格朗日中值定理来证明.五、用柯

18、西中值定理证明不等式法1.证明方法根据一柯西中值定理柯西中值定理：若函数 f (x)与g(x)都在闭区间a,b上连续；f (x)与g(x)都在 开区间(a, b)内可导；f (x)与g (x)在(a, b)内不同时为0:g(a) = g(b).则在(a, b)内至少存在一 点，使得f 徉)_f(b)-f(a).g ( ) g(b)-g(a)柯西中值定理反映了两个函数或两个函数增量与它们一阶导数之间的关系2. 证明方法构造两个辅助函数 f (x)和g(x)，并确定它们施用柯西中值定理的区间a,b；对f (x)与g(x)在a,b上施用柯西中值定理; 利用与a, b的关系，对柯西公式进行加强不等式3

19、.例n例 7 :设 a e,0 ： x ： y ：，证明2ay-ax(cosx-cosy)ax I na.证明：原不等式等价于ayx-a-ax ln a ,可构造函数f (t)二孑,g(t)二 cost,cosy cosx因 f(t), g(t)均在x, y上连续，在(x, y)上可导，且f (t)二at In a = 0，由于0 ： x ： y ，则2g (t) - -sin t = 0, g(x)二 co sx = g(y)二 co sy，所以 f (t), g(t)在x, y上满足柯西中值条件，于是存在 (x, y)，使得Xn/y)")二，又因g G)g(y)_g(x) cos

20、y_cosx-sinUa e,：二(x,y),1,ln a 1，得：ax In a :a In aa In a，a In a > -sinsin因此x-acosy cosx-ax . (cosx -cosy)axIn a.4.适用范围当不等式含有两个函数的函数值及其一阶导数，或两个函数的函数增量及其一阶导数 时，可用柯西中值定理证明.六、上述二、三、四、五种方法小结前面二、三、四、五种方法中，均可利用差式构造函数，但有时应用导数研究函数单调性证明不等式，有时应用导数研究函数极值证明不等式，而有时应用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式.三者有何区别：若所证不等式含有函数值及其导数，宜

21、用中值定理；若所证不等式f(X)： g(x),(a,b)，其两端函数 f (x), g(x)均可导，且 F (a) = f (a) - g(a)或F(b)二f(b) -g(b)有一为0时，宜用函数的单调性若所证不等式的两端函数有不可导时，不能用函数单调性证明，宜用中值定理若所证不等式f(x) ： g(x),x(a,b),两端函数f (x), g(x)均可导，但F(x)二f(x) -g(x)不是单调的函数时，宜用函数的极值来证明七、用函数的凹凸性证明不等式1. 证明方法根据-凹凸函数定义及其定理和詹森不等式定义：设f (x)为定义在区间I上的函数，若对于I上任意两点x1, x2和实数冷;-(0,

22、1), 总有f(* (1 -，)X2)空f(X1) (1 -，)f(X2),则称f (x)为I上的凸函数，若总有f( x1 ( ')x2 f (x1) ( ' )f(x2),则称 f (x)为 I 上的凹函数.定理六：设f(x)为I上的二阶可导函数，则f(x)为I上的凸函数(或凹函数)的充要条件是在I上f (x) - 0(或f (x)乞 0).命题(詹森不等式)若f(x)在a,b上为凸函数，对任意的nnnXi a,b, 'i .0(i =1,2n)且,则 f iXi i f(Xi).该命题可用数学i丄i 4i归纳法证明函数的凹凸性定理反映了二阶可导函数的二阶导数符号与凹

23、凸函数之间的关系2. 证明方法：定义证明法：将不等式写成定义的形式，构造辅助函数f (x)，并讨论f (x)在所给区间上的凹凸性詹森不等式法：对一些函数值的不等式， 构造凸函数，应用詹森不等式能快速证此类 不等式10(t0).则t3.例例8:证明：当x + yx 0, y 0时,xln x yln y (x y)ln2证明(定义证明法)设 f(t) =tlnt(t 0).有 f (t) =1 nt 1, f (t)f(t)在(0,：)为凸函数.对任意"“I，有f(x)2f(y)>f(X2y)(取"2).(要使f (x)与g (x)的系数相同，当且仅当 =1-，时成立，

24、即=-).因此2xln x yln y (xy) In4.适用范围当不等式可写成凹凸函数定义的形式或对一些函数值和且能够构造凸函数的不等式八、用泰勒公式证明不等式法1.证明方法根据泰勒定理泰勒定理：若函数 f(x)满足如下条件：在闭区间a,b上函数f (x)存在直到n阶连续导数；在开区间(a,b)内存在f (x):三(a,b)，使得：的n 1阶导数，则对任何(a,b)，至少存在一点f (x)二 f (a) f (a)(xa)Z2.f(n)(a)泰勒公式揭示了多项式与函数之间的关系2.证明方法根据已知条件，围绕证明目标，选取恰当的点将函数在这些点展成泰勒展式;根据已知条件，向着有利于证明目标不等

25、式的方向对上面的展式作适当的处理，直到可以结合已知条件证出不等式为止(注意具体的题目应用此方法时要灵活运用，有些题目在进行前，要先对已知条件或证明目标进行适当的转化，以更有利于证明的进行，使不会过于繁琐.)3.例例9：设函数f(x)在0,1上二阶可导，f(0)=f(1),且f”(x)|兰2，试证明：f'(x).证明：取 0 三x 三 1，有:f (0) = f (x) f (x)(0 -x) f ( )(0 -x)2,0 ： : x,2f(1) = f (x) f (x)(1 x) 1 f ( 2)(1 - X)2,0 ： 2 ： 1.由 于 f(0) = f(1) 则211(x)=T

26、f ©1)x2 f 勒2)(1X)2, f(x)兰二f “G)x2 +f2)(1-X)2 221 2 2 2 22x22(1 x)2 =x2(1 x)2 =1 2x(1 x)乞 1,(2x(1 x) 一 0).因此原不等2式成立.4.适用范围当遇到含有函数或高阶导数，或函数增量与高阶导数，或要证的是导数(一阶或二阶) 不等式时，可利用泰勒公式来证明有关的不等式九、用幕级数展开式证明不等式法1证明方法根据-几个重要的初等函数的幕级数展开式 几个重要的初等函数的幕级数展开式如下：ex = 1 x 丄x22!1+ xn + ，x (，,+oc)； n!13sin x=x x3!(-1)n&

27、quot;12nJx (2n _ 1)!,x (：，= )；cosx 12!4!x4"(21n汽,x(八，二);x x2,X (0,1);In(1 x)= xx2x23n卷卷(_1)n=-n,x(T,1某些初等函数可展开成幕级数,在展开式中添加或删去初等函数是中学数学教学重点，某些幕级数时，可很快证明出某些含幕级数的不等式2. 证明万法先把初等函数展开成幕级数，然后在展开式中添加或删去某些幕级数即可快速证明此不 等式3. 例*1x例10：当x(0,1)，证明 e2x.1 -x证明：因 ,e2x分另U可1 X写成幕级数展开式，有1 x1 -x=(1x)(1 X X2 川川 Xn)=1

28、2x 2x2 亠 亠 2xn ,x (0,1)222ne2x =1 2xx2xn ,x (：，：)2!n!2nxn2n则左边的一般项为2xn，右边的一般项为=，因此当-3,2-,所以1 x1 -x2 xe x (0,1).4.适用范围当不等式中含有上面几个重要初等函数之一时，可用幕级数展开式法来证明此不等式十、用定积分理论来证明不等式法1.证明方法根据-定积分的性质和变上限辅助函数理论定积分性质之一：设f (x)与g(x)为定义a,b在上的两个可积函数，若f(X)乞 g(x), X a,brJ3Hu贝<-bg(x)dx.微积分学基本定理：若函数f(x)在a,b上连续，则由变动上限积分X(x) = J f (t)dt,x a,b,a定义的函数G在a,b上可导，而且门(x)二f (x).也就是说，函数G是被积函数f (x)在 a,b上的一个原函数.微积分学基本定理沟通了导数和定积分这两个从表