浅谈三角形的四心

1、浅谈三角形的“四心”江苏省东台中学 王 梅江苏省东台市教研室 笪祖辉所谓三角形的“四心”，是指三角形的四种重要线段相交而成的四类特殊点.它们分别是三角形的内心、外心、垂心与重心.其中，外心与内心在人教社编著的几何第三册课本中p58、p148分别作出了叙述和介绍.而垂心与重心两个概念随着九年制义务教育教学要求的降低，将它们删去了.可是垂心、重心与内心、外心一样，在高中后续学习立体几何、解析几何等内容时都是不可缺少的知识点，在高考试卷中也屡屡出现.鉴于此，笔者认为：学有余力的同学在初中最后阶段很有必要补上这一删去的知识内容.应该在初三总复习时，加强自学，搞好初、高中“四心”这一知识内容的衔接.从而

2、为高中进一步学习作好充分准备，打好坚实的基础.为了便于同学们自学，下面将垂心、重心两个知识点作如下简单介绍：1垂心三角形三条边上的高相交于一点，这一点叫做三角形的垂心.通过作图可知锐角三角形的垂心在形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在形外.例1如图，在锐角中，点o为其垂心，（1）首先利用圆的定义证明：a、f、o、e四点在同一个圆上.然后回答在a、b、c、d、e、f、o七点中，有多少组四点共圆？并要具体地写出这些共圆的四点组.（2）过顶点a、b、c分别引对边的平行线，它们两两相交于a、bc，求证点o为的外心.（3）连结fd、de、ef，试证明点o为的内心.简单的分析与证明：（1）

3、取ao的中点o，连结、,根据定理直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得，可知a、f、o、e四点在以o为圆心，为半径的圆上.同理可得：f、o、d、b，o、d、c、e，f、b、c、e，f、d、c、a，d、e、a、b共六组共圆的四点组.（2）根据平行四边形与平行线的性质，可证得：ad、cf、be分别为：的垂直平分线.从而可得o为的外心.（3）欲证点o为的内心，只要证ad为的平分线，如图即要证，而由（1）四点共圆的结论知，在与中，容易知道，即有：，从而可得ad为的平分线.同理可得：be、cf分别为、的平分线.即得点o为的内心.注：该题中，点o既是的垂心，又是的外心，同时也是的内心.可谓是“一点三心”.上

4、述这道题对帮助同学们同时理解垂心、外心、内心的定义及其性质起了很好的作用.希同学们自己给出此题的详细完整的解答，并猜想将锐角三角形改为钝角三角形，仍可证得上题同样的结论吗？2重心三角形三条边上的中线交于一点，这一点叫做三角形的重心.重心将每一条中线分成1：2的两部分.任何三角形的重心都在形内.重心是借用的物理学中的名词.事实上，一均匀的三角形薄片用悬挂法按薄片上任意两点悬挂两次即可求得重心位置，它恰是中线的交点.在此点处可将薄片顶起来，该点就好像是薄片的重力“集中之处”.例2如图，g是重心，过g的直线l交ab于m，交ac于n.求：的值.解：连结ag并延长交bc于点d，则由重心定义知bd=dc，

5、自a、b、c、d分别作l的垂线，垂足分别为h、j、k、i.， .， 而，注：该题巧妙地运用了重心将中线分成1：2的性质解决了问题，重心的这一性质在解题中起到了举足轻重的作用，希同学们认真把握，好好地运用.为了帮助大家巩固、掌握好“四心”的定义及性质，现提供如下几题，以供练习.1.在中,ab=c,bc=a,ca=b,ad是角平分线，i是内心,则（ ）（a） （b） （c） （d） （答案c）2在中，三条中线ad、be、cf交于点g，连结de、ef、fd.则点g为的（ ）（a）垂心 （b）重心 （c）内心 （d）外心 （答案b）3若已知点o为锐角的外心，三个内角、的大小分别为、，设点o到三边ab、bc、ca的距离分别h1、h2、h3，则h1:h2:h3=_. （答案d）（a）a:b:c （b） （c）（d）4笔者在文中提及到三角形重心将任意一条中线分成1：2的两部分，试证明重心的这一性质.5如图，ab为半圆直径，c、d是ab上异于a、b的任意两点.引交半圆于e，连结de，作垂足为f，cf的延长线交ae于g.求证