高三数学第62课时空间的角教案

1、课题：空间的角教学目标：掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，并能熟练解决有关问题,进一步掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题.教学重点：直线与平面所成的角，二面角的求解.（一） 主要知识及主要方法： 三垂线定理(课本)：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.三垂线的逆定理(课本)：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直. 空间角的计算步骤 一作、二证、三算.异面直线所成角：范围：；计算方法:平移法：一般情况下应用平行四边形的对边、梯形的平行对边、三角形的中位线进行平移.向量

2、法：设、分别为异面直线、的方向向量,则两异面直线所成的角；补体法；证明两条异面直线垂直,即所成角为.直线与平面所成的角：定义：（课本）平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角；一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角.范围 ；最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.斜线与平面所成角的计算：直接法：关键是作垂线，找射影 可利用面面垂直的性质； 平移法：通过三角形的中位线或平行四边形的对边平移，计算其平行线与平面所成的角.也可平移平面通过等体积法求出斜线任一点到平面的距离，计算这点与斜足之间的线段长，则.

3、应用结论：如右图所示，为垂足，为斜足，与平面所成的角为，则.向量法：设是斜线的方向向量，是平面的法向量，则斜线与平面所成的角.二面角：定义：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分叫做半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做这个二面角的平面角.规定：二面角的两个半平面重合时，二面角为，当两个半平面合成一个平面时，二面角为，因此，二面角的大小范围为.确定二面角的方法：定义法；三垂线定理及其逆定理法；垂面法；射影面积

4、法：，此方法常用于无棱二面角大小的计算；无棱二面角也可以先根据线面性质恢复二面角的棱，然后再用方法、计算大小；向量法：法一、在内，在内，其方向如左图，则二面角 的平面角；其方向如右图，则二面角的平面角（同等异补）法二、设,是二面角的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧（同等异补），则二面角的平面角（二）典例分析： 问题1（全国）四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面已知，证明：；求直线与平面所成角的大小（本小题要求用多种方法解答,包括向量法）.问题2 （届高三湖北、荆州、宜昌月模拟）边长为的正方体中，是棱上任一点，（）.若时，求证：面面；试确定值，使直线与平面所成的角的正切值为

5、.问题3（四川）如图，是直角梯形，又，直线与直线所成的角为.求证：平面平面；求二面角的大小;求三棱锥的体积.(要求第小题用多种方法解答,包括向量法）.问题4（陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面，求证：平面（此小题这里略去不做）；求二面角的大小(要求第小题用多种方法解答,包括向量法）.（三）课后作业： 如图所示，在棱长为的正方体中，是底面的中心，分别是，的中点.那么异面直线和所成角的余弦值等于 (浙江文)在三棱锥中，点、分别是、的中点，底面.求证：平面；求直线与平面所成角的大小如图，的边长为，都垂直于平面，且，点为的中点，求直线与平面所成的角.（四）走向高考： （浙江）在如图所示的几何体中，平面，平面，且，是的中点求证：；求与平面所成的角(北京)如图，在中，斜边可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角动点的斜边上求证：平面平面；当为的中点时，求异面直线与所成角的大小