3第三章-单元类型及单元刚度矩阵

1、第三章单元类型及单元刚度矩阵一、形状函数类型及其特征1. Langrange型形状函数2. Hermite型形状函数二、一维单元及其单元刚度阵1. 杆单元2.三次梁单元三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元2.矩形单元四、三维单元及其单元刚度阵1.六面体单元2. 四面体单元3.曲线等参元第三章单元类型及单元刚度矩阵有限元法的基本原理是将结构划分成单元，在单 元内用较简单的函数描述单元位移，即/=1这是对单元位移U（X）的近似。在前面两章的介绍 中，我们讲过，是用单元的节点位移来描述单元内 点位移，这里所用的变量山，是节点位移的一种推 广，即一组广义坐标，或称广义节点位移，包括节 点位移和节点

2、位移导数。Ni为形状函数。根据单元 广义节点位移的不同，形映函数分两类：Langrange 和Hermite 型。瞬一、形状函数类型及其特征1. Langrange型形状函数，这时节点广义位移为节 点位移，不含节点位移导数，它与单元的几何形状、 单元节点分布和节点数有关。所以，该类形状函数 在单元几何形状、节点分布和节点数一定时也随之 确定。2. Hermite型形状函数，其节点广义位移包含节点 位移和节点位移导数。一、形状函数类型及其特征一、形状函数类型及其特征7 N一、形状函数类型及其特征一、形状函数类型及其特征要保证位移函数的几何不变性，位移函数多项 式的各项应根据帕斯卡三角形来选择。二

3、维单元的帕斯卡三角形xy2X2X3一、形状函数类型及其特征三维的帕斯卡三角形T ：3B：o形状函数应该满足以下条件m£n,（X） = 1A2.Z=13.保证所定义位移函数在相邻单元之间的连续工程实际中有一种结构，特征为：存在一个长维，但 相对而言又不像平面应变那样，长短比略小，且载荷可 以为任意。比较典型的是井架、塔架等框架结构，这类 结构可用有限元中的一维单元来离散，根据问题的不同, 一维单元又可分为杆单元和梁单元。劉 二、一维单元及其单元刚度阵1杆单元",杆单元受轴向力，在单元端点处无弯矩和扭矩作用， 将此单元独立出来进行受力分析时为二力杆。根据单元 形状函数的阶次，又

4、可分为一次杆单元和二次杆单元。一次杆单元0 x =兀1 X = X-单元有两个节点，如图所示，编号为i、j,釆用局部 坐标舎记£ = 乂/厶并取i为X坐标的原点，贝！|有FOi1 1二、一维单元及其单元刚度阵1杆单元一次杆单元根据形状函数的定义，我们知道，形状函数是描述或反映单元内点位移与单元节点位移的关系O对于上述问题，已知节点位移为5, Uj,而要求节点间任一内点的位移，显然可以根据线性插值来计算（二点一次拉氏插值），即N、 (Z x)/Z; N° x/lx 1x0n2Uiu 仏 +Ur n u - M0-1 1 /-0 u 1仏J得N=人；“2 =血况（JV）= 人久

5、2卜厂 、uxV 乙丿>1.杆单元一次杆单元duG du dg1 duldN,dN2hlO -dxdg dx l d l_ddg、 ?< z丿代入営，有令入= g 所以单元内点位移为 单元应变劉 二、一维单元及其单元刚度阵1杆单元一次杆单元所以，几何矩阵为B = -1/1 1/Z；单元应力为b = eEp =弹性矩阵单元刚度矩阵通式为ke ADfBix = aibYdIb ea 1 -i =_r -i i代入，得这是一次杆单元的单刚阵，它对 称、对角线元素大于零且奇异！二、一维单元及其单元刚度阵1杆单元一次杆单元x1x1当上述单元用于描述仅受扭转变形的杆件时,其单刚阵类似于一次杆单

6、元的单刚阵，为: GJ n 1-1"kep l-11叫1(1)二、一维单元及其单元刚度阵1杆单元二次杆单元单元有三个节点，如图所示，端点编号为i、j,三个节点依次为1、3、2。单元位移可以根据抛物同样令4 = 1 £；几2 = £线插值（亦称三点两次拉氏插值）获得，即FF C .OOOi (3)j(2)x17 N 二、一维单元及其单元刚度阵二次杆单元1杆单元(x-|)(x-/)(x-O)(x-j)a_o)d讥 X)=J坷 + 112 + “3(-)(-/) /(-) (-)(-) 2 2 2 2令(2一1)(石-人“3 =4(1 £) = 4 儿兄 2x

7、1一维单元及其单元刚度阵1杆单元二次杆单元ux所以单元内点位移为况(x) = N N2 N)单元应变UrJn一维单元及其单元刚度阵几何矩阵为0卜-(4人-1)(422 -1)（4儿一4几2）7 N 二、一维单元及其单元刚度阵1杆单元二次杆单元单元应力为b = wED = E单元刚度矩阵元素的计算7117-8 -8-8-816S-(° 入? x 7可以直接应用2斗几;x = (%2 %!)jy(m!)(n!)(m + n + 1)!二、一维单元及其单元刚度阵k21.杆单元二次杆单元元素的计算/9EA)(4A2-l)EA N (422 -1)(422 - l)dx = 2x16/x =

8、x7”qFA(42.4A2)2dx=xl6'o1231二、一维单元及其单元刚度阵*21 =心2上31 =心2“32 =心31.杆单元二次杆单元元素的计算(4 人一1)(4人4人皿=竽 x (-8)(421)(44)dx = EAx( 8)其余元素利用对称性可求得二、一维单元及其单元刚度阵2.三次梁单元梁单元如图所示，仅考虑节点在xoy平面内的位移 为V、0 ,这时一个单元有四个自由度，形状函数为ZZ三次多项式,即使用三次Hermite插值多项式。yZ一维单元及其单元刚度阵2.三次梁单元Hermite位移插值多项式5 十)(1+(X - 0) (Z7)(77-0 1丿乜+ () (口钿0

9、-717-0 2叽他k孙卩咄一维单元及其单元刚度阵一维单元及其单元刚度阵2.三次梁单元其中Q v /“严(1 + )(p)2 = (1 十 2g)(g I)2 7V2=x(l-y)2=Z(l-)2N.= 1_2(：/)(亨)2=(3_2疔)疔2AA4=(X-/)(y)2=/(-l)27 N二、一维单元及其单元刚度阵2.三次梁单元根据平面梁弯曲变形公式（忽略剪切变形）d2vS = _歹7 dx2d2Nxd2N2d2N.d2N4£ = ydx2dx2dx2<dx1V28 -Bkff其中B = yN； N； N； N? = -yN一维单元及其单元刚度阵2.三次梁单元fO x =七11

10、A = 1 一 £同样令1 %=%;久2 = £匸心存2一 1)嗥(13)2 2吃= 7（3£ 2） = 7（人2儿）N；=（1一2£） = （1 222）1 I2 2N： =）（3g 1） = 了（2 兄 2儿）2.三次梁单元单元应力为单元刚度矩阵Q = JJJ b7d5V = £ (JJ Br DfBdA)dxVA引入訂：(EpN”TN0XrJZ = JJ 2dA> = £ a n"F n"1xA一维单元及其单元刚度阵2.三次梁单元_ 1261-1261 EJ614Z2-612/2ke l3-12-611

11、2-61612/2-614/2单元刚度矩阵元素的计算2.三次梁单元元素的计算加等(2g -1)(3£ - 2)dx =曙2.三次梁单元元素的计算上 14 丘厶(2£ 1)(3£ l)dx = r一维单元及其单元刚度阵2.三次梁单元元素的计算r/ 42F/处4 = £ EJz - (3£ - 2)(2£ - Y)dx =1/ 1/心 4 = E厶芋(1 - 2G(3g -1 皿=-字其余元素利用对称性可求的心1 k、2心1 =上13上41 上1432 =上 23“42 =上 24上 43 = “34:、二维单元及其单元刚度阵二维单元用于

12、分析和解决平面问题和轴对称为题。在第二章中已详细介绍过，而且是在直角坐标中推导的。在下面这一节中，我们将介绍两种平面单元，即三角形单元和四边形单元，包括一 次和二次三角形单元以及一次四边形单元。1.三角形单元三角形单元按其位移的阶数分为一、二、三次单元。一次三角形单元第二章详细介绍过这种单元，其形状函数是坐标 的一次多项式，推导采用直角坐标。对于高次三角 形单元，这类坐标不方便，特此引入面积坐标。:、二维单元及其单元刚度阵1三角形单元一次三角形单元:、二维单元及其单元刚度阵面积坐标yA.X如图所示，在三角形单元A1A2A3中， 有任意一点P（X, y）连接PA、PA2. PA3, 得到三个小三

13、角形：A PA2A3> PA3A1、APAiA?,记面积比为：. APA2A3 _ APA.A, . APAjA2Ai = /= =AAj A2 A3AA A2 A3AAj A2 A3称入i、入2、入3为P点的面积坐标:、二维单元及其单元刚度阵:、二维单元及其单元刚度阵1三角形单元一次三角形单元:、二维单元及其单元刚度阵:、二维单元及其单元刚度阵dyA.X面积坐标由于入i+入2十入3=1，因此该二 个坐标不独立。其负号的规定为: 分子分母对应的三角形顶点编号 转向相同时为正，反之为负，由 于三角形A1A2A3的顶点编号一般规 定为逆时针，因此，子三角形顶 点编号为逆时针时面积坐标为正,

14、反之为负。、二维单元及其单元刚度阵1三角形单元一次三角形单元、二维单元及其单元刚度阵、二维单元及其单元刚度阵三角形中一些特殊点的面积坐标边中点yX形心面积坐标4 (i,o,o)2 A2 (0,1,0)'' A3 (0,0,1)人（迈） 冬 G 0 *） 人（鼎,0）、二维单元及其单元刚度阵1三角形单元一次三角形单元、二维单元及其单元刚度阵、二维单元及其单元刚度阵面积坐标与直角坐标的关系三角形三个顶点在直角坐标系中的坐标为（Xi，y» , 则/k A1A2A3的面积为A11111小A =兀1£=D2歹22类似地三个小三角形的面积依次为、二维单元及其单元刚度阵1

15、 三角形单元一次三角形单元、二维单元及其单元刚度阵、二维单元及其单元刚度阵面积坐标与直角坐标的关系Ji:、二维单元及其单元刚度阵:、二维单元及其单元刚度阵1三角形单元一次三角形单元:、二维单元及其单元刚度阵:、二维单元及其单元刚度阵面积坐标与直角坐标的关系乙=“心AA1A2A3其中=右（兀2歹3 一兀3歹2）+ （歹2 一力）兀一（兀2 -勺）， =（也兀一 5，+。% =%2歹3 ，24 =歹2 歹3C | JC 9JC 3面积坐标与直角坐标的关系同理久2 = Q （兀3，1 一乂*3）+ （，3 一，1）乂一（兀3 一乂1）， =（b2x -c2y + a2）X1三角形单元一次三角形单元久

16、3 =右（兀1，2 一乂2，1）+ （，1 一，2）乂一（乂1 一乂2）， _ （b3X - C3 y + 6Z3/1三角形单元一次三角形单元面积坐标与直角坐标的关系其中=兀3歹1 一兀1歹32 = y3 - XC JCy= 12 31 =C3 =二 X兀2atXj xk yj *=儿，q =" -xki=l,2,3;i、j、k按 1,2,3轮转、二维单元及其单元刚度阵、二维单元及其单元刚度阵1 三角形单元一次三角形单元、二维单元及其单元刚度阵、二维单元及其单元刚度阵i = 123面积坐标与直角坐标的关系于是有4“21> =Daxbx c1a2“2_ C2_a3彷 3C3_r&

17、lt; X >(bix-ciy-haiY/直角坐标面积坐标1.三角形单元一次三角形单元面积坐标与直角坐标的关系对于单元的三个角点，应有S 一 5rrb? c2<> =Vo >匕3C3、儿0axb 一 5io6 c2V£> =V1“3C3_、儿0°3、二维单元及其单元刚度阵1三角形单元一次三角形单元、二维单元及其单元刚度阵、二维单元及其单元刚度阵面积坐标与直角坐标的关系pA3点1aYbC110丄b2C2VX3> =V01DC3_1J 丿重写上述三式axcl"111 '10o-1DC22X30106C3Jl J2y30011

18、三角形单元一次三角形单元面积坐标与直角坐标的关系所以有 1 1 1 a. b、 c1儿JL且-11兀1兀2X3D2 “2 C2歹2歹3_a3 C3_)于是有1111AVX> =23V>，3面积坐标直角坐标1.三角形单元一次三角形单元形状函数根据形状函数的定义NI （免,久2，几3 ） = g门几1 + g/2几2 + g,3几3 i = l, 2, 3i=l时，对于凡、A“ A?点A ：y（4J2，；l3）= N（l，0,0）= gi =14 ：N（入,兄2丿3）= N（0丄0） = g】2 =0人：N!,22,23） = N （0,0,1） = gl3 = 0所以 （Aj, A3

19、 ） = Aj:、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元一次三角形单元形状函数同理，i=2、3时，对于人、A?、A?点A : “2 （几 1，几2,兄3）= M （1,0,0） = g2l = 0 冬：“2（4,兄2,兄3）= “2（0丄0）=纟22 =1A3 : “2 （儿，兄2,几3）= “2 （0,0,1） = g23 = 0A : MG，兄2,兄3）= M（i,o,o）= g31 = o 冬：N3（A，兄2，兄3 ） = “3 （0,1,0） = $32 = ° 43：“3（兄1，几2，兄3）= “3（0,0,1） = &33=1所以N 2 （儿7几2 7几3 ）=几2

20、 N 3 （兄”几2 3几3 ）=久3位移函数于是U =N、 N2 A3- wj u2 u3Y M N2 弘匕v2 vj1.三角形单元一次三角形单元单元应变udu6N、0dN.0dN,01123vtdxdxdxdx1dv< 06N0dN.0>> =:12VdydyV2du dv+6NdNxdN2ON 26N36N3况3dy dxJV>dydxdydxdydxv3< J丿三、二维单元及其单元刚度阵三、二维单元及其单元刚度阵1 三角形单元一次三角形单元单元应变其中|b为几何矩阵dNxdx0dNx06N6Ndx003dxON 206N3A，Gy6N3Gydxdxdxdx

21、0:、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元一次三角形单元几何矩阵 利用复合函数求偏导数的公式込+ 2 dx 乙.込+旦dx 5A3込dx+ 2彩2)+ 3仏:、二维单元及其单元刚度阵几何矩阵可得W +平面应力问题的应力为d 二 bt by 捕=琲单元刚度矩阵klRf閔A国闵可d国V1三角形单元一次三角形单元1.三角形单元一次三角形单元单元刚阵二次三角形单元iy/A 3二次三角形单元，如图所示， 单元共六个节点，12个自由度， 三个角节点，三个边中点。T 2OX三、二维单元及其单元刚度阵B 三、二维单元及其单刚阵1 三角形单元 二次三角形单元节点面积坐标1(1,0,0)；2(0,1,0)；3(0

22、,0,1)4(0,1/2,1/2,) ； 5(1/2,0,1/2,) ； 6(1/2,1/2,0)形状函数 化（人，兄2,兄3）=盂+ g,2兄;+ &3珥=&4儿几2 + g,5几2久3 + &"6几3几11=1,2,，6形状函数形状函数分量N（4,兄2,兄3）对于凡、人2、Ag>A4、A5、人6点4 ： N (1,0,0) = gi 1 =1A2 : 7V(0,l,0) = gi2 = 0A3 : N(0,0,1) = gl3 = 0 4：y(0,l/2,l/2) 弘1A : Ni (1/2,0,1/2) = ge = 0A6：M(l/2,l/2,0

23、) = g6= j1 三角形单元二次三角形单元N、（儿，yt2 兄3）= （2儿1）人N2 (几1 7 入 7 丸3 ) = (2久2 1)几2三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元二次三角形单元形状函数形状函数分量N2 （儿,几2，兄3 ）同样, 对于凡、A?、%、A : a2(1,0,0)= g2i = 0企：N2 (0,1,0) = g22 = 14 : V2 (0,0,1) = g23 = 0A4 (0,1/2,1/2) =肌4 = 1 冬：A2(1/2,0,1/2) = g25 = 1 冬：”2(1/2,1/2,0)=気6=0N2 (几1 7 入 7 丸3 ) = (2久2 1)几

24、2三、二维单元及其单元刚度阵同样, 对于化、 凡、A3、A4、A5、 人6点Aa2A3a4A 人1.三角形单元二次三角形单元形状函数形状函数分量N 3（A，兄2 '久3 ）N3(l,0,0) = g31=0 3(oxo)= 32 = 00,0,1) = g33 = 1 N3(0,l/2,l/2) = g34=0 N 3 (1/2,0,1/2 ) = £35 = 1 N3(l/2,l/2,0) = g36=1N3(4 ,几2 r 几3 ) = (2几3 1)几3N2 (几1 7 入 7 丸3 ) = (2久2 1)几2越三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元二次三角形单元形状

25、函数形状函数分量N 4 (儿，几2 '兄3 )同样， 对于凡、A?、A3、A4、 人6点A AA JA%4243444s464flA0) = 41 =0N4(0,l,0) = g42 =0N4(0,0,l) = g43=0N4(0,l/2,l/2) = g44=lN4(l/21/2) = g45=0N4(l/2,l/2,0) = g46=0N 4 (儿7久2 7几3 ) = 4几2几3三、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元二次三角形单元形状函数形状函数分量N5 （儿，几2 '久3 ）同样, 对于凡、A?、%、A : M （I，。，。）= &5i = o 冬：A5 （0

26、,1,0） = g52 =0 4? ： ?/5（0,0,1）= g53 = 0 人：”5（°，1/2,1/2） = g54 = 1 4 : N§ （1/2,0,1/2） = 55 =。 冬：弘（1/2,1/2,0）=弘6=。N 5 （几1 3久2，久3 ） = 4兄3儿:、二维单元及其单元刚度阵1.三角形单元二次三角形单元形状函数形状函数分量“6 （几1，久2,久3）同样, 对于凡、A?、%、A : M （i，。，。）= <?6i = o 冬：”6（0丄0） = &62 = 0A3 ： M （0,0，1）=纟63 = 0 人：M（°，1/2,1/2）

27、 = g64 = 0A : A6（1/2,0,1/2） = % = 0 冬：皿（1/2,1/2,0）=気6=1N & （儿，兄2 3几3 ） = 4几几2:、二维单元及其单元刚度阵:、二维单元及其单元刚度阵1三角形单元二次三角形单元:、二维单元及其单元刚度阵:、二维单元及其单元刚度阵位移函数:、二维单元及其单元刚度阵:、二维单元及其单元刚度阵6u =: NgZ = 16卩=工Nii=l:、二维单元及其单元刚度阵:、二维单元及其单元刚度阵du单元应变:、二维单元及其单元刚度阵:、二维单元及其单元刚度阵可=乙5其中占为几何矩阵dxdvdydu dv一 + 一dy dx:、二维单元及其单元刚

28、度阵:、二维单元及其单元刚度阵1 三角形单元二次三角形单元几何矩阵ON、dx00dN叫dx0dx0叫dx0dNfdN. <°汎ON, dy dx06N、dxdx00帆帆dx丟=n(4A_1)6Nc = -(42.-1)ayD(Z = 1,2,3):、二维单元及其单元刚度阵:、二维单元及其单元刚度阵1 三角形单元二次三角形单元:、二维单元及其单元刚度阵:、二维单元及其单元刚度阵几何矩阵6N 4/ = 4,5,6 '= 1,2,3/上L = （b久.+乞久）dx D J 1 k 16N 4=右（5 人 + ck A.） oyDj、k根据i=4、5、6依次按1,2, 3轮转平

29、面应力问题的应力为b=b, by 爲D 、二维单元及其单元刚度阵、二维单元及其单元刚度阵1 三角形单元二次三角形单元、二维单元及其单元刚度阵、二维单元及其单元刚度阵单元刚度矩阵肛卜n閔DlBdV =训可DWsVS注意使用积分公式jj N 九:无;dxdy=2A(/!)(m!)(n!)(/ + m + n + 2)!2.矩形单元一次矩形单元矩形单元如图所示，共四个节点，每个节点两个 自由度，单元共8个节点位移。为计算方便，引入 新的变量：二*412oX= -(x-x0)a门=y。)b2 .矩形单元一次矩形单元其中2a = x2 Xj2b = y4 - x四个角点新坐标x0 =(X + 兀2 )/

30、2Jo =(X +九)/22.矩形单元一次矩形单元形状函数利用形状函数的性质，可得M （乙 ）=t（1 + 4）（1 +0* = 123,4）验证M （§, z ）=十（1 + .）（1 + 7" ） = 1 M （匚,巧）=丁（1 + §）（ 1 + ", = °（Z, j = 1,2,3,4）:、二维单元及其单元刚度阵:、二维单元及其单元刚度阵2.矩形单元一次矩形单元:、二维单元及其单元刚度阵:、二维单元及其单元刚度阵位移函数:、二维单元及其单元刚度阵4u =: NgZ = 14V =工 Nni=l:、二维单元及其单元刚度阵:、二维单元及其

31、单元刚度阵du单元应变:、二维单元及其单元刚度阵:、二维单元及其单元刚度阵可=乙5其中占为几何矩阵dxdvdydu dv一 + 一dy dx、二维单元及其单元刚度阵2 .矩形单元一次矩形单元几何矩阵同=国b2 b3 b4w4号。1dx0Zdy dNt 8Nt dydxi = 1,2,3,4其中:、二维单元及其单元刚度阵:、二维单元及其单元刚度阵2.矩形单元一次矩形单元几何矩阵dx创2dxdxdxdydy汎dydx:、二维单元及其单元刚度阵2.矩形单元一次矩形单元平面应力问题的应力为b=b* by rxyT = De单元刚度矩阵7心dV%Si血221吃22 上 23见J吃 31上 32上33 一

32、 &34_-41吃42 氐43 一 &44 . _2.矩形单元一次矩形单元其中心二4!国回凶加心e j=i，2,3,4)A对于平面应变问题kij Et4(1+ /)(!-2/) k代11八1221尺22L 心.？ (1 + 牛 +皿 £(1 + 手)a 5Zb 5:、二维单元及其单元刚度阵2 .矩形单元一次矩形单元:、二维单元及其单元刚度阵:、二维单元及其单元刚度阵处2=(1 “)7勺 2(1+岳.彳(1 +讐)a2b 32.矩形单元?8二次矩形单元£ = 一 （x x0） a =_九）b2a = x2 xl x0 = （Xj + 兀2 ）/2 2b = y

33、4 - x y0 =（X + 儿）/22 .矩形单元二次矩形单元八个节点新坐标4S）=（1,1） 4（） = （1,1） 人（£,）= （1,1） A4（77）= （-M） 冬（£,）= （0,1） 冬（二77）= （1,0） %（£,）= （。,1） 冬（£,）= （1,0）2.矩形单元二次矩形单元形状函数利用形状函数的性质，可得N, © ) = 土 (1 + 翳)(1 + 刀)(能 + 刀-1)(Z = 1,2,3,4)W/7)= !(1 £2)(i + m)(/ = 5,7)1 9AAz.(77)= -(1-772)(1 + W

34、 d = 6,8):、二维单元及其单元刚度阵单元应变< du dv + ® dxk=k &y rxyr =其中占为几何矩阵8u =: NgZ = 12.矩形单元二次矩形单元位移函数8V =工 Nni=l几何矩阵03xl6 -国也IA.二次矩形单元2.矩形单元dN dx0dx0 dxB3x16 0ON, Sy0 0ON、dN2阳2dx6dx0dx四、三维单元及其单元刚度阵p三、二维单元及其单元刚度阵2.矩形单元二次矩形单元平面应力问题的应力为b=b* by= d<单元刚度矩阵W -出国回网少V工程中的一切问题都对应着空间三维问题，都可以 用三维单元来构成其总体结构。

35、本课程介绍三维单元四、三维单元及其单元刚度阵及其单刚阵，包括六面体、四面体和曲线等参单元。 IIIII四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵X1.六面体单元单元如图所示，共8个节点， 每个节点的位移参数是U、V、W, 注进行单元分析时，同矩形单 元一样，常用局部坐标表示，其原点位于六面 体形心，坐标方向同X、y、z 致，其相互关系为：1.六面体单元四、三维单元及其单元刚度阵令ZXJo =（X + 儿）/2乙0 =（。+召）/2四、三维单元及其单元刚度阵= (1,1,-1)AS,：) = (144)企(= (-1,1,-1) a6(,/7,O = (-1JJ)=(1,1,1)冬(,

36、：)=(1,1,1)已時，/)= (1,1,1)人(£,，：)= (1,1,1)形状函数M j /, <) = (1 + 乙 £)(1 + 77,77)(1 + C<)/8 (Z = l,2,8)888% =工 Ng, = 2，w =工 Ni wzz=li=li=l四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵1.六面体单元单元应变四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵其中占为几何矩阵du dv + dy dx dv dw 一 + 一 dz dy dw du + dx dz.= <r四、三维单元及其单元刚度阵1.六面体单元几何矩阵<

37、;<24=目B2- M护=坷儿 W u2 血四、三维单元及其单元刚度阵1.六面体单元几何矩阵dN,dx08Nidy08NiSydNi0（心12，8）dNt-dzdydx四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵1.六面体单元三维问题的应力为b=bY by / f弹性矩阵/（1-）1“/（I-）“/（I - “）1000（1 - 2"）2（1-）00000000对称（1 - 2）2（1 ）四、三维单元及其单元刚度阵1.六面体单元单元刚度矩阵24x24 = 576= BDlBdVke24x24V四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵ke =四、三维单元及其单

38、元刚度阵1 六面体单元单元刚度矩阵r, 1EVK =L 八 16(1 +“)(1-2“)kkk 1代11代12尺13氐21氐22上22上31上32心3为3x3的块方阵，i, j二 1, 2,8, S.V = axbxcA (1-)吟 1 +1 221.六面体单元单元刚度矩阵匕=（1-“）磚（1+学）（1+警）+耳仝c551四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵1.六面体单元单元刚度矩阵四、三维单元及其单元刚度阵1.六面体单元单元刚度矩阵四、三维单元及其单元刚度阵入+兄2 +几3 +兄4 = 12.四面体单元工程实际中的结构往往比较复杂，仅用形状规则 的单元难于较好的近似结构的几何

39、边界，下面介绍 多用于过度单元的4面体4节点三维单元。采用体积坐标，单元内任意一 点P的位置由4个比值来确定：2 _匕2342_ “P341Tli = =VV2 耳4122= S1233 4 F四、三维单元及其单元刚度阵2.四面体单元V是四面体的体积1111%兀2兀3x46丁2儿1111X兀2£兀46y歹2歹3儿Z四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵1111T/ 1X兀3x4V2 =-6y儿z©1111T/ 1Xx4兀1兀2y儿歹2Z©四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵2.四面体单元T7 11X1兀1114=76yy2歹3zZ1Vx=ax +bxx + cxy -dyZ四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵££兀4=歹2儿S其中111歹2歹3儿5S四、三维单元及其单元刚度阵人=(ai +bix + ciy + diz)/6i = 1,2,3,4111d =兀3X4歹2儿四、三维单元及其单元刚度阵四、三维单元及其单元刚度阵2.四面体单元形状函数N 儿N 2 久2N 3 几3N 4 几