由求圆的半径而引发的一题多解

1、由求圆的半径而引发的一题多解关于以学生为本的课堂教学的思想东辽县辽河源镇中学郑 旭以学生为本，是现代课堂教学设计的基本理念，所谓以学生为本就是以学 生的学为本、以学生的发展为本，教与学有效的结合统一。在初三的一世节总 结课上，由于我的放手使我的教学计划不但在课上能够很好的完成，而且我和 学生都有意外的收获。这是一节考试后的习题讲解课，其中有一道题在考场上多数同学答的并不 好，通过总结此题，学生答的非常精彩、总结的非常到位。试题是这样的：如图，AB是O O的直径，CB, CE分别切O O于点B、D, CE与BA的延 长线交于点E,连结OC、OD。已知DE=a, AE=b, BC=c,请你思考后，

2、选用 以上适当的数，设计出计算O O的r半径的一种方案。 你选用的已知数是。 写出求解过程(结果用字母表示)学生A是这样解答的，选择了 a , b,则由切割线定理得a2_ I 2a2=b (b+2r)即匸二三卫考场上这位考生直接利用了切割线定理公式得到了满分。学生B在考场上没有做出此题，课堂上受此启发，他新立刻举手发言，做得很简单，选用的是特殊三角形一一直角三角形，利用勾股定理求解。解法如下：在直角三角形 OED中，由ED=a，OD=r，OE=b+r，得2 2ED J 0D2= EO2 即r2= (b+r)2® r 二2b。选用的也是a, b。方法简单，思路清晰，运算结果与 A同学的

3、相同。学生B刚说完此题，学生C带着疑惑的目光举起了手，老师我也是利用勾 股定理，但是运算结果怎么会是另一样呢？原来他是这样做的：他选用了 a, b， c三个已知条件，选用的三角形是RtApBC, BC= c,EC= a+c , EB= b+2i(b+2iJ+c2-(a+c)2由勾股定理得解得 r二汩+2ac T)9他做的答案确实与前两位同学的答案不一样。至此课堂气氛多少有些紧张，一 道题怎么有两种不一样的答案呢？课上到这里也应该说我和同学们对这道题的 探究完成的相当好，同时对同学出现的疑惑我做了这样的解释：因为选用了三 个已知条件，所以做出的答案就有可能不同，并且我又讲解了与以上两个答案 还不

4、一样的答案：连结 AD，可证AD/ OD可得c七，即r =这样同学们的疑惑解除了，课堂的气氛也变得轻松了。同学们的脸上也露出了喜悦。事情还没有到此结束，我立刻提出问题，既然得到的三个答案都没有错那么a, b, c之间一定存在着互换关系，具体怎样呢？平时成绩一向不错的 D同学发言了，他说他可以 a，c用来表示r。因为¥ "学' ，可得a2 +2ac Tj中，可得5c J a2 +2acE 发言Rt A ODERtACBE尸b+ 71? + Sac，同学F也做了补充，既然beO+-Pl-'i H 与 1J- 1'-1'共用那么 S1 至此，已经已

5、经接近下课了，我请同学们总结了下本题的做法。一个单纯的线段问题用到了下面的方法：切割线定理 三角形相似勾股定理 平行线分线段成比例 三角函数法。同学们意犹未尽，我让同学们课后要好好总结， 考虑只用b, c表示r等。事后证明，同学们做得非常好。纵观这节课，我和我的学生都有了很大的收获，学生初步学会了提出问题、探究问题和解决问题。爱因斯坦说:“提出一个问题往往比解决一个问题更重要。”解决问题也许是一个数学上或实验上的技能而已，而提出问题却需要有创 造的想像力，而且标志着学生创新能力的提高。学生尝到了成功的喜悦。要开放课堂就必须充分相信学生。因为学生是学习的主人。课堂应该是学 生的天地。师生之间的关

6、系应该是互相信任和互相尊重的，这种信任和尊重是 师生平等关系的体现，而教师的教应放在为学生的学服务的。教师教学的最高 境界是教而不教。要相信学生，让学生拥有一份属于他们自己发展的空间，让 他们主动去发现、观察、思考、去创造，用他们的智慧之光激发他们学习的主 动性和积极性。发挥出他们最大的潜能，使他们真正学到发球自己的知识。教 师在建立良好的师生关系的同时，也要对他们有足够的爱，海纳百川，有容乃 大，学生在成长过程中要别人的爱。特别是老师的爱。结所有学生都要关心他 们、热爱他们。这样学生也会给教师以相应的情感回报。这样师生才会和衷共 处。由爱教师进而爱及他教的学科，对他所教的学科产生兴趣，这也是人们常 说的“亲其师，而悦其道也。 ”当然合格的老师除了有爱心外，还要有扎实的基本功和巧妙驾驭课堂的应 变能力。一个观察能力、应变能力、业务能力和创新能力都比较强的老师