31.2.1_任意角的三角函数(优秀课件)

1、1知识与技能借助单位圆理解任意角的三角函数;从任意角三角 函数的定义认识其定义域，函数值的符号;已知角 a终边上一点，会求角a的各三角函数值；记住三角 函数的定义域、值域，诱导公式（一）2、过程与方法利用终边与单位圆的交点坐标求三角函数值；各 个三角函数值的象限符号；诱导公式一的熟练应 J|j o3、°情感、态度与价值观/三以学习转化的思想，培养学生严谨治学、-41 科学精神.教学的重点和难点重点：三角函数的定义，各三角函数值在特殊角的三角函数值.难点：对三角函数的自变量的多值性的理解，三角函数的求值中符号的确定.复习1在初中我们是如何定义锐角三角函数的?b Msina cos a

2、=tana= b靳课、导入2在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数?2 在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数?其中：OM =asin aMP =bcosaOP r -la2 +b2tanaMP _b OP rOM _ aOP rMP _bOM aAOMP - NOMPMP0P70MOP7诱思L飞探究如果改变点p在终边上的位置，这三个比值会改变吗?. MPsina =0POMCOSQ =OPMP MPtan oc = =OM OM11锐角三角函数（在单位圆中）以原点0为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆.MPbsma =OP _OMcosa =aOPMPbtana =0Ma所以，正弦，

3、余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点2任意角的三角函数定义设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P«y)那么：(l)y叫做Q的正弦，记作Sin« ,即siim = y ；(2)%叫做&的余弦，记作 COS6Z,艮卩 cos a = x ；yv(3 叫做的正切，记作tana ,即tanoc =(兀工0)使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域.的坐标或坐标的比值为函数值的 函数，我们将他们称为三角函数.。的终边(1) 正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点 的横坐标，正切就是交点的纵坐标与 横坐标的比值.(2) 正弦、余弦总有意义当 a的终边在y轴上时，点P的V7

4、C横坐标等于0, tan oc =二无意义，此时« = + Gx2由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系, 三角函数可以看成是自变量为实数的函数.兀例1 求的正弦、余弦和正切值.实例/剖析、冗解：在直角坐标系中，作ZAOB = ，3的终边与单位圆的交点坐标为5711.tail323若把角竿改为二呢?36.7兀1SH1易知厶0B（）5后6 -=_2?7tt忑6 2，7/rL二=V|cosP15.3P15.1 y sina = rXCOSQ =rtan a =(x0)X设角a是一个任意角,P(x, y)是终边上的任意一点, 点p与原点的距离厂二収+护 0.那么工叫做&的正弦

5、，即 K 产叫做。的余弦，即 三叫做。的正弦，即任意角。的三角函数值仅与G有关，而与点P在角的 终边上的位置无关.例2.已知角Q的终边经过点(-3,-4),求角Q 的正弦、余弦和正切值解:由已知可得 0=(-3)2+(-4)2 =5.设角4的终边与单位圆交于PS)，M必=4MP0M° =3OM几(-3厂4)分别过点P、P°作兀轴的垂线MRM.P.-yxO|OM0OP45?3AOMP AOMo* 十口.歹 -MP于是，sina = y = =J 疋,1 OPx |OAf I cosa =x = = jHy sin oc 4 tan a = 一 = 一 x cos a 3PiI

6、 I '提高练习：1已知角e的终边过点F（-12,5） 求e的三个三角函数值.解：由已知可得：r y/x2 + y2 = J(-12)2 +5? = 13于是,sin2 = ACOS& =1213P15.22.已知角ofl勺终边上一点P(-15%&z)(q訂且°工0)，求角Q的sin a. cos a. tan a的值解：由于兀= 15%y = 8%所以厂=J(-15a)2 +(8d=17|tz (tz 0)(1) 若q > 0 贝！k = 17a,于是. 8a 8-15a158a 8sin a = =,cos a = 5 tan a = 1717 a1

7、7-15a15(2) 若a <0贝【b = 17a,于是. Sa 8-15a15Sa 8sma =,coscr = , tan a =17 a 17I7ci 1715q153.己知角的终边在直线y = 2兀上，求角Q的sin a, cos % tail a的值 解:(1)当角涮终边在第一象限时,在角Q的终边上取点(1,2),则r=Vl2+22 =5.2251 亦合2_sin a = =, cos a = =, tail a = = 2V5 5551当角a的终边在第三象限时，在角Q的终边上取点(-1,-2),贝"=如/+(_2)2 =齿2 _ 2点 _ -1 _ V5 f _-2

8、_sin oc _= ? cos ct -= . tan cl 2V5 555-11 根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）三角函数定义域sin aRcos aRtanaf71aa + k7t(k w Z)22 确定三角函数值在各象限的符号(+)+0 (-)(-)xsilica()(+)o(-)X(+)COSQ:)(+ )o(+).(-)tan a口決J全正,二正監三正切価余刼三个三角函数在各象限的符号例3.求证：当下列不等式组成立时，角0 为第三象限角反之也对.fsin< 0tan&0 证明：因为式sin&<0成立，所以0角的终边可能位于第三 或第四象限，

9、也可能位于y轴的非正半轴上；又因为式tan&>0成立，所以角<9的终边可能位于 第一或第三象限.反过来请同学们自己证明.P15.6因为式都成立，所以角卩的终边只能位于第三象限. 于是角卩为第三象限角.如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系?终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）sin(cif + k 271)二 sin a cos® + k 2%) = coscif tan(cif + k 2兀)=tan a 其中k z利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0到2%（或0。360。）角的三角函数值例4.确定下列三角函数值的符号,然

10、后用计算器验证： (l)cos250 ; (2) sin(-); (3) tan(-672 ) ; (4) tan3n.423龙(5 )sin3.cos4.tan()解：(1)因为250。是第三象限角，所以cos250° < 0；<0；rr(2) 因为-才是第四象限角，所以sin(3) 因为 tan(-672°)= tan(48°-2x360°) = tan48。， 而48。是第一象限角，所以8(-672。) > 0;(4) tan3” = tan(兀 + 2龙)=tan” = 09兀11兀； tan(-)O例5求下列三角函数值:(l)

11、sml480°10f; (2)cos 4解：(1 )sin 1480。1 O' = sin(40°l0, + 4x360°)= sin40010G 0.645;(2) cos = cos( + 2龙)=cos =;4442(3) tan(-117V." r 、兀)=tan(2/r) = tan 66 66己知&在第二象限，试确定sin(cos®cos(sin®的符号解：T0在第二象限，Tvcos 伙0，OvsinXl.-vcosX)，0<sin 0< .： sin(cos®vO, cos(sin&

12、#174;>0 / sin(cos ® cos(sin ®v0故sin(cos®cos(sin®的符号为"一”号练习：求值cos'1 Itt'+ sin-tan19tt解:cos1171T+ sin-tan19%)丿(7F )/cos-4tt + sinI3丿-12 + -6、(71 tan6历/I 3丿71. 7171= cossintan 363=iy/3 = 1 y/32 2山总结归纳1.内容总结： 三角函数的概念. 三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. 诱导公式一.2 方法总结：运用了定义法、公式法、数形结

13、合法解题.3 体现的数学思想：划归的思想，数形结合的思想.下面我们再从图形角度认识一下三角函数.ysina =| = MPcoscr| = |x| = OM思考:为了去掉等式中得绝对值符号，能否给线段OM、MP规定一个适当的方向, 使它们的取值与点P的坐标一致?我们把带有方向的线段叫有向线段. （规是:与坐标编珀向商务由另左方面）这几条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT% OMOAy这几条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT分别叫做角Q的正弦线、余弦线、正切线.统称为 三角函数线.yX当角理的终边在兀轴上时，正弦线、正切线分别 变成一个点；此时角Q的正弦值和正切值都为0当角q的终边在y轴

14、上时，余弦线变成一个点, 正切线不存在.此时角a的正切值不存在。例题示范例1作岀角-乜的正弦线,余弦线，正切线.这几条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT这几条与单位圆有关的有向线段MP、OM、ATMP是正弦线OM是余弦线AT是正切线例2作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线.兀271(1) i;-T 例1 在02兀内，求使 sin a >6 6例2 利用单位圆寻找适合下列条件的0。到360。的角.V3tan oc >30°WaW150。30°<a<90° 或 210。<01<270。例3.若0 < a < 一，试比

15、Lisina.tana, oc 的大小2解：如图，在单位圆中，设ZAOP=«（«（0,），则AP二a.2过点尸作尸M丄OA于M,过点A作4T丄OA交O尸的延长线于:T,则角Q的正弦线为MP,正切线为4匚APO4的面积扇形PO4的面积AA 0T的面肃 OA MP一 OA a 一 OA A.T9.sma <a <tana.2 2 2例4 利用三角函数线比较下列各组数的大小: 2冗.4冗sin与sm35tan3与tan解：如图可知:.2冗.4冗sin>sin5例4 利用三角函数线比较下列各组数的大小:sin还与sin色35tan解：如图可知: 2兀 4兀 sm>sm35厶2冗厶4ktanv tan35例5求函数= V2 cos a 1 的定义域.a G + 2A；7r, + 2k7v (k E Z)331 在（0,2兀）内使cosx>sinx> tan兀成立的兀的取值范围是（C ）y(A) sin 0 + cos 0 <0(B) sin 3 - cos & > 0(C) | sin 01<| cos 0 (D) sin 3 + cos & > 0分析:sin 3>0, cos 0 <0,s