3.7用导数求函数的极大值与极小值

1、6怨值XJB»HjobIbtw. imbm-、复习与引入:i=上节课，我们讲了利用函数的导数来研究函数的单调 性这个问题其基本的步骤为：求函数的定义域；求函数的导数广；i=i解不等式广0得f (x)的单调递增区间；解不等式广v0得f (x)的单调递减区间右下图为函数y=2x3-6x2+7的图象从图象我们可以 看出下面的结论：函数在X=0的函数值比它附近所有各 点的函数值都大，我们说f(0)是函数 的一个极大值；函数在X=2葩函数值 比它附近所有各点的函数值都小，我 们说f是函数的一个极小值。* r 一* - w 厂一 ibnvOTBiwB > k9、八一八二T新课二函数的极值厂

2、一般地，设函数y=f (x)在X。及其附近有定义，如果f(X。) 的值比X。附近所肴各皆矗函薮值都大，我们说f区)是函 数y=f (x)的一个极大值;如果f(X。)的值比X。附近嶄有各点 的函数值都小，我们说f(x°)是函数y=f(x)的一个极小值. 极大值与极小值统称极直在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变 量的值，极值指的是对应的函数值.请注意以下几点：(1)极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的 函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意 味着它在函数的整个的定义域内最大或最小也就是说 极值与最值是两个不同的概念.或定义域内极大值或极小值可以不止一个.(3)极

3、大值与极小值之间无确定的大小关系即一个 函数的极大值未必大于极小值，如下图所示N是极大值 点凶是极小值点,Wf(X4)>f(X1)(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端 点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点 可能在区间的内部，也可能在区间的端点.在上节课中，我们是利用函数的导数来研究函数的 单调性的下面我们利用函数的导数来研究函数的极值 问题.由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有广NT 0 但反过来不一定如函数y=x3,在x=0处,曲线的切线是水平的，但这点 的函数值既不比它附近的点的函数值大,也不比它附近 的点的函数值小假设X

4、。使那么在什么情况下X。 是f(x)的极值点呢？畑=0丨广(*0)二0!I!|a X。 b xa X。 b x畑=0畑=0如上左图所示，若X。是f(x)的极大值点，则X。两侧附近 点的函数值必须小于f(Xo) 因此,X。的左侧附近f(x)只能 是增函数，即广0; X。的右侧附近f(x)只能是减函数，即 广(兀)01=1同理,如上右图所示，若X。是f(x)极小值点，则在X。的 左侧附近f(x)只能是减函数,即广 0 ；在X。的右侧附近 只能是增函数，即八对0的导数异号，则X。是f(x)的极值点,f(x°)是极值，并且如果 广(兀)在X。两侧滴足“左正右负”，贝収0是f(x)的极大值 点

5、，八X)f(Xo)是极大值;如果在X。两侧满足“左负右正”，则X。是兀曲绷僦鴻，度閒崗陵磁值点处切线的斜率为0,并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正. 一般地当函数f(x)在X。处连续时，判别f(Xo)是极大(小)值的方法是：(1) :如果在X。附近的左侧fr(x) > 0右侧广< 0,那么, f(Xo)是极大值；(2) ：如果在X。附近的左侧f(x) < 0,右侧f(x) > 0,那么, f(x°)是极小值.不可导函数也可能有极值点例如函数y=|x|,它在 点x=0处不可导，但x=0是函数的极小值点故函

6、数f(x)在 极值点处不一定存在导数.可导函数的极值点一定是它导数为零的点仮之 函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点例如， 函数y=x3,在点x=0处的导数为零，但它不是极值点，原 因是函数在点x=0处左右两侧的导数都大于零因此导 数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充分条件 是在这点两侧的导数异号.因此，利用求导的方法，求函数的极值时，在函数的 定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”，除了确定其 导数为零的点外，还必须确定函数定义域内所有不可导 的点，这两类点构成了函数定义域内所有的可能取到极值» MB. (rMB WtMto MH WHWWMNf! I三、例题选讲:rMX

7、fB。MLVWVfl 社 .XI ：*M |»* WR- HBOT.4 b - _L厂bLrwMt例1:求y=x3/3-4x+4的极值.解：丁'=兀2一4 =（兀一2）（兀 + 2） 令/ = °,解得乂1=2以2=2X(8,2)2(-2,2)2(2,+ 8)y,+00+y/极大值28/3X极小值-4/3/当X变化时，口 y的变化情况如下表:因此当x=2时有极大值，并且，y极大值=28/3; 而，当x=2时有极小值，并且，y极小值= 4/3.总结:求可导函数f(x)的极值的步骤如下:求导数八兀)求方程八工)=0的根.(3)检査T在方程根左右的值的符号如果左正右负,

8、那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左正右负，那 么f(x)在这个根处字得极大值.例2：求函数/(兀)= X + («>0)的极值.解涵数的定义域为(- gO) Y (0,+8),(X«)(x+«)令八兀)=0，解得x1=-a5x2=a(a>0).当x变化时,广(兀),f(x)的变化情况如下表:n i1 r -' P rr. 乙 i -«» 戶Igfmkjwb .2* J L 0 * - » - - - -f m i> 4 g laufwaL* U .«Ji4 rFT- _* _.rL、>!

9、_ L 十“.1 - «1 F1 r J»i-1 r>«kajjilh aa itf> p 丁1 厂L11、 0M« J 4 - 4*X ” V5IFX(8,-a)-a(a,0)(0,a)a-(a,+8)霄f'(x)+00+f(x)7极大值-2a极小值2a/故当x=a时，f(x)有极大值f(a)=2a;当x=a时，f(x)有极 小值 f(a)=2a.说明:本题中的极大值是小于极小值的，这充分表明极值与最值是完全不同的两个概念.令 y'=0,解得 Xi=-1,X2=1当x变化时,J ；y的变化情况如下表:X-1(-U)1(2,心

10、)y'0+0yX极大值3/极小值3练习1:求函数X1 + x2的极值.解汀6(1-x2)(1 + x2)2因此，当x=时有极大值，并且，y极大值=3； 而，当x=1时有极小值，并且，y极小值= 3.(1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值，且极小值为-1,求a、b的值.(2)若x g 0,1,函数f(x)图象上的任意一点的切线斜 率为k,试讨论成立的充要条件.解：(1)由广(兀) =3兀 2 + 2mx = 0 得 x=0 或 x=4a/3 故 4a/3=4,a=6.由于当xvO时f (工)< 0,当x>0时,f (x) > 0 故当x=0时, f(x)达到极小

11、值f(O)=b,所以b=-1(2) 等价于当 x g 0,1时,-3x2+2ax>-1 恒成立，即 g(x)= 3x2-2ax-1<0对一切 x g 0,lg成立.由于 g(0)=-l<0,a 只需 g(l)=2-2a<0,BPa>l.反之，当aX时,g(x)<0对一切x g 0粗成立.第二课时1 设函数y=f(x)在X。及其附近有定义如果f(x°)的值比X。附近所有各点的函数值都大，我们说f(Xo)是函数y=f(x)的一个极大值;如果f(X。)的值比X。附近所有各点的函数值都小，我们说f(x(j)是函数y=f(x)的一个极小值极 大值与极小值统称

12、祓值.2当函数f(x)在X。处连续时，判别f(x°)是极大(小)值的方 法是.(1) ：如果在X。附近的左侧广 0,右侧广 0,那么, f(x°)是极大值;(2) ：如果在X。附近的左侧f (Q 0,右侧 0,那么, f(Xo)是极小值.3 理解函数极值的定义时应注意以下几点：士驻gg肇耋r | 丁 環| m页空两趣啊斓曲j卜局部性的概急极值点是区间内r部的点而不会是端点.(2) 若f(x)在某区间内有极值，那么f(x)在某区间内一定 不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值.(3) 极大值与极小值没有必然的大小关系即极大值不 一定比极力、值大，极小值不一定比极大值k(4

13、) 函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布是 有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值 皆,同样相邻两个极小值点之间必有一个极头值点.一般地，当函数f(x)在某区间上连续且有有限极值点时，函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的.(5) 导数为零的点是该点为极值点的必要条件，而不是 充分条件.4 确定函数的极值应从几何直观入手，理解可导函数在 其定义域上的单调性与函数极值的相互关系,掌握利 用导数判断函数极值的基本方法.伽:已知歯数f(x)满足条件:当x>2BOW40 ;当 xv2时Z(x)<0 ;广=0.求证:函数y=f(x2)在兀=Vi处有极小值.证:

14、设g(x)=f(x2)侧 gx) = /f(x2)-2x.故当工>血 时,x2>2,由条件可知广(兀2)>0,即:g,(x) = /,(x2)-2x>0;当0<x<72时於<2,由条件更聊 g'(x) = /,(x2)-2x<0;又当"血 时,g41) =广(2)-272 = 0.°°所以当2 "时，函数y=f(x2)取得极小值.4,极小值为0 试确定a,b,c的值.解：fr(x) = 5ax4 - 3bx2 = x2(5ax2 - 3b).由题意J'Cr) = O应有根工二±1,

15、故5a=3b,于是: ff(x) = 5ax2(x2 1).设a>0,列表如下：XYl)-1(-1,1)1+0<00f(x)/极大值X极小值由表可彳4=/(-1)o=/(i)，即-a+b+c =4a-b+c =0又 5a=3b，解得 a=3,b=5，c=2.(2)设avO,列表如下：X(一可1)-1fM0f(x)极小值(-1,1)1d,+ 8)>007极大值由表可初”，即严"40 = /(-!)5 卜a+b+c = O又 5a=3b，解得 a=3，b=5，c=2.10,求a、b的值.：/V)=3x2+2ax+b=0 有一个根 x=1,故 3+2a+b=0.®

16、; 又 f(1 )=10,故 1 +a+b+a2=10 当a=-3,b=3时 JU) = 3(if > 0，此时f(x)在x=1 处无 极值，不合题意.当 a=4,b=-11 时,广=3/ +8x-ll = (3x + ll)(x-l).-3/11<x<1 时;x>1 时,r(x)>0，此时x=1 是极 值点.从而所求的解为a=4,b=-11；L 4-* - « w . r« “ r 厂 :rJ llkAIU*I *r r1 ! «Nf MWpiaMtf aMfHlHpNr Mi“、ax+b f 血例3:已知：几小茄(">°)(1) 证明:f(x)恰有一个极大值点和一个极小值点；(2) 当f(x)的极大值为1、极小值为*!时，求a、b的值. 血 /4、小(A_a(x2+l)-2x(ax + />) _ -ax2-2bx+a解:/小 171?(x2+l)2*令T(兀)=0,得ax2-2bx+a=0, A =4b2+4a2>0,故广d) = O有不相等的两实根a、卩，设av卩.又设g(x)=-ax2-2bx+a,由于-a<O,g(x)的图象开 口 向下,g(x)的值在