哈工大结构力学结构力学8力法

1、1282 超静定次数的确定83 力法的基本概念84 力法的典型方程86 对称性的利用85 力法的计算步骤和示例87 超静定结构的位移计算89 温度变化时超静定结构的计算810 支座移动时超静定结构的计算811 超静定结构的特性88 最后内力图的校核81 超静定结构概述第八章第八章 力力 法法341 概 述 1. 静定结构与超静定结构 静定结构： 超静定结构：abcpp 全部反力和内力只用平衡条件便可确 定的结构。 仅用平衡条件不能确定全部反力和内力的结构。 abphavarbvaharbrc外力超静定问题内力超静定问题4pabcp 1x 2 . 超静定结构在几何组成上的特征多余联系与多余未知力

2、的选择。 是几何不变且具有“多余”联系（外部或内部）。 多余联系： 这些联系仅就保持结构的几何不变 性来说，是不必要的。多余未知力： 多余联系中产生的力称为多余未 知力（也称赘余力）。此超静定结构有一个多余联此超静定结构有一个多余联系，既有一个多余未知力。系，既有一个多余未知力。此超静定结构有二个多余联此超静定结构有二个多余联系，既有二个多余未知力。系，既有二个多余未知力。1x2x53. 超静定结构的类型（1）超静定梁;（2）超静定桁架；（3）超静定拱；4. 超静定结构的解法 求解超静定结构，必须 综合考虑三个方面的条件:（1）平衡条件；（2）几何条件；（3）物理条件。 具体求解时，有两种基本

3、(经典)方法力法和位移法。（4）超静定刚架；（5）超静定组合结构。642 超静定次数的确定 1. 超静定次数： 2 .确定超静定次数的方法: 解除多余联系的方式通 常有以下几种： （1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个联系。1x （2）拆开一个单铰，相当于去掉两个联系。 用力法解超静定结构时，首先必须确定多余联系 或多余未知力的数目。1x1x2x 多余联系或多余未知力的个数。 采用解除多余联系的 方法。7 3. 在刚结处作一切口，或去掉一个固定端，相当于去掉三个联系。1x1x3x 4. 将刚结改为单铰联结，相当于去掉一个联系。1x1x 应用上述解除多余联系(约束)的方法，不难确定任何 超静定

4、结构的超静定次数。x x2 2x x2 283. 例题:确定图示结构的超静定次数（n）。1x2x3x 4x5x6xn=61x2x3x4x5x6xn=37=21 对于具有较多框格的结构，可按 框格的数目确定，因为一个封闭框格，其 超 静定次数等于三。当结构的框格数目为 f ,则 n=3f 。943 力法的基本概念 首先以一个简单的例子，说明力法的思路和基本概 念。讨论如何在计算静定结构的基础上，进一步寻求计 算超静定结构的方法。abeil 1判断超静定次数： n=1qq1xab原结构原结构 2. 确定(选择)基本结构。3写出变形(位移)条件: 1x11p101(a)(a)0p1111(b)(b)

5、q基本结构基本结构根据叠加原理，式（a）可写成10图1m图pm1x1图m8ql22ql2l8ql2将代入(b)得4 .建立力法基本方程0xp1111(41)5. 计算系数和常数项eidsm2111eidsmmp1p1ei8ql46. 将11、 11代入力法方程式(4-1)，可求得)(8ql3x11p11ei3l3abeilq0p1111(b)(b)此方程便为一次超静定结构的力法方程。=ei12l232l11=11x1= ei12ql243l_ (31l )多余未知力x1求出后，其余反力、内力的计算都是静定问题。利用已绘出的m1图和mp图按叠加法绘m图。q11 象上述这样解除超静定结构的多余联系

6、而得到静定的基本结构，以多余未知力作为基本未知量，根据基本结构应与原结构变形相同而建立的位移条件，首先求出多余未知力，然后再由平衡条件计算其余反力、内力的方法，称为力法力法。 力法整个计算过程自始至终都是在基本结构上进行的，这就把超静定结构的计算问题，转化为已经熟悉的静定结构的内力和位移的计算问题。 1244 力法的典型方程 1. 三次超静定问题的力法方程 用力法计算超静定结构的关键，是根据位移条件建立力法方程以求解多余未知力，下面首先以三次超静定结构为例进行推导。abp p首先选取基本结构（见图b）x x1 1x x2 2abp px x3 3基本结构的位移条件为：1=02=03=0设当11

7、1321xxx、 和荷载 p 分别作用在结构上时，a点的位移沿x1方向：沿x2方向：沿x3方向：据叠加原理，上述位移条件可写成原结构基本结构1=（42）（a）（b）1121、22、23和2p ；31、32、33和3p 。2=21x1+22x2+23x3+2p=03=31x1+32x2+33x3+3p=011x1+12x2+13x3+1p=0、12、13和1p ；132. n次超静定问题的力法典型(正则)方程 对于n次超静定结构,有n个多余未知力，相应也有 n个位移条件，可写出n个方程 11x1+ 12x2+ + 1ixi+ + 1nxn+1p=0 （43） 这便是n次超静定结构的力法典型(正则

8、)方程。式中xi为多余未知力， i i为主系数，i j(ij)为副系数, ip 为常数项（又称自由项）。11x1+12x2+13x3+1p=0（42）21x1+22x2+23x3+2p=031x1+32x2+33x3+3p=0i 1x1+ i 2x2+ + i ixi+ + i nxn+ip=0 n1x1+ n2x2+ + nixi+ + nnxn+np=0 143. 力法方程及系数的物理意义 （1）力法方程的物理意义为： （2）系数及其物理意义：下标相同的系数 i i 称为主系数(主位移)，它是单位多余未知力1xi 单独作用时所引起的沿其自身方向上的位移，其值恒为正。系数 i j(ij)称为

9、副系数(副位移)，它是单位多余未知力1xj 单独作用时所引起的沿 xi方向上的位移，其值可能为正、为负或为零。据位移互等定理，有i j= j i i p称为常数项(自由项)它是荷载单独作用时所引起的沿xi方向的位移。其值可能为正、为负或为零。上述方程的组成具有规律性，故称为力法典型方程。 基本结构在全部多余未知力和荷载共同作用下，基本结构沿多余未知力方向上的位移，应与原结构相应的位移相等。154. 力法典型(正则)方程系数和自由项的计算 典型方程中的各项系数和自由项，均是基本结构在已知力作用下的位移，可以用第七章的方法计算。对于平面结构，这些位移的计算公式为gadsqkeadsneidsm2i

10、2i2iiigadsqqkeadsnneidsmmjijijijiijgadsqqkeadsnneidsmmpipipiip 对不同结构选取不同项计算。系数和自由项求得后，代入典型方程即可解出各多余未知力。1685 力法的计算步骤和示例1. 示例pabci1i2=2i1a2a2an=2(二次超静定)原选择基本结构如图示pacb基x1x2力法典型方程为：11x1 计算系数和常数项，为此作图1m1x1a图2m1x2aa计算结果如下eidsm2111图、p21mmm(a)eidsm2222eidsmm212112a21x1 + 22x2+2p=0+ 12x2+1p=02ei112a232a=6ei1

11、a32ei112a2a =4ei1a31365eia17图1ma图2maap图pm2paeidsmmpp11eidsmmpp22将以上各系数代入方程(a)并消去(a3/ei1)得0p965x41x61210p161x65x4121解联立方程得,p114x1p883x2多余未知力求得后其余反力、内力的计算便是静定问题。p2211mxmxmm例如 外pa8815最后内力图的绘制用叠加法15/88pam图13/88papabc3/88paa13965eipa1316eipamac=a.114p+ a(883p)2pa182 .力法的计算步骤 （1）确定原结构的超静定次数。 （2）选择静定的基本结构(

12、去掉多余联系，以多余未知力代替)。 （3）写出力法典型方程。 （4）作基本结构的各单位内力图和荷载内力图，据此计算典型方程中的系数和自由项。 （5）解算典型方程，求出各多余未知力。 （6）按叠加法作内力图。19例 41 用力法分析两端固定的梁，绘弯矩图。ei=常数。ablabp解：n=3选取简支梁为基本结构px1x2x3基本结构典型方程为11x1+ 12x2+ 13x3+1p=021x1+ 22x2+ 23x3+2p=031x1+ 32x2+ 33x3+3p=011x2图2m1x111x3图1m图3mmp图pm3=0,故13= 31= 23= 32= 3p=0则典型方程第三式为33x3=033

13、0(因x3的解唯一)故作基本结构各m和mp图由于x3=0lpabl3bl22lbpam图22lpab11x1+ 12x2+1p=021x1+ 22x2+2p=0由图乘法求得ei3l11ei3l22ei6l2112eil6)bl(pab)l3bl)(llpab21(ei1p1eil6)al(pabp2代入典型方程(消去公因子)得0l)bl(pabxx22210l)al(pabx2x221解得231lpabx 222lbpax 代入典型方程解得221lpabx 222lbpax 作弯矩图。p2211mmxmxm按式20 例 42 用力法计算图示桁架内力，设各杆ea相同。解： n=1(一次超静定)。

14、01234pp2a2aa选择基本结构如图示。01234ppx1基本结构写出力法典型方程11x1+1p=0按下列公式计算系数和自由项ealn2111ealnnp1p1为此，求出基本结构的1n和np值 01234 x1=11n2222-1/2对称01234ppnpp22+p/2对称0列表计算(见书141页)后得ea11=(3+2) aea1p=pa2101234 x1=11n2222-1/2对称01234ppnpp22+p/2对称001234ppn对称代入典型方程，解得)(223px11p11拉各杆内力按式p11nxnn叠加求得。0.586p0.828p+0.414p+0.172p例如n03=0.

15、7070.172p -0.707 =0.586p=0.172p2286 对称性的利用 用力法分析超静定结构，结构的超静定次数愈高，计算工作量就愈大，主要工作量是组成(计算系数、常数项)和解算典型方程。利用结构的对称性可使计算得到简化。简化的原则是使尽可能多的副系数、自由项等于零。 结构的对称性：例如： ei1ei1ei2aa对称对称ei1ei1对称对称 指结构的几何形状、约束、刚度和荷载具有对称性(正对称或反对称)。正对称简称对称。231. 选取对称的基本结构ei1ei1ei2对称轴 基本结构x1x2x3 多余未知力x1、x2是 正对称，x3是反对称的。 基本结构的各单位弯矩图(见图)。图1m

16、1x1 图2m1x2图3m1x3图1m图2m、是正对称，图3m是反对称。则13= 31= 23= 32=0于是， 力法典型方程简化为11x1+12x2+1p=021x1+22x2+2p=0 33x3+3p=0下面就对称结构作进一步讨论。24（1）对称结构作用对称荷载aappppmp图图mp图是正对称的，故3p=0。11x1+12x2+1p=021x1+22x2+2p=0 33x3+3p=0则 x3=0 。 这表明：对称的超静定结构，在对称的荷载作用下，只有对称的多余未知力，反对称的多余未知力必为零。aappppmp图图 （2）对称结构作用反对称荷载mp图是反对称的，故1p= 2p=0则得 x1

17、=x2=0 这表明：对称的超静定结构，在反对称的荷载作用下，只有反对称的多余未知力，对称的多余未知力必为零。25例 84 分析图示刚架。 10kn10kn6m6m6m解： 这是一个对称结构，为四次超静定。 选取对称的基本结构 如图示， x1只有反对称多余未知力x1基为计算系数和自由项分别作1m和mp图(见图)。1x1ei=常数331m图(m)10kn mp图(knm)6060120由图乘法可得ei11=(1/2332) 4 +（363）2 =144 ei1p=(3630+1/23 380) 2=1800代入力法方程 11x1+1p=0x1=kn5 .1211p1弯矩图由p11mxmm作出。解得

18、26这样，求解两个多余未知力的问题就转变为求解新的两对多余未知力的问题。当选基本结构为时，2. 未知力分组及荷载分组（1）未知力分组ab px1x2 p为使副系数等于零，可采取未知力分组的方法。 py1y1y2y2有x1=y1+y2 ，x2=y1y2作1m、m2图。1y11y11m图1y21y2m2图正对称反对称故12= 21=0典型方程化简为11y1+1p=022y2+2p=0 27（2）荷载分组 当对称结构承受一般非对称荷载时，可以将荷载分解为正、反对称的两组，分别求解然后叠加。 若取对称的基本结构计算，在正对称荷载作用下将只有对称的多余未知力。 若取对称的基本结构计算，在反对称荷载作用下

19、将只有反对称的多余未知力。pp2p2p2p2x1x1x2x22p2p2p2p283.取一半结构计算 当结构承受正对称或反对称荷载时，也可以只截取结构的一半进行计算，又称为半刚架法。下面分别就奇数跨和偶数跨两种对称刚架进行讨论。（1）奇数跨对称刚架pp对称p二次超静定对称荷载反对称荷载pp反对称p。一次超静定29（2）偶数跨对称刚架对称荷载pp对称p三次超静定反对称荷载ppipi/2三次超静定ppi/2i/2ppi/2i/2cqcqc3047 超静定结构的位移计算 上一章所述位移计算的原理和公式，对超静定结构也是适用的，下面以85的例题予以说明。 求cb杆中点k的竖向位移kykp=1pabci1

20、i2=2i1a2a2a原 虚拟状态如图为了作图m8/44a3/44a图km 需解算一个二次超静定问题，较为麻烦。 k图中所示的m图就是实际状态。 基本结构的内力和位移与原结构完全相同，则可以在基本结构上作图m。kp=1a/4图km图乘得6/44a1314083eipapa88321)a4a21(11eiky()31结 论综上所述，计算超静定结构位移的步骤是： （1）解算超静定结构，求出最后内力，此为实际状态。 （2）任选一种基本结构，加上单位力求出虚拟状态的内力。 （3）按位移计算公式或图乘法计算所求位移。3248 最后内力图的校核 用力法计算超静定结构，因步骤多易出错，应注意检查。尤其是最后

21、的内力图，是结构设计的依据，应加以校核。校核应从两个方面进行。1.平衡条件校核 取结构的整体或任何部分为隔离体，其受力应满足平衡条件。 （1）弯矩图：通常检查刚结点处是否满足m=0的平衡条件。例如取结点e为隔离体emmededmmebebmmefef应有 me=med+meb+mef=0mm图图33（2）剪力图和轴力图 可取结点、杆件或结构的某一部分为隔离体，检查是否满足 x=0和 y=0的平衡条件。2.位移条件校核 检查各多余联系处的位移是否与已知的实际位移相符。对于刚架，可取基本结构的单位弯矩图与原结构的最后弯矩图相乘，看所得位移是否与原结构的已知位移相符。例如图1mp pa ab bc

22、ci i1 1i i2 2=2i=2i1 1a a2a2a原检查a支座的水平位移 1是否为零。将m图与图1m相乘得3a2)a88pa321(ei21pa88332)2a(ei11211=03449 温度变化时超静定结构的计算 对于超静定结构，温度变化时不但产生变形和位移，同时产生内力。 用力法分析 超静定 结构在温度变化时产生的内力，其原理与荷载作用下的计算相同。例如图示刚架温度发生变化，选取基本结构（见图），t t1 1t t1 1t t2 2t t3 3t t1 1t t1 1t t2 2t t3 3x x1 1x x2 2x x3 3典型方程为11x1+12x2+13x3+1t=021x

23、1+22x2+23x3+2t=031x1+32x2+33x3+3t=0其中系数的计算同前，自由项1t、 2t、 3t分别为基本结构由于温度变化引起的沿x1、x2x3方向的位移。即dsmhttlniiit35 例46 刚架外侧温度升高25，内侧温度升高35，绘弯矩图并求横梁中点的竖向位移。刚架ei=常数，截面对称于形心轴，其高度h=l/10,材料的膨胀系数为。ll+ + 2525+35+35解： n=1选取基本结构x x1 1基+ + 2525+35+35典型方程为:11x1+1t=0计算并绘制1m图1 11m图1n1nl ll l0 00 0-1-1求得系数和自由项为ei3l 5)l3l 22l2(ei1eidsm3322111dsmhttlnt111=故得21111138leixt= =230230 l l36按11xmm m图作弯矩图 求横梁中点k的位移k，作基本结构虚拟状态的km 图 并求出kn，然后计算位移k k1 1kn0 0km图l/4l/4138138 ei/lei/ldsmhtlneimdsmktkkka )21(2)lei138l4l21(ei1) l4l21(h)2