江苏省高邮市阳光双语初中2020年九年级数学中考复习教案截长补短专题

1、九年级数学中考复习教案（截长补短专题）教学目标：1.复习几何证明题中“截长补短法”2.练习“截长补短法”有关习题教学过程：在几何证明题中，涉及到添加辅助线时，我们经常采用“截长补短法”，即在最长的线段上截取，使之分割成两条短线段之和；或在一条短线段上补充，使补充的线段等于另一条短线段，然后证明这两条短线段之和等于长线段。这种方法常在涉及线段和或差的题目中应用。线段的和或差可以出现在条件中，也可以出现在结论中（形如：a+b=c，cb=a等）。例1、如图，在abc中，ad平分bac，ab+bd=ac，求bc的值 方法一：题目中的条件ab+bd=ac，使用起来不直观。若延长ab，在延长线上取bm等于

2、bd，则可以得到ab+bd=am=ac，易于使用，这种方法叫“补短法”，通过补长线段，得到容易使用的相等线段。解：延长ab到m，使bm=bd，连结dm，则am=ab+bm=ac，1=2，ad=ad， admadc，m=c 又bm=bd，则m=bdm，abc=2m=2c，即b:c=2:1 方法二：还可以在ac上截取an=ab，就能将条件ab+bd=ac转化为nc=bd。这种方法叫做“截长法”，和第一种方法统称“截长补短法”，常用于线段之间的关系证明或者条件的利用。解：如图2：在ac上截取an=ab，由条件易知abdand，则dn=db and=b，又ac=ab+bd=an+nc nc=bd=nd

3、，c=ndc b=and=2c b:c=2:1 图（2）例2、如图所示，在rtabc中，c=90°，bc=ac，ad平分bac交bc于d，求证：ab=ac+cd 解答：证法一：如答图所示，延长ac，到e使ce=cd，连接deacb=90°，ac=bc，ce=cd，b=cab=45°，e=cde=45°，b=ead平分bac，1=2在abd和aed中，b=e，2=1，ad=ad，abdaed（aas）ae=abae=ac+ce=ac+cd，ab=ac+cd例3、正方形abcd中，e为bc上的一点，f为cd上的一点，be+df=ef，求eaf的度数。 证明思

4、路：延长eb使得bg=df，易证abgadf（sas）可得af=ag，进而求证aegaef可得eag=eaf，再求出eag+eaf=90°即可解题 解：延长eb使得bg=df，在abg和adf中，ab=adabg=adf=90°bg=df可得abgadf（sas），daf=bag，af=ag，又ef=df+be=eb+bg=eg，ae=ae，aegaef（sss），eag=eaf，daf+eaf+bae=90°eag+eaf=90°，eaf=45°例4、p是bac平分线ad上一点，ac>ab，求证：pc-pb<ac-abpdacb证

5、明：在ac上截取ae=ab，易证apeapb（sas），pe=pb pc-pb=pc-pe<ce，而ce=ac-ae=ac-ab pc-pb<ac-ab.例5、正方形abcd中，点e在bc上，点f在cd上，eaf=45°。求证：ef=be+df证明思路：延长eb至h，使bh=df，连接ah，证adfabh，faehae，根据全等三角形的性质得出ef=he=be+hb进而求出即可；证明：证明：延长eb至h，使bh=df，连接ah，在正方形abcd中，adf=abh，ad=ab，在adf和abh中，ad=ab，adf=abh，df=hb adfabh（sas），bah=daf

6、，af=ah，fah=90°，eaf=eah=45°，在fae和hae中，af=ah，fae= eah，ae=aefaehae（sas），ef=he=be+hb，ef=be+df例6、正方形abcd中，点e在dc延长线上，点f在cb延长线上，eaf=45°。请问现在ef、de、bf又有什么数量关系？ 证明思路：在de上取一点g，使dg=bf，根据正方形的性质求出d=abc=abf=90°，然后利用“边角边”证明abf和adg全等，根据全等三角形对应角相等可得，dag=baf=15°，全等三角形对应边相等可得ag=af，然后求出bae的度数以及g

7、ae的度数，根据度数求出gae=fae=45°，再利用“边角边”证明afe和age全等，根据全等三角形对应边相等可得ef=ge，然后根据图形边的关系进行等量代换即可得解；证明：de-ef=bf；在de上取一点g，使dg=bf，在正方形abcd中，ad=ab，d=abc=abf=90°，在abf和adg中，dg=bf，d=abf=90°，ad=ababfadg（sas），dag=baf=15°，ag=af，eaf=45°，baf=15°，bae=eaf-baf=45°-15°=30°，gae=90°

8、;-15°-30°=45°，gae=fae=45°，在afe和age中，ag=af，gae=fae=45°，ae=aeafeage（sas），ef=ge，ef+bf=eg+dg=de，de-ef=bf；例7、正方形abcd中，对角线ac与bd交于e，点f在bd上，af平分bac。求证：ac/2=ab-ef 证明思路：此题首先根据角平分线的性质可以得到ef=mf，然后利用正方形的性质可以得到条件证明rtamfrtaef，再根据全等三角形的性质与等腰直角三角形的性质可以证明题目结论证明：过f作fmab于点m，acbd于点e，ae=ac，abd=cb

9、d=45°，af平分bac，ef=mf又af=af，rtamfrtaef，ae=am，mfb=abf=45°，mf=mb，mb=ef，ef+ac=mb+ae=mb+am=ab例8、已知abc中，a=60°，bd、ce分别平分abc和acb，bd、ce交于点o，试判断be、cd、bc的数量关系，并加以证明 证明思路：在bc上截取bf=be,交bc于f，证明beobfo，则be=bf；再证明cdocfo，则cd=cf；即bc=bf+cf=be+cd答：bc=be+cd证明：在bc上截取点f，使得bf=bebd、ce分别平分abc和acbebo=fbo，dco=fco在

10、beo和bfo中be=bf，ebo=fbo，bo=bobeobfobe=bf，eob=foba=60°obc+ocb=60°doc=60°eob=fob=60°foc=60°在cdo和bfo中doc=foc，oc=oc，dco=fcocdocfocd=cfbc=bf+cf=be+cd即bc=be+cd例9、如图，点m为正三角形abd的边ab所在直线上的任意一点(点b除外)，作dmn=60°，射线mn与dba外角的平分线交于点n，dm与mn有怎样的数量关系? 证明思路：在ad上取一点p，使dp=bm，证明dpmmbn，则dm=mn答：d

11、m=mn证明：在ad上取一点p，使dp=bm，则ap=am，abd是等边三角形a=abd=60°ap=am，a=60°apm为等边三角形apm=60°dpm=120°又abd的外角为120°，bn为角平分线dbn=60°mbn=120°dmn=60°，bmn+amd=120°，a=60°，amd+adm=120°bmn=adm在dpm与mbn中bmn=adm，pd=bm，dpm=mbn=120°dpmmbndm=mn 课堂巩固练习1、如图，abc中，e、f分别在ab、ac上，

12、dedf，d是中点，试比较be+cf与ef的大小2、如图正方形abcd中，e为ad边上的中点，过a作afbe，交cd边于f，m是ad边上一点，且有bm=dm+cd（1）求证：点f是cd边的中点；（2）求证：mbc=2abe3、 在等边abc的两边ab、ac所在直线上分别有两点m、n，d为abc外一点，且mdn=60°, bdc=120°, bd=dc.当点m、n在边ab、ac上，且dm=dn时，直接写出bm、nc、mn之间的数量关系当点m、n在边ab、ac上，且dmdn时，猜想中的结论还成立吗？若成立，请证明当点m、n在边ab、ca的延长线上时，请画出图形，并写出bm、nc

13、、mn之间的数量关系4、如图已知正方形abcd中，m为cd的中点，e为mc上一点，且bae=2dam求证：ae=ab+ce 5、已知：如图，abcd是正方形，fad=fae. 求证：be+df=ae. 6、已知：如图，在中，ab=ac，deab，dgac，bfac，垂足分别为e、g、f。求证：de+dg=bf。7、在abc中，bac=60°，ab=ac，d是底边bc上的一点，e是线段ad 上的一点，且bed=2ced=bac，求证bd=2cd. 课堂巩固练习参考答案：1、证明思路：延长fd至g，使得gd=df，连接bg，eg，易证dfcdgb，所以bg=cf易证edfedg所以ef=

14、eg在beg中，两边之和大于第三边，所以bg+beeg又ef=eg，bg=cf，即可得出答案证明：证明：延长fd至g，使得gd=df，连接bg，eg在dfc和dgb中，df=dg，cdf=bdg，dc=dbdfcdgb（sas），bg=cf，在edf和edg中df=dg，fde=gde=90°，de=deedfedg（sas），ef=eg在beg中，两边之和大于第三边，bg+beeg又ef=eg，bg=cf，be+cfef2、证明思路：（1）由正方形得到ad=dc=ab=bc，c=d=bad=90°，abcd，根据afbe，求出aeb=afd，推出baeadf，即可证出点f

15、是cd边的中点；（2）延长ad到g使bm=mg，得到dg=bc=dc，证fdgfcb，求出b，f，g共线，再证abecbf，得到abe=cbf，根据三角形的外角性质即可求出结论 证明：（1）正方形abcd，ad=dc=ab=bc，c=d=bad=90°，abcd，afbe，aoe=90°，eaf+aeb=90°，eaf+baf=90°，aeb=baf，abcd，baf=afd，aeb=afd，bad=d，ab=ad，baeadf，ae=df，e为ad边上的中点，点f是cd边的中点；（2）证明：延长ad到g使mg=mb连接fg，fb，bm=dm+cd，dg

16、=dc=bc，gdf=c=90°，df=cf，fdgfcb（sas），dfg=cfb，b，f，g共线，e为ad边上的中点，点f是cd边的中点，ad=cdae=cf，ab=bc，c=bad=90°，ae=cf，abecbf，abe=cbf，agbc，agb=cbf=abe，mbc=amb=2agb=2gbc=2abe，mbc=2abe3、证明思路：由dm=dn，mdn=60°，可证得mdn是等边三角形，又由abc是等边三角形，cd=bd，易证得rtbdmrtcdn，然后由直角三角形的性质，即可求得bm、nc、mn之间的数量关系 bm+nc=mn；在cn的延长线上截取

17、cm1=bm，连接dm1可证dbmdcm1，即可得dm=dm1，易证得cdn=mdn=60°，则可证得mdnm1dn，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；首先在cn上截取cm1=bm，连接dm1，可证dbmdcm1，即可得dm=dm1，然后证得cdn=mdn=60°，易证得mdnm1dn，则可得nc-bm=mn解bm、nc、mn之间的数量关系 bm+nc=mn猜想：结论仍然成立证明：在cn的反向延长线上截取cm1=bm，连接dm1mbd=m1cd=90°，bd=cd，dbmdcm1，dm=dm1，mbd=m1cd，m1c=bm，mdn=60°，b

18、dc=120°，m1dn=mdn=60°，mdnm1dn，mn=m1n=m1c+nc=bm+nc证明：在cn上截取cm1=bm，连接dm1可证dbmdcm1，dm=dm1，可证cdn=mdn=60°，mdnm1dn，mn=m1n，nc-bm=mn4、证明思路：首先取bc的中点f，连接af，过点f作fhae于h，连接ef，由四边形abcd是正方形，m是cd的中点，易证得abfadm，又由bae=2dam，即可得af是bae的角平分线，易得ah=ab，bf=hf，又可证得rtcferthfe，即可得eh=ce，继而可证得ae=ab+ce 证明：取bc的中点f，连接af

19、，过点f作fhae于h，连接ef四边形abcd是正方形，ab=ad，a=d=c=90°，m是cd的中点，bf=dm，在abf和adm中， ab=ad，b=d，bf=dm abfadm（sas），baf=dam，bae=2dam，baf=haf，ahf=b=90°，afb=afh，bf=fh，ab=ah，fh=fc，fhe=c=90°，在rtcfe和rthfe中， fh=fc，fe=fertcferthfe（hl），eh=ce，ae=ah+he=ab+ce 5、证明思路：延长cb到h，使bh=df，证明ahbafd，得到h=afd，hab=fad，经过角的转化得到hae=h，则he=ae，即he=be十bh，得到be+df=ae.证明：延长cb到h，使bh=df，连结ah。四边形abcd是正方形，ab=ad，abh=adc=90°在ahb和afd中，ab=ad，abh=adc=90°，bh=dfahbafdh=afd，hab=fad，fad=fae，hab=fae，hae=fab，abdc，afd=fab，hae=afd，h=afd，hae=h，he=ae，he=be十bh，bh=df，b