初中数学人教版三年级上册一元二次方程根与系数的关系1教学设计

1、 一元二次方程根与系数的关系（1）教学目标：认知目标：掌握一元二次方程根与系数的关系；利用根与系数的关系，会由已知一元二次方程的一个根，求另一个根，以及方程中的未知系数；利用根与系数的关系，会求已知一元二次方程两个根的倒数和与平方和。能力目标：培养学生观察、猜想、归纳的能力和运用方程思想、转化思想解决问题的能力。德育目标：渗透由特殊到一般、由具体到抽象的思想方法；培养学生发现规律的积极性及勇于探索的精神。教学重点：理解和掌握一元二次方程根与系数的关系及其应用教学难点：灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决有关问题。教学过程：情景导入一、新知发生：前几节课我们已经知道，不同的一元二次方程由于系数

2、不同导致它们的根也不同，也就是说一元二次方程的根是由系数决定的，那么一元二次方程根与系数之间究竟还有怎样的关系呢？（板书课题）特例探究：课件、投影一元二次方程两根（x1、x2）两根之和（x1+x2）两根之积（x1x2）x2-5x+6=0x2+6x+8=0x2-8x-9=0 问题：你能发现上述一元二次方程两个根与系数之间有什么样的关系吗？（观察）问题：方程5x2-3x-2=0的根与系数也有上述关系吗？它的根与系数又有什么样关系呢？（观察）一般猜想：问题：如果方程ax2+bx+c=0（a0）的两根为x1、x2，那么它的根与系数又有什么样关系呢？ （猜想）教学设想：通过上述问题串，意在培养学生观察、

3、猜想、归纳的能力，经历知识的发生过程，通过“三猜”，体现由特殊到一般，由具体到抽象的认知过程,教师可根据课堂内容，选择有关的问题（无关或简单的问题可以由学生下课解决）和学生一起探讨，对问题逐个解决，这个过程可先由学生讨论解决，对学生统一存在的问题，教师引导学生一起分析解决，难点、重在教师重点强调，并给予说明、证明等）大家对此结论有什么疑问？仅仅通过猜想能说明它的正确性吗？求证：如果ax2+bx+c=0（a0）的两个根x1、x2，那么：x1x2，x1·x2= 证明：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根,则教学设想：上述证明过程中的依据（求根公式），由学生自己去猜想，老师不要

4、急于抛出结论；上述证明过程由一名学生在板书，其他学生在练习本上推导，培养学生的论证能力；证明结束后，要引导学生用自己的语言表述这种关系，以加强记忆，同时培养学生的口头表达能力，引导学生观察这种关系的结构（左边是两根的组合式，右边是完全由系数决定，具有对称美、简洁美,特别强调和式右边的负号）。（回归课本，确认定理，掌握定理）媒体的设计：教学设计的思路遵循学习认知规律，运用现代教学技术（以电脑多媒体辅助教学为基本的教学手段，创设生动有趣的数学教学情景，在尊重学生个性发展，面向全体学生基础上，唤醒学生的主体意识，从而全方位调动学生的学习积极性，进行数学教学，提高学生综合运用数学知识的能力。在教学过程

5、中，电脑的软件融汇了多种传统电教媒体录音机、投影仪、录像机及电视机的功能，精简了教学工具的使用，操作简便，使课堂学习气氛浓厚，学习氛围宽松。通过借助媒体，例题教学做到由易到难，由感性到理性的过渡，更易于被学生理解和掌握。同时在知识的反馈上，因为媒体的适时介入，使得反馈与调整更及时更准确，从而减轻了老师和学生的负担，达到了及时巩固的效果。深化理解判断题（1）方程x22x5的两根之和是2，两根之积是5 ； （ ）（2）方程6x2 3x20的两根之和是3，两根之积是2；（ ）（这两组练习的设置，目的是让学生通过比较鉴别，从易错处进一步深化认识新知识）教材p32练习1（口答）下列方程中，两根之和与两根

6、之积各是多少？ x2-3x10；3x22x=2 2x23x=0 3x2=1（此组练习的目的是为了让学生更加熟练掌握根与系数的关系，其中突出应用一元二次方程根与系数的关系关键是确定a、b、c，因此转化为一元二次方程的一般形式是前提） 二、知识应用：（已知一元二次方程一根，求另一根及未知系数）例1：已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。方法见课本p30利用根与系数的关系方法利用方程根的定义:2是方程5x2+kx-6=0的根，5×22k×2-60，k-7原方程可变为5x2-7x-6=0x1=,x2=2（注：虽然这种方法没有用到本节课知识，也应给予肯定）

7、解题回顾：(1归类:这是一类已知一根求另一根及未知数,关键是利用 根据根与系数的关系寻找两个等量关系,列出方程. 这里渗透方程的思想，解题中的数学思想方法比结果更重要.(2)思路:帮助学生分析两种方法的思维驻足点不一样,前者是先从所求的问题获得信息,后者是先从已知条件获取信息. 教学设想：学生初次接触此类问题，思维习惯不太适应，因此本题的讲解，应该由师生共同完成。已知这个一元二次方程的两个根中，一个根为2，若设另一个根为x1，则根据根与系数的关系，可得关于x1等量关系2x1=，渗透方程的思想，转化的思想；方法二实质是利用方程根的定义求解，让学生体会这种解题思路，能够开阔学生思维（反馈与矫正）教

8、材p32练习2已知方程3x219xm0的一个根是 1，求它的另一个根及m的值。题后点评：例1是已知一根求一次项系数（两根之和确定），用x1x2-b/a，练习2是已知一根求常数项（两根之积确定），用x1·x2=c/a，试问如果不告诉你任何根，仅仅告诉你两根的特殊关系，如：两根互为相反数，两根互为倒数呢？等，我们又该如何用根与系数的关系呢？例2：利用根与系数的关系，求一元二次方程2x23x10两个根的平方和；倒数和。(x1x2 )22x1 x2（1）x12 x22 解：设方程的两个根为x1 ,x2 ,则x1x2 ， x1 x2 （分析：先求出一元二次方程的两个根，在计算着两个根的平方和与

9、倒数和，这样计算比较繁琐；本题要求利用根与系数的关系，就是要求不解方程，其计算过程比较简单；但必须掌握上述变形，体会其中的转化思想。 如果教学时间允许，本例也可展示其求根解题过程，这样可使学生更加明确“根与系数”的关系；又可从上述繁杂的计算中感受通过式的变形，可以简化计算过程的必要性思考题：其实象这类关系式还有很多，如 (x1-x2 )2都可以采用类似的方法加以转化。（反馈与矫正）教材p32练习3：已知设、是方程x2+2x20的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。(1)(1)(1) (2)/+/（关键是让学生将其转化为两根之和与两根之积的表达式）（机动）智力冲浪，思维拓展。设、是方程x

10、2+2xb0的两个实数根，且()2 16 ，求b的值。 教学设想：本题要求较高，供生源较好班级使用；整体列出+=-2、=b、()2 16后，实际上这是一个三元一次方程组，如何变换消元，只求出其中一个元b的值的问题。三、课堂小结：（1）阅读课本p28-32有关内容。（2）本节研究一元二次方程根与系数的关系，有其特定的含义，即当a0, b2-4ac0 时，两根与系数之间有确定的等量关系，即x1x2-b/a，x1·x2=c/a， 它如此之简洁、对称，堪称数学上的一支奇葩。（在时间允许的情况下，由学生完成小结）四、作业布置：p33a组第1、2题五、教学设想：一元二次方程的求根公式是由系数表达

11、的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根之和，两根之积与系数的关系，它是以一元二次方程的求根公式为基础学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思路和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础本节课先通过对具体的一元二次方程的两根之和、两根之积与方程系数关系的观察、比较、猜想出一般规律，再引导学生去推导论证一般形式一元二次方程ax2bxc=0(a0,0)的两根之和、两根之积与系数的关系，使学生感悟认识事物的规律是由特殊到一般，由具体到抽象，培养学生勇于探索、积极思维的精神充分发挥教师主导、学生主体的作用，通过学生自身体验过程、探究发现，激发学生获得求知的欲望

12、；通过发现、猜想、证明的过程，使学生感受数学研究的方法与思想。学习例题、习题中渗透的数学思想，以此为载体，充分发挥其素质教育的功能，培养学生的发散性思维和探究能力。本节课主要通过以下三点进行：1、设计“根与系数关系”的教学，注重探索能力的培养，在循序渐进的教学原则下，通过“特例探究-一般猜证-深化理解”的教学设计，当一元二次方程根与系数的关系呈现在课堂教学中时，学生会感到是知识的自然流露，同时在课堂的初始阶段也激发了学生思维探索的乐趣；2、揭示教材中丰富的思想内涵，新知发生过程中的“具体到抽象”的思维方法，由猜想到论证的探究方法，例1的教学中方程的思想，例2教学中转化的思想，都从不同的角度，折射出数学思想