最新1反常积分的概念

1、第八章反常积分积分限有限被积函数有界推广反常积分 ()3 瑕积分的性质与收敛判别准则1 反常积分的概念2 无穷积分的性质与收敛判别准则目录 上页 下页 返回 结束 1反常积分的概念二、两类反常积分的定义二、两类反常积分的定义第一节一、问题的提出一、问题的提出反常积分的概念 第八章 目录 上页 下页 返回 结束 1反常积分的概念21xy a1xyo一、问题的提出一、问题的提出引例引例1. 曲线21xy 和直线1x及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积 可记作12dxxa其含义可理解为 bbxxa12dlimbbbx11limbb11lim1目录 上页 下页 返回 结束 1反常积分的概念引例引例2:

2、曲线xy1所围成的1x与 x 轴, y 轴和直线开口曲边梯形的面积可记作10dxxa其含义可理解为 10dlimxxa12lim0 x)1 (2lim02xy1a1xyo目录 上页 下页 返回 结束 1反常积分的概念定义定义1. 设, ),)(acxf,ab 取若xxfbabd)(lim存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分反常积分, 记作xxfxxfbabad)(limd)(这时称反常积分xxfad)(收敛 ;如果上述极限不存在,就称反常积分xxfad)(发散 .类似地 , 若, ,()(bcxf则定义xxfxxfbaabd)(limd)(二、两类反常积分的定义二、两类反常积分

3、的定义目录 上页 下页 返回 结束 1反常积分的概念, ),()(cxf若则定义xxfd)(xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim( c 为任意取定的常数 )只要有一个极限不存在 , 就称xxfd)(发散 .无穷限的反常积分也称为第一类反常积分第一类反常积分. ,并非不定型 ,说明说明: 上述定义中若出现 它表明该反常积分发散 .目录 上页 下页 返回 结束 1反常积分的概念,)()(的原函数是若xfxf引入记号; )(lim)(xffx)(lim)(xffx则有类似牛 莱公式的计算表达式 :xxfad)()(xfa)()(affxxfbd)()(xfb)()(fbfxxfd)()(

4、xf)()(ff目录 上页 下页 返回 结束 1反常积分的概念例例1. 计算反常积分.1d2 xx解解:21dxxarctanx)2(2xy211xyo思考思考: ?01d2对吗xxx分析分析:)1ln(211d22xxxx原积分发散 !注意注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .目录 上页 下页 返回 结束 1反常积分的概念例例2. 证明第一类 p 积分apxxd证证:当 p =1 时有 axxdaxlnapxxdappx11当 p 1 时有 1p1p,11pap当 p 1 时收敛 ; p1 时发散 .,因此, 当 p 1 时, 反常积分收敛

5、 , 其值为;11pap当 p1 时, 反常积分发散 . 目录 上页 下页 返回 结束 1反常积分的概念例例3. 计算反常积分. )0(de0ptttp解解:tppte原式00de1tptptppe12021p目录 上页 下页 返回 结束 1反常积分的概念定义定义2. 设, ,()(bacxf而在点 a 的右邻域内无界,0取存在 ,xxfxxfbabad)(limd)(0这时称反常积分xxfbad)(收敛 ; 如果上述极限不存在,就称反常积分xxfbad)(发散 .类似地 , 若, ),)(bacxf而在 b 的左邻域内无界,xxfxxfbabad)(limd)(0若极限baxxfd)(lim

6、0数 f (x) 在 a , b 上的反常积分, 则定义则称此极限为函 记作目录 上页 下页 返回 结束 1反常积分的概念若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明: ,)(,)(外连续上除点在若bcacbaxf而在点 c 的无界函数的积分又称作第二类反常积分第二类反常积分, 无界点常称邻域内无界 ,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220为瑕点瑕点(奇点奇点) .例如,xxxd11112xxd) 1(11间断点,而不是反常积分. 则本质上是常义积分, 则定义目录 上页 下页 返回 结束 1反常积分的概念注意注意: 若瑕

7、点,)()(的原函数是设xfxf计算表达式 : xxfbad)()()(afbfxxfbad)()()(afbfxxfbad)()()(afbf则也有类似牛 莱公式的若 b 为瑕点, 则若 a 为瑕点, 则若 a , b 都为瑕点, 则, ),(bac则xxfbad)()()(cfbf)()(afcf可相消吗可相消吗?目录 上页 下页 返回 结束 1反常积分的概念112dxx211111x下述解法是否正确: , 积分收敛例例4. 计算反常积分. )0(d022axaxa解解: 显然瑕点为 a , 所以原式0arcsinaax1arcsin2例例5. 讨论反常积分112dxx的收敛性 . 解解:

8、112dxx012dxx102dxx101x011x所以反常积分112dxx发散 .目录 上页 下页 返回 结束 1反常积分的概念例例6. 证明反常积分baqaxx)(d证证: 当 q = 1 时,当 q 1 时收敛 ; q1 时发散 .baaxxdbaax ln当 q1 时baqaxx)(dabqqax1)(11q,1)(1qabq1q,所以当 q 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为;1)(1qabq当 q 1 时, 该广义积分发散 .目录 上页 下页 返回 结束 1反常积分的概念例例7.解解：,)2() 1() 1()(32xxxxxf设求.d)(1)(312xxfxfi)(20 xfx

9、x为与 的无穷间断点, 故 i 为反常xxfxfd)(1)(2)(1)(d2xfxfcxf)(arctan012d)(1)(xxfxfi202d)(1)(xxfxf322d)(1)(xxfxf积分.)(arctanxf)(arctanxf02)(arctanxf232222732arctan222732arctan10目录 上页 下页 返回 结束 1反常积分的概念内容小结内容小结 1. 反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限 2. 两个重要的反常积分apxxdbaqaxx)(d1p1p)0( abaqxbx)(d1q,1)(1qabq1q,) 1(11pap目录 上页 下页 返回 结束

10、 1反常积分的概念说明说明: (1) 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互相转化 .例如 ,1021dxx）令txsin(20dtxxxd11104210121d122txxx102112)()d(xxxx)1(xxt令022dtt(2) 当一题同时含两类反常积分时, 应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.目录 上页 下页 返回 结束 1反常积分的概念 (3) 有时需考虑主值意义下的反常积分. baxxfd)(v.p.),(bcac为瑕点xxfd)(v.p.xxfaaad)(limxxfxxfbccad)(d)(lim0常积分收敛 .注意注意: 主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反其定义为目录 上页 下页 返回 结束 1反常积