大学物理上运动学02

1、第一章第一章 质点力学质点力学圆周运动与相对运动圆周运动与相对运动哈尔滨工程大学理学院 姜海丽xyorAB1.4.1 1.4.1 圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述规定：四指环绕质点的旋转方向，规定：四指环绕质点的旋转方向，则拇指的方向既是的方向。则拇指的方向既是的方向。在在SISI制中，角位置和角位移的单位是弧度，即制中，角位置和角位移的单位是弧度，即radrad角速度是角速度是rad/srad/s，角加速度是，角加速度是rad/srad/s2 2. .1.4 圆周运动圆周运动角坐标角坐标)(ttttd)(d)(角速度角速度Angular speed角加速度角加速度 tddAngular

2、acceleration第一章第一章 质点力学质点力学圆周运动与相对运动圆周运动与相对运动哈尔滨工程大学理学院 姜海丽1.4.2 变速率圆周运动的加速度变速率圆周运动的加速度如图所示，如图所示， 一质点作变速率圆一质点作变速率圆周运动。周运动。 t 时刻位于点时刻位于点A，速度，速度为为 ，t+ t 时刻位于时刻位于B点，速点，速度为度为 .AvBv设设 ，t 时间转过的角时间转过的角 度为度为 ，AB= l，则则 |Bv|Av将将 ， 平移交于平移交于 点，点，作作CD=CF，则有，则有BvAvCtnvvv由三角形相似得由三角形相似得AvBvlABROCBvAvvFvtvnED第一章第一章

3、质点力学质点力学圆周运动与相对运动圆周运动与相对运动哈尔滨工程大学理学院 姜海丽AnvRlv|所以该质点的瞬时加速度为：所以该质点的瞬时加速度为：tnttntaatvtva00limlim（1 1）法向加速度：只改变速度方向）法向加速度：只改变速度方向Normal acceleration大小为：大小为：RvRvtltvaaAAtntnn200limlim|方方 向：向：AnvaCDFt20即：指向圆心。即：指向圆心。第一章第一章 质点力学质点力学圆周运动与相对运动圆周运动与相对运动哈尔滨工程大学理学院 姜海丽（2 2）切向加速度：改变速度大小）切向加速度：改变速度大小Tangential a

4、cceleration 大小为：大小为：dtdvtvaatttt0lim|即：沿即：沿A A点的切线方向。点的切线方向。注：注：vvvvtABt00方方 向：向：平行同Atvvt00所以质点作变速圆周运动时总的加速度：所以质点作变速圆周运动时总的加速度：dtdvnRvaaatn2大小：大小：22222)()(dtdvRvaaatn第一章第一章 质点力学质点力学圆周运动与相对运动圆周运动与相对运动哈尔滨工程大学理学院 姜海丽方向：方向：tnaaarctg如右图所示。如右图所示。圆周运动特例：匀速率圆周运动圆周运动特例：匀速率圆周运动特点：速度大小不变，方向时刻在变。加速度只改变特点：速度大小不变

5、，方向时刻在变。加速度只改变速度的方向，而且永远指向圆心，称向心加速度。速度的方向，而且永远指向圆心，称向心加速度。tRytRxsin,cos 222Ryx jtRitRr)sin()cos( jtRitRv)cos()sin( jtRitRa)sin()cos(22 RvRaaayx2222 Aanata第一章第一章 质点力学质点力学圆周运动与相对运动圆周运动与相对运动哈尔滨工程大学理学院 姜海丽 以上关于圆周运动的结果，对任何平面曲线运动都以上关于圆周运动的结果，对任何平面曲线运动都适用。可表示为：适用。可表示为：dtdvnvaaatn2式中式中 是曲线在质点处的曲率半径。是曲线在质点处的

6、曲率半径。ABOxrR如图所示，有如图所示，有RrRv Rat2Ran1.4.3 1.4.3 圆周运动中角量与线量的关系圆周运动中角量与线量的关系第一章第一章 质点力学质点力学圆周运动与相对运动圆周运动与相对运动哈尔滨工程大学理学院 姜海丽练习题练习题1、一质点沿半径为、一质点沿半径为 0.1 m的圆周运动，其角位移的圆周运动，其角位移 随时间随时间t的变化规律是的变化规律是 = 2 + 4t2 (SI)在在t =2 s时，它的法向加时，它的法向加速度速度an=_；切向加速度；切向加速度at =_ 25.6 m/s2 0.8 m/s2 2、 距河岸距河岸(看成直线看成直线)500 m处有一艘静

7、止的船，船上的处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速为探照灯以转速为n =1 r/min转动当光束与岸边成转动当光束与岸边成60角角时，光束沿岸边移动的速度时，光束沿岸边移动的速度v =_ 69.8 m/s 第一章第一章 质点力学质点力学圆周运动与相对运动圆周运动与相对运动哈尔滨工程大学理学院 姜海丽例例1、一质点在、一质点在oxy平面内作曲线运动，其加速平面内作曲线运动，其加速度是时间的函数。已知度是时间的函数。已知ax=2, ay=36t2。设质点设质点t0 时时 r0=0, v0=0。求：求：(1)此质点的运动方程；此质点的运动方程； (2)此质点的轨道方程此质点的轨道方程; (3)此质点

8、的切向加速度。此质点的切向加速度。An particle moves in the plane of Oxy in the locus of curve, whose acceleration is the function of time t. And ax=2, ay=36t2 , r0=0, v0=0 when t0 . Try to calculate : 1. the motion equation, 2. the locus equation,3. the tangential acceleration.第一章第一章 质点力学质点力学圆周运动与相对运动圆周运动与相对运动哈尔滨工程大

9、学理学院 姜海丽 dtdva dtdvayyxx)1(dttdvdtdvyx236 2 tvytvxdttdvdtdvyx0200036 2 12 23tvtvyx jti tv3122 解：解：第一章第一章 质点力学质点力学圆周运动与相对运动圆周运动与相对运动哈尔滨工程大学理学院 姜海丽dtdyvdtdxvyx jtitrtytx42423 3所以质点的运动方程为：所以质点的运动方程为：dttdytdtdx312 2 tytxdttdytdtdx0300012 2423 tytx 第一章第一章 质点力学质点力学圆周运动与相对运动圆周运动与相对运动哈尔滨工程大学理学院 姜海丽622231444

10、 12 2 )3(ttvvvtvtvyxyx 4262636121621444864821ttttttdtdva (2)(2)上式中消去上式中消去t t , ,得轨道方程。得轨道方程。即：即： 可知是抛物线。可知是抛物线。 23 xy第一章第一章 质点力学质点力学圆周运动与相对运动圆周运动与相对运动哈尔滨工程大学理学院 姜海丽注：若求法向加速度，应先求曲率半径。注：若求法向加速度，应先求曲率半径。 6)361(1232232xyy 4223242236124)361 (6)361 (4ttxttvan第一章第一章 质点力学质点力学圆周运动与相对运动圆周运动与相对运动哈尔滨工程大学理学院 姜海丽

11、例例2.已知：质点的运动方程为已知：质点的运动方程为 其中其中A、B、 均为正常数，均为正常数，AB。求：求：(1)此质点的轨道方程；此质点的轨道方程； (2)此质点的速度和加速度此质点的速度和加速度; (3)此质点的切向加速度，何时为零。此质点的切向加速度，何时为零。j tBi tArsincos第一章第一章 质点力学质点力学圆周运动与相对运动圆周运动与相对运动哈尔滨工程大学理学院 姜海丽解：解：（1 1）由运动方程可知：）由运动方程可知：tBatBvtBytAatAvtAxyyxxsincossincossincos2212222ByAx（2 2）由运动方程可知：）由运动方程可知：tBtA

12、vvvyx222222cossin第一章第一章 质点力学质点力学圆周运动与相对运动圆周运动与相对运动哈尔滨工程大学理学院 姜海丽可见：当可见：当0,2 , 1 , 022tanntnttBtAtBAtBtAdtddtdvat22222222222cossin22sin)()cossin(（3 3）由定义：）由定义：第一章第一章 质点力学质点力学圆周运动与相对运动圆周运动与相对运动哈尔滨工程大学理学院 姜海丽例例3 3、由楼窗口以水平初速度、由楼窗口以水平初速度v v0 0射出一发子弹，取枪口射出一发子弹，取枪口为原点，沿为原点，沿v v0 0为为x x轴，竖直向下为轴，竖直向下为y y 轴，并

13、取发射时轴，并取发射时t=t=0. 0. 试求：试求： (1) (1)子弹在任一时刻子弹在任一时刻t t 的位置坐标及轨道方的位置坐标及轨道方 程；程；(2)(2)子弹在子弹在t t 时刻的速度，切向加速度和法向加时刻的速度，切向加速度和法向加速度。速度。第一章第一章 质点力学质点力学圆周运动与相对运动圆周运动与相对运动哈尔滨工程大学理学院 姜海丽(2)gtvvvyx ,0与切向加速度垂直 01222022tan vgttgvvvvyx 22202tgvtgdtdva2220022 tgvgvagan与速度同向2021gtytvxov0解：解：(1)20221vgxy ana gyx第一章第一

14、章 质点力学质点力学圆周运动与相对运动圆周运动与相对运动哈尔滨工程大学理学院 姜海丽例例4、如图所示，一个半径为、如图所示，一个半径为 R=1.0m 的圆盘的圆盘,可以绕一个可以绕一个水平轴自由转动。一根轻绳绕在盘子的边缘水平轴自由转动。一根轻绳绕在盘子的边缘,其自由端拴一其自由端拴一物体物体A 。在重力作用下。在重力作用下,物体物体A从静止开始匀加速地下降从静止开始匀加速地下降,在在 t=2.0 s 内下降的距离为内下降的距离为 h = 0.4m 。求：物体开始下降后求：物体开始下降后 3 s 末末,轮子边轮子边缘上的切向加速度与法向加速度的缘上的切向加速度与法向加速度的大小。大小。RAh第

15、一章第一章 质点力学质点力学圆周运动与相对运动圆周运动与相对运动哈尔滨工程大学理学院 姜海丽已知已知:R=1.0mt=2.0s h=0.4m2222m/s36. 00 . 1) 32 . 0() (RatRvanoY解解:建立一维直角坐标如图建立一维直角坐标如图（1）物体）物体A下降的加速度下降的加速度 a:（2）当物体）当物体A下降下降t=3s时的切向加速度时的切向加速度vo=0RAh221ath 222m/s2 . 024 . 022thaa=a=0.2m/s2（3）当物体下降）当物体下降t=3s时的法向加速度时的法向加速度第一章第一章 质点力学质点力学圆周运动与相对运动圆周运动与相对运动

16、哈尔滨工程大学理学院 姜海丽研究的问题研究的问题: : 在两个惯性系中考察同一物理事件在两个惯性系中考察同一物理事件实验室参照系实验室参照系 相对观察者固定相对观察者固定 S S系系运运 动参照系动参照系 相对上述参照系运动相对上述参照系运动SS系系1.5 1.5 相对运动相对运动 伽利略变换伽利略变换1.5.1 1.5.1 伽利略坐标变换伽利略坐标变换 设设SS系相对于系相对于S S系沿系沿 X X 轴方向以轴方向以u u 作匀速作匀速直线运动直线运动,O,O和和 OO重合时为记时起点。如下图所示。重合时为记时起点。如下图所示。第一章第一章 质点力学质点力学圆周运动与相对运动圆周运动与相对运

17、动哈尔滨工程大学理学院 姜海丽设任意时刻质点设任意时刻质点P P在两个坐标系的位置分别为在两个坐标系的位置分别为: :S),(tzyxrrS ),(tzyxrryOyOuPrrSS xxrr OO则：则：正变换正变换utxx yy zz tt 逆变换逆变换tuxx yy zz tt 分量式：分量式：第一章第一章 质点力学质点力学圆周运动与相对运动圆周运动与相对运动哈尔滨工程大学理学院 姜海丽值得注意的是：关系式值得注意的是：关系式 是根据矢量迭是根据矢量迭加而成的，但在运用矢量迭加法则时，要求每个矢量必加而成的，但在运用矢量迭加法则时，要求每个矢量必须由同一坐标系来测定，而伽利略变换式中的须由

18、同一坐标系来测定，而伽利略变换式中的 是在是在 系系 中的测量结果。中的测量结果。rr OOr S 可见，伽利略变换式成立的条件是：空间两点的距离不可见，伽利略变换式成立的条件是：空间两点的距离不管从哪个坐标系测量，结果都应该相同。这一结论称为管从哪个坐标系测量，结果都应该相同。这一结论称为空间绝对性。空间绝对性。伽利略变换式中的关系式伽利略变换式中的关系式 表明：质点的同表明：质点的同一运动所经历的时间，在不同的坐标系中测量时结果一运动所经历的时间，在不同的坐标系中测量时结果均相同，即时间与坐标系无关。这一结论称为时间绝均相同，即时间与坐标系无关。这一结论称为时间绝对性。对性。tt 第一章第

19、一章 质点力学质点力学圆周运动与相对运动圆周运动与相对运动哈尔滨工程大学理学院 姜海丽1.5.2 1.5.2 伽利略速度变换伽利略速度变换根据速度定义有：根据速度定义有：uvv上式是经典力学中的速度变换公式，只适用于低速运上式是经典力学中的速度变换公式，只适用于低速运动情况下的相对运动问题。动情况下的相对运动问题。zzyyxxvvvvuvv 分量式为：分量式为：zzyyxxvvvvuvv 正变换正变换逆变换逆变换第一章第一章 质点力学质点力学圆周运动与相对运动圆周运动与相对运动哈尔滨工程大学理学院 姜海丽1.5.3 伽利略加速度变换伽利略加速度变换设设S系相对于系相对于S系沿系沿 X 轴方向以

20、轴方向以 a0 作匀加速直线运动，作匀加速直线运动，则有：则有：0aaazzyyxxaaaat dduaa 分量式分量式 ：zzyyxxaaaadtduaa 正变换正变换逆变换逆变换若若S系相对于系相对于S系沿系沿 X 轴方向轴方向 作匀速直线运动，则作匀速直线运动，则有有aa第一章第一章 质点力学质点力学圆周运动与相对运动圆周运动与相对运动哈尔滨工程大学理学院 姜海丽这一结论说明：质点的加速度对于相对作匀速直线运这一结论说明：质点的加速度对于相对作匀速直线运动的各个参照系是个绝对量。动的各个参照系是个绝对量。1.6.1 抛体运动抛体运动（1）运动方程）运动方程 如图所示，质点初始时刻位于坐标

21、系原点，初速如图所示，质点初始时刻位于坐标系原点，初速度度v0与水平方向夹角为与水平方向夹角为 ，由于加速度竖直向下且恒，由于加速度竖直向下且恒为为 ，则由速度定义及抛体的初始条件可得，则由速度定义及抛体的初始条件可得速度公式如下：速度公式如下：jgg1.6 运动的迭加原理运动的迭加原理第一章第一章 质点力学质点力学圆周运动与相对运动圆周运动与相对运动哈尔滨工程大学理学院 姜海丽t gvv0运动方程：运动方程：2021t gtvr上式表明：抛体运动实际上是水平匀速直线运上式表明：抛体运动实际上是水平匀速直线运 动与竖直匀加速直线运动的迭加。动与竖直匀加速直线运动的迭加。yxgv0gt221v0

22、tr第一章第一章 质点力学质点力学圆周运动与相对运动圆周运动与相对运动哈尔滨工程大学理学院 姜海丽( 2 ) 轨迹方程轨迹方程在直角坐标系中运动方程为：在直角坐标系中运动方程为：jgtjtvitvj yi xr20021)sin()cos(分量式分量式20021sincosgttvytvx消去时间参数消去时间参数 t ,得轨迹方程得轨迹方程2220cos2xvgxtgy第一章第一章 质点力学质点力学圆周运动与相对运动圆周运动与相对运动哈尔滨工程大学理学院 姜海丽1.6.2 运动的叠加原理运动的叠加原理 例如例如1.6.1中的抛体运动中被抛物体同时参加水中的抛体运动中被抛物体同时参加水平方向的匀

23、速运动和竖直方向的竖直上抛运动，其平方向的匀速运动和竖直方向的竖直上抛运动，其轨道为抛物线轨道为抛物线 。当抛射角为。当抛射角为 90o 时，称为时，称为竖直上抛竖直上抛运动。运动。 当物体同时参与两个或多个运动时，其总的运当物体同时参与两个或多个运动时，其总的运动乃是各个独立运动的合成结果。这称为运动叠加动乃是各个独立运动的合成结果。这称为运动叠加原理，或运动的独立性原理。原理，或运动的独立性原理。第一章第一章 质点力学质点力学圆周运动与相对运动圆周运动与相对运动哈尔滨工程大学理学院 姜海丽 对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的：种是正确的： （A）切向加速度必不为零；）切向加速度必不为零； （B）法向加速度必不为零（拐点处除外）；）法向加速度必不为零（拐点处除外）； （C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零；因此法向加速度必为零； （D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零；）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零； （E）若物体的加速度）若物体的加速度 为恒矢量，它一定作匀为恒矢量，它一定作匀变速率运动变速率运动 .a讨讨 论论第一章第一章 质点力学质点力学圆周运动与相对运动圆周运动与相对运动