集成光学第二章第5节

1、数学模型圆柱坐标系中的波导场方程边界条件本征解与本征值方程本征值与模式分析2.5 2.5 圆柱波导圆柱波导光纤光纤数学模型数学模型：阶跃折射率分布光纤是一种理想的数学模型，即认为光纤是一种无限大直圆柱系统，芯区半径a，折射率为n1；包层沿径向无限延伸，折射率为n2。光纤材料为线性、无损、各向同性的电介质。两个出发点两个出发点: 磁场分量磁场分量er，e，hr，h (3) 利用利用e，h在纤芯和包层界面连续的在纤芯和包层界面连续的特点，即在特点，即在r=a处处e 1 e 2， h 1 h 2，求出导波特征，求出导波特征方程。方程。z方向电场和磁场分量的亥姆霍兹方程：20zzek e2+20zzh

2、k h2+xryz包层n2纤芯n1在柱坐标系下，有：在柱坐标系下，有：rrzzrrzzeeehhhaa+aaa+aeh2222222222221111zzzzzzzzeeeerrrrrzhhhhrrrrrz 代入代入z方向上的亥姆霍兹方程：方向上的亥姆霍兹方程：2222022222220222110110zzzzzzzzeeern k errrrzhhhrn k hrrrrz 横向分量可以由以下关系得到：横向分量可以由以下关系得到：0022200002220020222020022200zzrzzzzrzzkehjek nrrkehjek nrrrk nhejhk nrrhejhk nk nr

3、 场方程与解的基本形式 六个场分量：er，e，ez，hr，h，hz。 但并不是相互独立的，横向分量由两个纵向分量唯一确定。 , ,zerzr rz z2222222222222021( )( )1( )( )( )( )() ( )0d z zz zdzdmdd r rdr rrrk nrm r rdzdr 场解的选取依据：导模场分布特点：在空间各点均为有限值；在芯区为振荡形式，而在包层则为衰减形式；导模场在无限远处趋于零。贝塞尔函数形式：jm呈振荡形式，km则为衰减形式。本征解选取：n ()(),( , , , ),imitzmzimitzmuajr eeraae rz twbkr eera

4、a()(),( , , , ),imitzmzimitzmucjr eeraahrz twdkr eeraa本征解的确定本征值方程的导出边界条件：在r = a, ez, hz, e , h 连续eiz|a = eiiz|a : ajm(u)-bkm(w)=0hiz|a = hiiz|a : cjm(u)-dkm(w)=0ei|a = eii |a :hi |a = hii |a :确定待定系数abcd有非全零解：abcd系数行列式为零，即可导出本征值方程。本征值方程又称特征方程，或色散方程。其中u与w通过其定义式与相联系,因此它实际是关于的一个超越方程。当n1、n2、a和0给定时, 对于不同的

5、m值,可求得相应的值。由于贝塞尔函数及其导数具有周期振荡性质, 所以本征值方程可以有多个不同的解mn(m=0,1,2,3. n=1,2,3.),每一个mn 都对应于一个导模。 22221222011mmmmmmmmjukwjukwmnnujuwkwujuwkwkuw 2211mmmmjukwmujuwkwuw 弱导条弱导条件下：件下：归一化工作参数归一化工作频率：归一化横向传播常数：归一化横向衰减常数：有效折射率：归一化传输常数：221022210anknnav22021knau20222knaw222122222nnnnvwbeff0/kneff贝塞尔函数递推公式(i)11111201( )

6、( )( )21( )( )( )22lim( )cos()421lim( )( )! 2mmmmmmmxmmxjxjxjxmjxjxjxxmjxxxxjxm微分公式：微分公式：递推公式：递推公式：大宗量近似：大宗量近似：小宗量近似：小宗量近似：贝塞尔函数递推公式(ii)1111101( )( )( )21( )( )( )21lim( )(1)!2(1)lim( )2ln()(0)1.781mmmmmmxmxmmmxkxkxkxmkxkxkxxkxexmxmkxmx 微分公式：微分公式：递推公式：递推公式：大宗量近似：大宗量近似：小宗量近似：小宗量近似：弱导光纤各种模式的特征方程（1）te模

7、和模和tm模模00110000()()()()()()()()j uk wj uk wuj uwk wuj uwk w 或（2）eh模：模： 11( )()( )()mmmmjukwujuwkw （3）he模：模： 112211()()()()()()()()mmmmmmmmjukwujuwkwujuwkwjukw 或 (4)lp模模线性线性极化模极化模11( )()( )()llllj uk wujuwkw 1tetm1eh1helmm模和模模模lpmn模表征了简并模的叠加，可以简捷地处理光在光纤中的传播问题。lp01lp11lp21he11te01tm01he21eh11he11lp模的分

8、类及场分布和光斑模的分类及场分布和光斑模的下标模的下标m m表示表示沿圆周方向光场出现沿圆周方向光场出现最大值的对数，最大值的对数，n n表表示沿半径方向光场的示沿半径方向光场的最大值个数。最大值个数。lplp模命名法与矢量模命名法的对应关系模命名法与矢量模命名法的对应关系lp命名法命名法矢量模命名法矢量模命名法lp0n模模(m=0)he1n模模lp1n模模(m=1)te0n模、模、tm0n模、模、he2n模模lpmn模模(m22)ehm-1,n模、模、hem+1,n模模矢量模和标量模（线性偏振模，lp模）电力线磁力线zyr( )x导波模截止导波模截止 导波模截止是指电磁能量已经不能集导波模截

9、止是指电磁能量已经不能集中在纤芯中传播而向包层弥散的临界中在纤芯中传播而向包层弥散的临界状态，此时的导波模径向归一化衰减状态，此时的导波模径向归一化衰减常数常数w=0，我们将此时的归一化频率，我们将此时的归一化频率v和归一化和归一化常数常数u分别记为分别记为vc、uc。 (1)te、tm模的模的截止条件截止条件0()0cj u模式te01、tm01te02、 tm02te03、 tm03te04、 tm04截 止 频率vc2.404835.520088.6537311.79153若干若干te0n、tm0n模的模的截止频率截止频率各模式能否在光纤中传播而成为导模，是由光纤的实际归一化频率（v）与

10、模式的归一化截止频率（vc）的相对大小决定的。如果光纤的归一化频率大于某一模式的归一化截止频率，则这个模式能在光纤中传播，成为导模；如果光纤的归一化频率小于某一模式的归一化截止频率，则这个模式被截止，不能在光纤中传播。即导模条件导模条件 cvv截止条件截止条件 cvv临界条件临界条件 cvv (2)he模的截止模的截止条件条件（a）m=1 10()0ccuj u1,u0,模式he11 he12he13he14he15截止频率vc03.83171 7.0155910.1734713.32369若干若干he1n模的截模的截止频率止频率（b）m22()0mcju若干若干hemn模的截止模的截止频率频

11、率模式模式hemnhe21he22he23he24he31he32he33he34截止频率截止频率vc2.404835.520088.6537311.791533.831717.0155910.1734713.32369 (3)eh模的截止模的截止条件条件()0mcju若干若干ehmn模的截模的截止频率止频率模式模式ehehmnmneheh1111eheh1212eheh1313eheh1414eheh2121eheh2222eheh2323eheh2424截止频率截止频率v vc c3.831713.831717.015597.0155910.1734710.1734713.3236913.

12、323695.135625.135628.417248.4172411.6198411.6198414.7959514.79595可以看出，可以看出，he2n模与模与te0n和和tm0n模的归一化截止频率相同，是互相模的归一化截止频率相同，是互相简并的。简并的。he3n模与模与eh1n和和he1,n+1模的归一模的归一化截止频率相同，是互相简并的。化截止频率相同，是互相简并的。依此类推，当依此类推，当m3时，时，ehmn和和hem-2,n模的归一化截止频率相同，模的归一化截止频率相同，是互相简并的。是互相简并的。现将较低的几个现将较低的几个 模式的归一化截模式的归一化截止频率按照由高到低的顺序

13、排列止频率按照由高到低的顺序排列如下：如下：vc=0 he11模模vc=2.40483 te01、tm01、he21模模vc=3.83171 eh11、he12、he31模模vc=5.13562 eh21、he41模模vc=5.52008 te02、tm02、he22模模vc=6.38016 eh31、he51模模导波模远离截止导波模远离截止所谓远离截止时的导波模是指归一化所谓远离截止时的导波模是指归一化频率频率v远大于归一化截止频率远大于归一化截止频率vc、能量、能量几乎完全集中在纤芯中的模式状态。几乎完全集中在纤芯中的模式状态。 为了简化分析，将远离截止的状态看成为了简化分析，将远离截止的

14、状态看成v 的极限情况。的极限情况。 模式远离截止的条件模式远离截止的条件 w ()mkw的渐近式为的渐近式为 ()2wmkwew 上式对上式对m=0和和m0都适用，将其代入都适用，将其代入各模式的特征方程就可以得到远离截止各模式的特征方程就可以得到远离截止时的特征方程。时的特征方程。（1）te模和tm模远离截止时的u值1( )0j u te0n模和模和tm0n模远离截止模远离截止时的特征方程时的特征方程 u 值 是 一 阶 贝 塞 尔 函 数 的 根值 是 一 阶 贝 塞 尔 函 数 的 根1n=3.83171、7.01559、10.17347、13.32369 与前面截止时的与前面截止时的

15、u0值联系起来可以看出：值联系起来可以看出：te0n、tm0n模的模的u值是限制在零阶贝塞尔值是限制在零阶贝塞尔函数的第函数的第n个根与一阶贝塞尔函数的第个根与一阶贝塞尔函数的第n个根之间的。个根之间的。 （2）ehmn远离截止时的u值ehmn模远离截止时特征方程模远离截止时特征方程 1( )0mjuehmn模在远离截止时，其模在远离截止时，其u的取值为的取值为(m+1)阶贝塞尔函数的根，即阶贝塞尔函数的根，即（m+1）n，记，记作：作：u= （m+1）n ，与截止时的情况综合考，与截止时的情况综合考虑，虑，ehmn模的模的u值变化范围在值变化范围在mn和和（m+1）n之间。之间。 (3) h

16、emn模远离截止时的u值hemn模远离截止时特征方程模远离截止时特征方程 1()0mjuhemn模在远离截止时，其模在远离截止时，其u的取值为的取值为(m-1)阶贝塞尔函数的根，即阶贝塞尔函数的根，即(m-1)n，记作：，记作：u=(m-1)n，与截止时的情况综合考虑，当，与截止时的情况综合考虑，当m1时，时，he1n模的模的u值变化范围在值变化范围在1(n-1)和和0n之间；当之间；当m2时，时，hemn模的模的u值变化范围在值变化范围在(m-2)n和和(m-1)n之间。之间。 各模式各模式u值变化范围如下表所示值变化范围如下表所示模式名称模式名称te0n模模tm0n模模ehmn模模hemn

17、模模m=1m2u值值截止截止0nmn1(n-1)( (m-2)n远离截止远离截止1n( (m+1) n0n( (m-1)n色散曲线色散曲线结构参数给定的光纤中,模式分布是固定的。可根据本征值方程式利用数值计算得到各导模传播常数与光纤归一化频率v值的关系曲线,称之为色散曲线。因此,本征值方程又叫色散方程。色散曲线分析图中每一条曲线都相应于一个导模。平行于纵轴的竖线与色散曲线的交点数就是光纤中允许存在的导模数。由交点纵坐标可求出相应导模的传播常数。给定v值, v=vc, 则vc越大导模数越多;反之亦然。当vc2.405时, 在光纤中只存在he11模,其它导模均截止, 为单模传输。纵坐标标准化频率的变化范围为01，对应于模折射率n=n2和n=n1。 横坐标标准化频率vvc条件的模式都可以在光纤中传输。6116162162631632221.5 6 102 0.0022.3061.55 102221.5 6 102 0.0022.731.31 102221.5 6 102 0.0024.210.85 10vn avn avn a 11111010121111.552.