高等数学高斯公式经典实用

1、1物理意义物理意义-与与散度散度小结小结 思考题思考题 作业作业 flux divergence第六节第六节 高斯高斯 (gauss)与与散度散度 高斯高斯 gauss,k.f. (17771855) 德国数学家、物理学家、天文学家德国数学家、物理学家、天文学家2 格林公式格林公式把平面上的把平面上的闭曲线积分闭曲线积分与与本节的本节的高斯公式高斯公式表达了空间闭曲面表达了空间闭曲面上的上的曲面积分曲面积分与曲面所围空间区域上的与曲面所围空间区域上的它有明确的物理背景它有明确的物理背景三重积分三重积分的关系的关系.所围区域的所围区域的二重积分二重积分联系联系起来起来. 通量与散度通量与散度.

2、.高斯高斯(gauss)公式公式 通量与散度通量与散度3一、高一、高 斯斯 公公 式式vzryqxpd)( ,围成围成由分片光滑的闭曲面由分片光滑的闭曲面设空间闭区域设空间闭区域 上上在在、函函数数 ),(),(),(zyxrzyxqzyxpsrqpd)coscoscos( yxrxzqzypdddddd高斯公式称为奥高公式高斯公式称为奥高公式,或奥斯特洛格拉斯基或奥斯特洛格拉斯基公式公式.(俄俄)1801 1861具有具有则有公式则有公式一阶连续偏导数一阶连续偏导数, ,或或 高斯公式高斯公式的的整整个个边边界界曲曲面面的的是是这这里里 ,cos,cos .),(cos处处的的法法向向量量的

3、的方方向向余余弦弦上上点点是是zyx 外侧外侧, ,高斯高斯(gauss)公式公式 通量与散度通量与散度4 证明思路证明思路vzryqxpd)( yxrxzqzypdddddd 分别证明以下三式分别证明以下三式,从而完成定理证明从而完成定理证明. yxzyxrvzrdd),(d zyzyxpvxpdd),(d xzzyxqvyqdd),(d只证其中第三式只证其中第三式,其它两式可完全类似地证明其它两式可完全类似地证明.高斯高斯(gauss)公式公式 通量与散度通量与散度5xyzoxyzo证证),(:22yxzz :3 xydyxyxzzyxz ),(),(),(:21 设空间区域设空间区域母线

4、平行于母线平行于z轴的柱面轴的柱面.),(:11yxzz vzryqxpd)( yxrxzqzypdddddd即边界面即边界面321, 由由三部分组成三部分组成:xydxoy面上的投影域为面上的投影域为在在xyd(取下侧取下侧)(取上侧取上侧)(取外侧取外侧)nn柱柱面面 坐坐标标轴轴的的边边界界曲曲面面与与任任一一平平行行假假设设域域 .的的直直线线至至多多相相交交于于两两点点高斯高斯(gauss)公式公式 通量与散度通量与散度n6xyzo xydnnn由由三重积分三重积分的计算法的计算法 xydyxyxzyxryxzyxrdd),(,),(,12 vzrd ),(),(21dyxzyxzz

5、zr yxxyddd yxzyxrxydyxzyxzdd),(),(),(21 yxzyxrvzrdd),(d投影法投影法( (先一后二法先一后二法) )高斯高斯(gauss)公式公式 通量与散度通量与散度7xyzoxydnnn 由由曲面积分曲面积分的计算法的计算法 yxzyxrdd),( 1 取取下下侧侧,2 取取上上侧侧,3 取取外外侧侧 xydyxyxzyxrdd),(,1 yxzyxrdd),( yxzyxrdd),( xydyxyxzyxrdd),(,2 01 2 3 ),(:22yxzz ),(:11yxzz yxzyxrvzrdd),(dyxzyxrdd),(321 yxzyxr

6、dd),( 一投一投,二代二代,三定号三定号高斯高斯(gauss)公式公式 通量与散度通量与散度8 xydyxyxzyxryxzyxrdd),(,),(,12 yxzyxrdd),( yxzyxrvzrdd),(d于是于是 xydyxyxzyxryxzyxrdd),(,),(,12 vzrd高斯高斯(gauss)公式公式 通量与散度通量与散度9 zyzyxpvxpdd),(d同理同理 xzzyxqvyqdd),(d vzryqxpd)( 合并以上三式得合并以上三式得自己证自己证 yxzyxrvzrdd),(d高斯公式高斯公式 yxrxzqzypdddddd高斯高斯(gauss)公式公式 通量与

7、散度通量与散度10高斯高斯(gauss)公式公式 通量与散度通量与散度若区域若区域的边界曲面的边界曲面 与任一平行于坐标轴与任一平行于坐标轴的直线的交点多于两点时的直线的交点多于两点时,可以引进几张辅助的可以引进几张辅助的曲面把曲面把分为有限个闭区域分为有限个闭区域,使得每个闭区域满使得每个闭区域满足假设条件足假设条件,并注意到沿辅助曲面相反两侧的两并注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分的绝对值相等而符号相反个曲面积分的绝对值相等而符号相反,相加时正相加时正好抵消好抵消.因此因此,高斯公式对这样的闭区域仍是正高斯公式对这样的闭区域仍是正确的确的.11vzryqxpd)( 由两类曲面积分之间的

8、关系知由两类曲面积分之间的关系知 srqpd)coscoscos(高斯公式为计算高斯公式为计算(闭闭)曲面积分提供了曲面积分提供了它能简化曲面积分的计算它能简化曲面积分的计算.一个新途径一个新途径,表达了空间闭区域上的三重积分与其表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系边界曲面上的曲面积分之间的关系.高斯高斯(gauss)公式公式 通量与散度通量与散度高斯高斯gauss公式的实质公式的实质12xyzo解解 333,zryqxp zyxzyxiddd)(3222 dddsin322rrr,32xxp rrrdsindd320004 球球 例例 ,dddddd333yxzxz

9、yzyxi计算计算的的为为球球面面2222rzyx ,32yyq 23zzr 5512r 外侧外侧. . yxrxzqzypddddddvzryqxpd)( 因因是闭曲面是闭曲面,可可利用利用高斯公式高斯公式计算计算.高斯高斯(gauss)公式公式 通量与散度通量与散度13使用使用guass公式时易出的差错公式时易出的差错: :(1) 搞不清搞不清是对什么变量求偏导是对什么变量求偏导;rqp,(2) 不满足高斯公式的条件不满足高斯公式的条件, 用公式计算用公式计算;(3) 忽略了忽略了 的取向的取向,注意是注意是取闭曲面的取闭曲面的外侧外侧. . vzryqxpd)( 高斯公式高斯公式 yxr

10、xzqzypdddddd高斯高斯(gauss)公式公式 通量与散度通量与散度14有时可作有时可作辅助面辅助面,(将辅助面上的积分减去将辅助面上的积分减去).化为闭曲面的曲面积分化为闭曲面的曲面积分, 然后利用然后利用高斯公式高斯公式.对有的对有的 非闭曲面非闭曲面的曲面积分的曲面积分,高斯高斯(gauss)公式公式 通量与散度通量与散度15 coscoscos、,d)coscoscos(222szyx )0(0222 hhzzzyx及及介于平面介于平面锥面锥面例例 计算曲面积分计算曲面积分之间之间下侧下侧. .的法向量的方向余弦的法向量的方向余弦.处处在在是是),(zyx 为为其中其中 高斯高

11、斯(gauss)公式公式 通量与散度通量与散度部分的部分的解解 空间曲面空间曲面在在xoy面上的面上的,xyd曲面曲面 不是不是 为利用高斯公式为利用高斯公式.投影域为投影域为xyzonxyd h)(,:2221hyxhz ,1取取上上侧侧 1 .1 围围成成空空间间区区域域 上上在在 补补构成构成封闭曲面封闭曲面, ,使用使用高斯公式高斯公式.封闭曲面封闭曲面, 1 n16)ddd(2 vzvyvx vzyxd)(2由对称性由对称性szyxd)coscoscos(2221 0 ,),( 222hzzyxzyx zdyxddzzzhd220 vzd2zzhd203 42h 0 0 srqpvz

12、ryqxpd)coscoscos(d)(zzhd20 高斯高斯(gauss)公式公式 通量与散度通量与散度1 n nxyzohxyd先二后一法先二后一法17 1d)coscoscos(222 szyx xydyxhdd24h 故所求积分为故所求积分为 szyxd)coscoscos(222.214h 1cos, 0cos, 0cos 1d2 sz)( ,:2221hyxhz 11 4421hh 高斯高斯(gauss)公式公式 通量与散度通量与散度1 n nxyzohxyd4211h yxyxsdddd001d 18利用利用高斯公式高斯公式计算三重积分计算三重积分vzxyzxyid)( 提示提示

13、zryqxp ,由于由于, 0 qp则则zxyzxyzr 222121xzyzxyzr ,的的边边界界面面 取取以及以及是由平面是由平面其中其中1, 0, 0, 0 zzyx .122围在第一挂限内的立体围在第一挂限内的立体圆柱面圆柱面 yx高斯高斯(gauss)公式公式 通量与散度通量与散度考虑到考虑到选取相当自由，选取相当自由，19vzxyzxyid)( 由高斯公式由高斯公式 外外 yxzyxxyzdd)(212)(外外的的侧侧面面由由 ),(0:1下下底底面面 z 故故 10220d)cos(sin21cossind .2411 )(轴轴的的柱柱面面母母线线平平行行于于z,)( 1:2构

14、成构成上上和上面和上面 z1 )(21yx 21 yxdd i极坐标极坐标, 0 qp222121xzyzxyzr xydxy高斯高斯(gauss)公式公式 通量与散度通量与散度20 被积函数中有抽象函数被积函数中有抽象函数,故无法直接计算故无法直接计算. 如直接计算如直接计算分析分析 用用高斯公式高斯公式.例例,dd1dd1dd333yxzzyfyxzyzyfzzyxi 是锥面是锥面22zyx 4222 zyx所围立体的表面所围立体的表面1222 zyx计算设计算设f(u)是有连续的导数是有连续的导数,计算计算和球面和球面及及外侧外侧. .高斯高斯(gauss)公式公式 通量与散度通量与散度

15、xyzo21解解 由于由于,3xp ,32xxp ,3122yzyfzyq 2231zzyfzzr 故由故由高斯公式高斯公式vzyxid)(3222 dddsin34rrrr d214 ).22(593 40dsin = 20d3 球球,13yzyfzq ,13zzyfyr 高斯高斯(gauss)公式公式 通量与散度通量与散度xyzo22xyzo解解( (如图如图) )221xzy yxyzxzyzyxyidd4dd)1(2dd)18(2 )31(01 yxyz是是曲曲线线其其中中 .2 恒恒大大于于计算曲面积分计算曲面积分绕绕y轴旋转曲面方程为轴旋转曲面方程为一周所成的曲面一周所成的曲面,

16、它的法向量与它的法向量与y轴正向的夹角轴正向的夹角 01xyz绕绕y轴旋转轴旋转高斯高斯(gauss)公式公式 通量与散度通量与散度n23xyzozyxzryqxpddd1 zyxyyyddd)4418(yxyzxzyzyxyidd4dd)1(2dd)18(2 欲欲求求 vd:1 补补取右侧取右侧. 11 i221xzy 有有nn, 3 y 高斯公式高斯公式 3120202ddd y xzdxzyzx3122ddd222)2(: zxdzx柱坐标柱坐标高斯高斯(gauss)公式公式 通量与散度通量与散度 203d)2(2 .2 24 32 )32(2 34yxyzxzyzyxyidd4dd)1

17、(2dd)18(12 求求, 3:1 y 补补取右侧取右侧 1 zxdxzdd162)2(16 2 222)2(: zxdzx00zxdxzdd)1( 23故故高斯高斯(gauss)公式公式 通量与散度通量与散度 21 11 i251. 通量通量为向量场为向量场 设有一向量场设有一向量场kzyxrjzyxqizyxpa),(),(),( 则称沿场中则称沿场中有向曲面有向曲面某一侧的曲面积分某一侧的曲面积分:通量通量. . flux divergence穿过曲面穿过曲面这一侧的这一侧的),(zyxa高斯高斯(gauss)公式公式 通量与散度通量与散度二、物理意义二、物理意义 通量通量与与散度散度

18、上式即为通量的计算公式上式即为通量的计算公式 yxrxzqzypdddddd 262. .散度散度设有向量场设有向量场),(zyxa为场中任一点为场中任一点,),(zyxp在在p点的某邻域内作一包含点的某邻域内作一包含p点在其内的闭曲面点在其内的闭曲面,它所围成的小区域及其体积记为它所围成的小区域及其体积记为,v 以以表示表示从从内穿出的通量内穿出的通量,若当若当, 0v v 即即缩成缩成p点时点时, 极限极限 vv 0lim0limvpdydzqdzdxrdxdyv 高斯高斯(gauss)公式公式 通量与散度通量与散度记为记为,div a散度散度. .存在存在,则该极限值就称为向量场则该极限

19、值就称为向量场在在p点处的点处的a即即 adiv0limvpdydzqdzdxrdxdyv 27散度的计算公式散度的计算公式kzyxrjzyxqizyxpa),(),(),( 设设rqp,均可导均可导,),(zyxa在在则则点处的散度为点处的散度为zryqxpa div vzryqxpd)( 高斯公式高斯公式 yxrxzqzypddddddadiv.的的边边界界曲曲面面是是空空间间闭闭区区域域其其中中 散度：散度：单位时间单位体积内所产生的流体质量的平单位时间单位体积内所产生的流体质量的平均值。均值。28例例 向量场向量场kzxjyeixyaz)1ln(22 ).(div)0 , 1 , 1( ap的散度的散度在点在点解解,),(2xyzyxp ,),(zyezyxq )1ln(),(2zxzyxr pxp pyq pzr adiv2)( pzryqxp, 12 py2, 1 pze0122 pzxzzryqxpa div高斯高斯(gauss)公式公式 通量与散度通量与散度29设函数设函数,ln222zyxu ).()grad(div u则则2221zyx 解解222lnzyxu )ln(21222zyx 先求梯度先求梯度.gradu222zyxxxu 222zyxyyu 222zyxzzu 222222222gradz