数字电子技术基础公式化简法经典实用

1、数字电子技术基础（公式化简法）0数字电子技术基础数字电子技术基础阎石主编（第五版）阎石主编（第五版）数字电子技术基础（公式化简法）1标准与或式和标准或与式之间的关系标准与或式和标准或与式之间的关系【 】内容内容回顾回顾 ，若若imy ikkikkmmy则则 如果已知逻辑函数如果已知逻辑函数y=mi时，定能将时，定能将y化成编号化成编号i以外的那些最大项的乘积。以外的那些最大项的乘积。数字电子技术基础（公式化简法）2逻辑函数的最简形式逻辑函数的最简形式【 】内容内容回顾回顾常见逻辑函数的几种形式常见逻辑函数的几种形式与或式、与非与或式、与非- -与非式、与或非式、与非式、与或非式、或非或非- -

2、或非式或非式与或式与或式两次取反两次取反与非与非- -与非式与非式展开展开与或非式与或非式摩根定理摩根定理或非或非- -或非式或非式摩根定理摩根定理展开展开摩根定理展开摩根定理展开2.6 2.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法数字电子技术基础（公式化简法）31. 1. 并项法并项法 利用公式利用公式 将两项合并成一项，将两项合并成一项，并消去互补因子。并消去互补因子。abaab 2.6.1 2.6.1 公式化简法公式化简法【 】内容内容回顾回顾2. 2. 吸收法吸收法 利用公式利用公式a+ab=a消去多余的乘积项。消去多余的乘积项。 数字电子技术基础（公式化简法）43. 3. 消项法消项

3、法【例【例1】)( cbbaacycbbaac dcacba 【例【例2】caabbccaab 利用公式利用公式 消消去去多余的乘积项。多余的乘积项。cbac adedcacba dcadeacbay 数字电子技术基础（公式化简法）54. 4. 消因子法消因子法【例【例1】abcby acb ba 【例【例2】babaa 利用公式利用公式 消去消去多余的因多余的因子。子。baba babbay 数字电子技术基础（公式化简法）6cbcaaby cbaab)( cabab)( cab 【例【例3】数字电子技术基础（公式化简法）75. 5. 配项法配项法【例【例1】abcbcacbay abcbca

4、bcacba cbacababccba 【例【例2】)()(aabcccba cbaccabcba )(cbaabcbay 利用公式利用公式 和和 先配项先配项或添加多余项，然后再逐步化简。或添加多余项，然后再逐步化简。aaa 1 aabcba cbac 数字电子技术基础（公式化简法）8abccabcbaf 反变量吸收反变量吸收提出提出ab=1提出提出a【例【例1】)(ccabcba abcba )(bcba abacbca)(综合例题：综合例题：数字电子技术基础（公式化简法）9)()( cbbcbaabf)(cbbcbaab ）（反演反演cbaabcccbaab )()(配项配项cbbcaa

5、bccbacbaab 被吸收被吸收被吸收被吸收cbbbcaab )(cbcaab 【例【例2】数字电子技术基础（公式化简法）10【 练习题】化简成最简与或式。练习题】化简成最简与或式。babbay . 1cbacbay . 2)()(. 3cbacbacbay cddacabccay . 4ba 1 cba cda 只有一个变量不同的只有一个变量不同的两个最大项的乘积等两个最大项的乘积等于各相同变量之和于各相同变量之和(a+c)看作整体运用还原看作整体运用还原律和德摩根定律律和德摩根定律整体提公因子整体提公因子a数字电子技术基础（公式化简法）11babbay . 1cbacbay . 2消因子

6、法消因子法baba 看作整体运用还原看作整体运用还原律和德摩根定律律和德摩根定律)( cbacba)( cbacba1ba解解:数字电子技术基础（公式化简法）12)()(. 3cbacbacbay cddacabccay . 4解解:只有一个变量不同的只有一个变量不同的两个最大项的乘积等两个最大项的乘积等于各相同变量之和于各相同变量之和(a+c)(cacba cbcbaa cba 整体提公因子整体提公因子a)(cddcbcccda cdacddcbcca )(数字电子技术基础（公式化简法）13cddacabccay . 4)(ddacabcca )(dacabcca cdacabcca cdc

7、bcca )(cda另解另解:数字电子技术基础（公式化简法）14 公式化简法评价：特点：目前尚无一套完整的方法，能否以最快的速度进行化简，与我们的经验和对公式掌握及运用的熟练程度有关。优点：变量个数不受限制。缺点：结果是否最简有时不易判断。数字电子技术基础（公式化简法）15 公式化简法评价：公式化简法评价：优点：变量个数不受限制。优点：变量个数不受限制。缺点：公式法简化逻辑函数不直观，且要熟练掌缺点：公式法简化逻辑函数不直观，且要熟练掌握逻辑代数的公式以及简化技巧握逻辑代数的公式以及简化技巧,目前尚无一套完整目前尚无一套完整的方法，结果是否最简有时不易判断。的方法，结果是否最简有时不易判断。利

8、用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺点。点。卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一种方法。种方法。卡诺图的基本组成单元是最小项。卡诺图的基本组成单元是最小项。2.6.2 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法数字电子技术基础（公式化简法）16一一.卡诺图卡诺图1. 定义：定义：将逻辑函数的真值表图形化，把真值表中将逻辑函数的真值表图

9、形化，把真值表中的变量分成两组分别排列在行和列的方格中，就构成的变量分成两组分别排列在行和列的方格中，就构成二维图表，即为卡诺图，它是由卡诺（二维图表，即为卡诺图，它是由卡诺（karnaugh）和范奇（和范奇（veich）提出的。）提出的。2. 卡诺图的构成：卡诺图的构成：将最小项按相邻性排列成矩阵，就将最小项按相邻性排列成矩阵，就构成卡诺图。实质是将构成卡诺图。实质是将逻辑函数的最小项之和逻辑函数的最小项之和以图形以图形的方式表示出来。最小项的的方式表示出来。最小项的相邻性相邻性就是它们中变量就是它们中变量只有一个是不同的。只有一个是不同的。数字电子技术基础（公式化简法）17卡诺图的构成原则

10、卡诺图的构成原则 构成卡诺图的原则是：构成卡诺图的原则是： n n变量的卡诺图有变量的卡诺图有2 2n n个小方块（最小项）；个小方块（最小项）； 最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。 逻辑相邻：两个最小项逻辑相邻：两个最小项, ,只有一个变量的只有一个变量的形式不同形式不同, ,其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合并。并。几何相邻的含义：几何相邻的含义：一是相邻一是相邻紧挨的；紧挨的；二是相对二是相对任一行或一列的两头；任一行或一列的两头；三是相重三是相重对折起来后位置相重。对折起来后位置相重。在五变量和六变量的

11、卡诺图中，用相重来判断某些最小项的几何相邻性，其优点是十分突出的。数字电子技术基础（公式化简法）18二变量的卡诺图二变量的卡诺图a ab bm mi0 00 00 01 10 01 11 11 1)(0mba)(1mba)(2mba)(3mab二变量二变量十进十进制数制数0 01 12 23 3a ab b0m0 00 01 11 11m2m3m 二变量的卡诺图二变量的卡诺图数字电子技术基础（公式化简法）19三变量的卡诺图三变量的卡诺图a ab bm mi0 00 00 01 10 01 11 11 1)(0mcba)(1mcba)(2mcba)(3mbca三变量三变量c c0 00 00 0

12、0 01 10 00 01 10 01 11 11 10 01 11 11 1)(4mcba)(5mcba)(6mcab)(7mabc十进十进制数制数0 01 12 23 34 45 56 67 7a abcbc00000101111110100 01 12m3m1m0m4m5m7m6m 三变量的卡诺图三变量的卡诺图数字电子技术基础（公式化简法）200001111001abc三变量三变量abc的卡诺图：的卡诺图：cba cba m1m0bca cba cba cba abccab m2m3m4m5m6m7000111100001abcdm1m0m2m3m4m5m6m7m13m12m14m15m

13、8m9m10m111110四变量四变量abcd的卡诺图：的卡诺图：相邻相邻不相邻相邻相邻正确认识卡诺图的正确认识卡诺图的“逻辑相邻逻辑相邻”：是指除了一个变量不同外：是指除了一个变量不同外 其余变量都相同的两个与项。其余变量都相同的两个与项。上下相邻，左右相邻，并呈现上下相邻，左右相邻，并呈现“循环相邻循环相邻”的特性，的特性，它类似于一个封闭的球面，如同展开了的世界地图一样。它类似于一个封闭的球面，如同展开了的世界地图一样。对角线上不相邻。对角线上不相邻。数字电子技术基础（公式化简法）21n五变量的卡诺图五变量的卡诺图数字电子技术基础（公式化简法）22 卡诺图中任何几何位置相邻的两个最小卡诺

14、图中任何几何位置相邻的两个最小项，在逻辑上都是相邻的。项，在逻辑上都是相邻的。 n变量的卡诺图有变量的卡诺图有2n个方格，对应表示个方格，对应表示2n个最小项。每当变量数增加一个，卡诺图的个最小项。每当变量数增加一个，卡诺图的方格数就扩大一倍。方格数就扩大一倍。 5变量卡诺图相邻项不直观，因此它只适变量卡诺图相邻项不直观，因此它只适于表示于表示5变量以下的逻辑函数。变量以下的逻辑函数。数字电子技术基础（公式化简法）23 （1 1）从真值表画卡诺图）从真值表画卡诺图根据变量个数画出卡诺图，再按真值表填写每一个小方根据变量个数画出卡诺图，再按真值表填写每一个小方块的值（块的值（0 0或或1 1）即

15、可。需注意二者顺序不同。）即可。需注意二者顺序不同。例例1 1： 已知已知y y的真值表，要求画的真值表，要求画y y的卡诺图。的卡诺图。逻辑函数y的真值表 a b cy0 0 000 0 110 1 010 1 101 0 011 0 101 1 001 1 11卡诺图 二、二、 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数数字电子技术基础（公式化简法）24 （2 2）化为标准与或型）化为标准与或型例例2:2:画出函数画出函数y(ay(a、b b、c c、d)= m(0,3,5,7,9,12,15)d)= m(0,3,5,7,9,12,15)的卡诺图。的卡诺图。 卡诺图 imy把标准与或表达式中

16、所有的最小项在对应的把标准与或表达式中所有的最小项在对应的小方块中填入小方块中填入1，其余的小方块中填入，其余的小方块中填入0。 数字电子技术基础（公式化简法）25逻辑函数逻辑函数最小项和的形式最小项和的形式卡诺图卡诺图【例【例3】cbaacabcbay ),(0001111001abcm1m0m2m3m4m5m6m7cbacbbaccabcbay )()(),(cbacbacababc 1567mmmm 11110000数字电子技术基础（公式化简法）26例例4 画出下面逻辑函数的卡诺图画出下面逻辑函数的卡诺图dbadbbday解：解：)10, 9 , 7 , 5 , 3 , 2 , 1 ,

17、0() ( ) ( ) () (130291057mmmmmmmmmdcbacdbadcbacdbadcabcdabdbcabcdadccbadccbaadccbadbadbbday数字电子技术基础（公式化简法）27卡诺图如表卡诺图如表)10, 9 , 7 , 5 , 3 , 2 , 1 , 0(myababcdcd00000101111110101010y的卡诺图的卡诺图0000111101011 11 11 11 11 11 11 11 1数字电子技术基础（公式化简法）28ababcdcd00000101111110101010y y的卡诺图的卡诺图000011110101(3)(3)观察

18、法观察法 采用观察法不需要前两种方法需要将逻辑函数采用观察法不需要前两种方法需要将逻辑函数转换成最小项，而是采用观察逻辑函数，将应为转换成最小项，而是采用观察逻辑函数，将应为“1”的项填到卡诺图中的项填到卡诺图中例例5 用卡诺图表示下面的用卡诺图表示下面的逻辑函数逻辑函数解：其卡诺图如右表所示解：其卡诺图如右表所示abacdbdadcbayaa 11111111数字电子技术基础（公式化简法）29观察法观察法：首先分别将每个与项的原变量用首先分别将每个与项的原变量用1 1表示，表示，反变量对应的变量用反变量对应的变量用0 0表示，在卡诺图上找出交叉点，表示，在卡诺图上找出交叉点，在其方格上填上在

19、其方格上填上1;1;其没有交叉点的方格上填上其没有交叉点的方格上填上0 0。11111001abc0001111001cbcbcacay 1x00x1x01x10数字电子技术基础（公式化简法）301 111ab11最后将剩下的填0，画卡诺图，画卡诺图：已知：已知例例bcdadcaaby 610111 bcda1+1101 dca数字电子技术基础（公式化简法）31练习：画出下列函数的卡诺图练习：画出下列函数的卡诺图bcdbbay1)15,11, 9 , 8 , 7 , 6 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0(),(2mdcbayabcdcbay3数字电子技术基础（公式化简法）32bcdbba

20、y110xx111111111111110000数字电子技术基础（公式化简法）33)15,11, 9 , 8 , 7 , 6 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0(),(2mdcbay1110101100101111数字电子技术基础（公式化简法）34abcdcbay31111111111101111数字电子技术基础（公式化简法）35必须注意必须注意: 在卡诺图中最大项的编号与最小项编在卡诺图中最大项的编号与最小项编号是一致的，但对应的取值是相反的。号是一致的，但对应的取值是相反的。0001111001abccbacbam1m0bcacbacbacbaabccabm2m3m4m5m6m7m0m

21、1m3m2m4m5m7m6cbam 0cbam 1如何根据最大项的表达式填写卡诺图如何根据最大项的表达式填写卡诺图? ?数字电子技术基础（公式化简法）36因为使函数值为因为使函数值为0 0的那些最小项的下标与构成函数的的那些最小项的下标与构成函数的最大项表达式中那些最大项下标相同，所以按这些最大项表达式中那些最大项下标相同，所以按这些最大项的下标在卡诺图相应的方格中填上最大项的下标在卡诺图相应的方格中填上0 0，其余方，其余方格上填上格上填上1 1即可。即可。如何根据最大项的表达式填写卡诺图如何根据最大项的表达式填写卡诺图? ?也就是说，任何一个逻辑函数即等于其卡诺图上也就是说，任何一个逻辑函

22、数即等于其卡诺图上填填1的那些最小项之和的那些最小项之和,也等于其卡诺图上填也等于其卡诺图上填0的的那些最大项之积。那些最大项之积。数字电子技术基础（公式化简法）37)()(cbacbacbay )6 , 2 , 0(m【例】【例】 00 01 11 1001abc00011111)7 , 5 , 4 , 3 , 1 (m )6 , 2 , 0(my )6 , 2 , 0() )6 , 2 , 0()(mmyy数字电子技术基础（公式化简法）38三三 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数依据：具有相邻性的最小项可以合依据：具有相邻性的最小项可以合 并，消去不同的因子。并，消去不同的因子。 在

23、卡诺图中，凡是几何位置相邻在卡诺图中，凡是几何位置相邻的最小项均可以合并。的最小项均可以合并。 1、合并最小项的规则、合并最小项的规则数字电子技术基础（公式化简法）39abc00011110010010001 11abcbca bcbcaabc 数字电子技术基础（公式化简法）40abc00011110011 0 1 1 0 0 1 1 1 ab?两个最小项相邻且组成矩形框，可以两个最小项相邻且组成矩形框，可以合并成一项，消去一个不同的因子。合并成一项，消去一个不同的因子。卡诺圈卡诺圈ca 数字电子技术基础（公式化简法）41两个最小项合并 m3m11bcd数字电子技术基础（公式化简法）42abc

24、d0001 11 1000011 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1110abdadca dba addbaabd 数字电子技术基础（公式化简法）430 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 abcd0001 11 1000011110不是矩形不是矩形四个最小项相邻且组成矩形框，可以四个最小项相邻且组成矩形框，可以合并成一项，消去两个不同的因子。合并成一项，消去两个不同的因子。数字电子技术基础（公式化简法）44四个最小项合并 数字电子技术基础（公式化简法）451 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0

25、 0 1 1 1 1 0 abcd0001 11 1000011110？思考：思考：八个最小项相邻且组成矩形八个最小项相邻且组成矩形框，情况怎样？框，情况怎样？八个最小项相邻且组成矩形框，可以八个最小项相邻且组成矩形框，可以合并成一项，消去三个不同的因子。合并成一项，消去三个不同的因子。ca ca c 数字电子技术基础（公式化简法）46八个最小项合并数字电子技术基础（公式化简法）47二、卡诺图化简的步骤二、卡诺图化简的步骤 将函数化成最小项和的形式；将函数化成最小项和的形式；2. 填卡诺图；填卡诺图；3. 合并最小项；合并最小项；4. 将各乘积项相加，即得到最简与或式。将各乘积项相加，即得到最

26、简与或式。数字电子技术基础（公式化简法）48（1）圈成的矩形框越大越好；）圈成的矩形框越大越好；（3）每个矩形框至少包含一个新的最小项；）每个矩形框至少包含一个新的最小项；（4）必须圈完所有最小项；）必须圈完所有最小项；（5）注意）注意“相接相接”“”“相对相对”都相邻；都相邻；（6）圈圈时先圈大圈，后圈小圈；）圈圈时先圈大圈，后圈小圈；（2）各最小项可以重复使用；）各最小项可以重复使用；（7）尽可能圈大圈，少圈圈；）尽可能圈大圈，少圈圈；（8）圈法不惟一，结果可能也不唯一。）圈法不惟一，结果可能也不唯一。合并最小项应注意合并最小项应注意为了便于记忆，用一句话概括：为了便于记忆，用一句话概括：

27、可以重画，不能漏画，圈数要少，圈面可以重画，不能漏画，圈数要少，圈面要大，每圈必须有一个新要大，每圈必须有一个新“1”格格数字电子技术基础（公式化简法）491000001 11abc0001111001【例【例 1】为最简与或式。为最简与或式。化简函数化简函数abccabbcay 第一步，第一步，将函数将函数化成最小项和的化成最小项和的形式形式。bcabbcaby 第二步，第二步，填卡诺填卡诺图图第三步，合并最第三步，合并最小项小项第四步，第四步，各乘积各乘积项相加项相加数字电子技术基础（公式化简法）5011111001abc0001111001【例【例 2】cbcbcacay cabcbac

28、bbaca )(注注意意：数字电子技术基础（公式化简法）5101111101abc0001111001【例【例 2】cbcbcacay ba cb ca cbbacay 数字电子技术基础（公式化简法）5210111101abc0001111001【例【例 2】cbcbcacay cbbacay bacbcay cb ba ca 圈法不惟一，结果可能也不唯一圈法不惟一，结果可能也不唯一数字电子技术基础（公式化简法）53【例【例 3】化简化简y(a,b,c,d)= (0,2,3,5,6,8,9,10,11, 12,13,14,15)abcd0001 11 1000011011010 0111 11

29、 11111 111110adc cb db dcb dcbdbcbdcay 数字电子技术基础（公式化简法）54【例【例 4】) )( dcadcabcaacy)()(dcadcabcaac dcbadcbacaac caacccaccaaacacacacacacaca )()()()()() )( dcadcabcaacy分分析析：数字电子技术基础（公式化简法）55【例【例 4】dbcaacy 1111111111abcd0001 11 1000011110) )( dcadcabcaacydcbadcbacaac 数字电子技术基础（公式化简法）56【例【例 5】)( cbacddacycb

30、cay abcd0001 11 1000011110cbacddacy 0000000011111111数字电子技术基础（公式化简法）570100111111111111abcd0001 11 1000011110 )15,14,13,12,11,10, 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 1(my【例【例 6】求】求 的最小项的最小项表达式表达式dbcadcbay )3 , 2 , 0(my数字电子技术基础（公式化简法）58【例【例 7】根据卡诺图求最简与或式。】根据卡诺图求最简与或式。abcd0001 11 10000111111111100111111110dbay数字电子技

31、术基础（公式化简法）59【例【例 7】根据卡诺图求最简与或式。】根据卡诺图求最简与或式。(另解另解)abcd0001 11 10000111111111100111111110dbay (反函数的最简与或式反函数的最简与或式)(原函数的最简或与式原函数的最简或与式)(dcbadcbay dbaabdmmy 1513数字电子技术基础（公式化简法）60卡诺图中，当卡诺图中，当0的数量远远小于的数量远远小于1的数量时，的数量时，可采用合并可采用合并0的方法；的方法；利用卡诺图中的利用卡诺图中的0可求函数的最大项表达可求函数的最大项表达式；式；采用合并采用合并0的方法可直接写出反函数的最的方法可直接写

32、出反函数的最简与或式；简与或式；采用合并采用合并0的方法可求原函数最简或与式。的方法可求原函数最简或与式。数字电子技术基础（公式化简法）61任何一个逻辑函数既可以等于其卡诺图上填任何一个逻辑函数既可以等于其卡诺图上填1的那些最小项的那些最小项之和，也可以等于其卡诺图上之和，也可以等于其卡诺图上填填0的那些最大项之积的那些最大项之积， 因此，因此，如果要求出某函数的最简或与式，可以在该函数的卡诺图上如果要求出某函数的最简或与式，可以在该函数的卡诺图上合并那些填合并那些填0的相邻项。这种方法简称为的相邻项。这种方法简称为圈圈0合并合并，其化简步，其化简步骤及化简原则与圈骤及化简原则与圈1合并类同，

33、只要按圈逐一写出或项，然合并类同，只要按圈逐一写出或项，然后将所得的或项相与即可。后将所得的或项相与即可。但需注意，或项的变量取值为但需注意，或项的变量取值为0时写原变量，时写原变量， 取值为取值为1时写反变量。时写反变量。 【例【例 8】 求函数求函数 y 的最简或与式。的最简或与式。 )15,14,13,12, 9 , 7 , 6 , 5 , 4 , 1(my数字电子技术基础（公式化简法）62 )15,14,13,12, 9 , 7 , 6 , 5 , 4 , 1(my)()()()( dbcbdbcbyy0cdab0001111011001111011110000011110dbcb b

34、db+d y)(dbcb)(dbcby cb cb 数字电子技术基础（公式化简法）63（1）圈成的矩形框越大越好；）圈成的矩形框越大越好；（3）每个矩形框至少包含一个新项；）每个矩形框至少包含一个新项；（4）必须圈完所有最大项；）必须圈完所有最大项；（5）注意）注意“相接相接”“”“相对相对”都相邻；都相邻；（6）圈圈时先圈大圈，后圈小圈；）圈圈时先圈大圈，后圈小圈；（2）各最大项可以重复使用；）各最大项可以重复使用；（7）尽可能圈大圈，少圈圈；）尽可能圈大圈，少圈圈；（8）圈法不惟一，结果可能也不唯一。）圈法不惟一，结果可能也不唯一。合并时应注意合并时应注意数字电子技术基础（公式化简法）64

35、【 练习题】用卡诺图化简成最简与或式。练习题】用卡诺图化简成最简与或式。ba da dcdab abccbacba 1 babbaydcba ),(. 1dcadcacbadcabdabcy . 2)14,11,10, 9 , 8 , 6 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0(. 3),(mydcba)7 , 4 , 1 (. 4),(mycbacacabcaydcba ),(. 5数字电子技术基础（公式化简法）650cdab0001111010001111111111100011110baybabbaydcba ),(.10cdab0001111010001111111111100011110bay0cdab0001111010001111111111100011110bay0cdab0001111010001111111111100011110bay0cdab00011110100011