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1、 2015年高考广东数学理科试题第20题解答 广东佛山市三水区三水中学 吴超 2015年高考广东数学理科试题第20题 过原点的动直线与圆:相交于不同的两点、（1）求圆的圆心坐标；（2）求线段的中点的轨迹的方程；（3）是否存在实数，使得直线：与曲线只有一个交点，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由 分析：（1）由方程，得，所以圆心的坐标为，半径； （2）解法一（“垂直”翻译“斜率”） 当不是时，连，因为是的中点，所以，设，由，得，即，当是时，也适合方程，又因为方程表示圆，圆与圆的公共弦所在的直线方程为，由于点只能在圆的内部，所以线段的中点的轨迹方程是（） 解法二（“垂直”翻译“勾股定理”）

2、 当不是时，连，因为是的中点，所以，设，由，得，即，当是时，也适合方程，所以线段的中点的轨迹方程是（） 解法三（“垂直”翻译“向量数量积”） 当不是时，连，因为是的中点，所以，设，由，得，即，当是时，也适合方程，所以线段的中点的轨迹方程是（） 解法四（利用平面几何知识确定点的轨迹名称） 由平面几何知识，知点在以为直径的圆上运动，因为的中点坐标为，所以以为直径的圆的方程为，从而线段的中点的轨迹方程是（） 解法五（“交轨法”）设，当不是时，设过原点的直线方程为 ，则的直线方程为 ， 得，即，当是时，也适合方程，所以线段的中点的轨迹方程是（） 解法六（“点差法”） 设、，则 由得 ， 由得 得， 即 将代入中，得，即，又因为，所以 将代入 得，即，所以线段的中点的轨迹方程是（） 解法七（一般意义上的参数法） 易知过原点的直线斜率存在，所以设直线方程为，、，由，得，因为直线与圆有两个不同的交点，所以，从而，又因为是的中点，所以 得，并将它代入，得，又因为，所以，即，所以线段的中点的轨迹方程是（）（3）设圆的圆心为，则，设点为，设直线与圆的切点分别为、，连、，则轴，设的横坐标为，在中，根据射影定理，得，即，解得，这说明切点、在轨迹上，又公共弦的端点、，直线的斜率为，直线

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