圆锥曲线的另类性质探究_第1页
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文档简介

1、圆锥曲线中发散思维的培养圆锥曲线有很多性质，如果在学习的过程中善于总结，灵活运用，对解析几何知识的掌握会有很大的帮助。下面通过一道试题对圆锥曲线的又一个性质做一番探讨，培养学生的发散思维，增加对圆锥曲线的了解。有这样一道试题：设a,b是双曲线的两个顶点,点p是双曲线上异于顶点的一个动点,直线pa,pb分别交直线x=1于m,n两点,则以mn为直径的圆过定点(a) (1,0) b (2,0) c (3,0) d (4,0)证明，设m(1,) n(1,), a(-,0) b(,0)则直线am的方程为 .(1)bn的方程为 (2)直线am,bn相交于点p(x.y) ,点p在双曲线上(1),(2)式相乘

2、得,将代入得又以mn为直径的圆为当y=0时，有 x=0或x=2以mn为直径的圆过定点(0,0), (2,0)这个问题中的直线恰是双曲线的准线，定点恰是焦点，于是我们联想到能否把这个问题推广到一般的双曲线呢？性质一，设 , 是双曲线 (a0,b0)的左右顶点，点p是双曲线上异于 ,的一个动点, p ,p分别交准线于m ,n两点，则以m n为直径的圆过定点c 和 d证明：设m (,ym) n (,yn) a1 (-a ，0) a2 (a ，0)直线a1m的方程为直线a2n的方程为两式相乘得 .(1)又两直线的交点p在双曲线上代入(1)式得又 圆心(,)以mn为直径的圆为当y=0 时 得=x= 或

3、x=圆过定点d(， 0) 和 c(， 0)其中点d(c ,0)即为双曲线的焦点由这个证明过程可以看出，当曲线改为椭圆时应该也有同样的结论。性质二，设a1 a2是椭圆的左右顶点，点p是椭圆上异于a1 a2的一个动点, 直线pa1 pa2分别交准线x=(c2=a2-b2)于m ,n两点，则以mn为直径的圆过定点c ( 0) 和 d( 0) 其中c就是椭圆的焦点。证明；略从这两类曲线的共同点可以看出，当直线为x=时 ,以mn为直径的圆过右焦点。当m ,n在左准线x=-时,以mn为直径的圆一定过左焦点。若曲线变为抛物线y2=2px时,只有一个顶点o(0 ,0)及一个焦点( ,0)，相应的m,n也有变化。性质三； 若p是抛物线y2=2px上异于点o(0 ,0)的一个动点,直线po与准线x=-相交于m，直线pn垂直于准线x=-并与准线相交于n，则以mn为直径的圆过定点f( ,0)及e(， 0)这个性质与抛物线的另一个性质相吻合。即抛物线y2=2px的焦点弦为pq， pn,qm与准线x=-分别相交于n,m，pn,qm都垂直于准线，则焦点f对mn的张角为直角且p,o,

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