幂函数图像与性质经典实用

1、幂函数图像与性质幂函数图像与性质问题引入问题引入(1) 如果张红购买了每千克如果张红购买了每千克1元的蔬菜元的蔬菜w千克千克,那么她需那么她需要支付要支付p= 元元(2) 如果正方形的边长为如果正方形的边长为a,那么正方形的面积那么正方形的面积 (3) 如果立方体的边长为如果立方体的边长为a,那么立方体的体积那么立方体的体积 (4)如果一个正方形场地的面积为如果一个正方形场地的面积为s,那么这个正方形的那么这个正方形的边长边长 (5)如果人如果人t s内骑车行进了内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均速那么他骑车的平均速度度 s我们先看几个具体问题我们先看几个具体问题: vxy 21xy 1

2、xyw2a3a a21sskmv/ 1 t2xy 3xy 幂函数图像与性质 一般地，函数 叫做幂函数(power function) ，其中x为自变量，为常数。xy 幂函数的定义：幂函数的定义：注意：注意：（1 1）幂函数的解析式必须是幂函数的解析式必须是 的形式，的形式， 前的系数必须是前的系数必须是1 1，没有其它项。，没有其它项。xy x（2 2）定义域与）定义域与 的值有关系的值有关系. .幂函数图像与性质 式子式子 名称名称常数常数 x y指数函数指数函数: y=a x（a0且且a1) 幂函数幂函数: y= x a为底数底数指数指数为指数指数底数底数幂值幂值幂值幂值判断一个函数是幂函

3、数还是指数函数切入点判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点看未知数看未知数x是是指数指数还是还是底数底数幂函数幂函数函数函数幂函数与指数函数的对比：幂函数与指数函数的对比：幂函数图像与性质xy2.0 xy521xy 1 xy（指数函数）（指数函数）（幂函数）（幂函数）（指数函数）（指数函数）（幂函数）（幂函数）快速反应快速反应xy 3（指数函数）（指数函数）5xy （幂函数）（幂函数）幂函数图像与性质幂函数的图象及性质幂函数的图象及性质 五个常用幂函数的图像和性质 (1) (2) (3) (4) (5)21xy 2xy 1 xy3xy xy 21幂函数图像与性质定义域：定义域：值值 域：域：奇

4、偶性：奇偶性：单调性：单调性：rr上是奇函数在r上是增函数在rxy 函数函数 的图像的图像幂函数图像与性质定义域：定义域：值值 域：域：奇偶性：奇偶性：单调性：单调性：r), 0 上是偶函数在r上是增函数在), 0 上是减函数在0 ,(函数函数 的图像的图像2xy 幂函数图像与性质定义域：定义域：值值 域：域：奇偶性：奇偶性：单调性：单调性：0 xx上是奇函数在0 xx上是减函数在), 0(上是减函数在)0 ,(0yy函数函数 的图像的图像1 xy幂函数图像与性质x-2-101234y=x3y=x1/2-8-10182723010 xy1234-1-2-32468-2-4-6-8y=x3/64

5、21x幂函数图像与性质定义域：定义域：值值 域：域：奇偶性：奇偶性：单调性：单调性：rr上是奇函数在r上是增函数在r函数函数 的图像的图像3xy 幂函数图像与性质定义域：定义域：值值 域：域：奇偶性：奇偶性：单调性：单调性：), 0 非奇非偶函数上是增函数在), 0 ), 0 函数函数 的图像的图像21xy 幂函数图像与性质21xy 幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常数数取值的不同而不同取值的不同而不同. .y= x3定义域定义域值值 域域单调性单调性公共点公共点y = xrrr0，+）r0，+）r0，+）奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数奇函数非

6、奇非偶非奇非偶函数函数奇函数奇函数在在r r上上是增函是增函数数在（在（,0上是减函上是减函数，在数，在(0, +）上是）上是增函数增函数在在r上上是增函是增函数数在在(0，+)上是增函数上是增函数在在( ,0)，(0, +）上是）上是减函数减函数（1，1）奇偶性奇偶性y = x21 xy0， （0，+ ）0， （0，+ ）幂函数图像与性质4321-1-2-3-4-22462y x3yx(1,1)(2,4)(-2,4)(-1,1)(-1,-1)12yx1 xy幂函数图像与性质4321-1-2-3-4-6-4-2246y= x-1y= x12y= x3y= x2y=x(4,2)(-2,4)(2,

7、4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)2、在第一象限内，、在第一象限内， 0,0,在在(0,+)(0,+)上为增函数上为增函数; ; 0,0,在在(0,+)(0,+)上为减函数上为减函数. .1 1、所有幂函数在、所有幂函数在(0(0，+)+)上都有定义，并且图象上都有定义，并且图象都通过点都通过点(1,1).(1,1).3 3、为奇数时为奇数时, ,幂函数为奇幂函数为奇函数函数, , 为偶数时为偶数时, ,幂函数为偶幂函数为偶函数函数. .幂函数图像与性质练习：利用单调性判断下列各值的大小。练习：利用单调性判断下列各值的大小。（1）5.20.8 与与 5.30.8 （2）0.20.3 与与

8、 0.30.3 (3) 2.5-25与 2.7-25解解:(1)y= x0.8在在(0,)内是增函数内是增函数, 5.25.3 5.20.8 5.30.8 (2)y=x0.3在在(0,)内是增函数内是增函数0.20.3 0.20.3 0.30.3(3)y=x-2/5在在(0,)内是减函数内是减函数2.52.7-2/5幂函数图像与性质则则且且任任取取证证明明,),0,:2121xxxx 2121)()(xxxfxf2121xxxx ,0,0,0212121 xxxxxx所所以以因因为为.),0)()()(21上上的的增增函函数数在在即即幂幂函函数数所所以以 xxfxfxf212121)(xxxxxx.), 0)(. 1上是增函数在证明幂函数例xxf例例2 2：幂函数图像与性质101a=1小结：小结： 幂函数的性质幂函数的性质: :.所有幂函数的图象都通过点所有幂函数的图象都通过点(1,1(1,1);幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常数随常数取值的不同而不同取值的不同而不同. .如果如果0,0,则幂函数则幂函数在在(0,+)(0,+)上为减函数。上为减函数。 0,0,则幂函数则幂函数 在在(0,+)(0,+)上为增函数上为增