微分方程欧拉方程经典实用

1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十节)(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(为常数kp,tex 令常系数线性微分方程xtln即 第十二章 欧拉方程的算子解法欧拉方程的算子解法: )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn,tex 令则xyddxttyddddtyx dd122ddxyxttyxtdd)dd1(ddtytyxdddd1222计算繁! tyyxddtytyyxdddd222 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,ln xt 则,ddtd 记则由上述计算可知: ydyxydydyx 22, ), 3, 2(ddktdkkkydd) 1(用归

2、纳法可证 ykdddyxkk) 1() 1()(于是欧拉方程 )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(11tnnnefybydbyd转化为常系数线性方程:)(dddd111tnnnnnefybtybty即机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. .ln2ln2222的通解求方程xxyyxyx 解解:,tex 令,ln xt 则,ddtd 记则原方程化为ttyydydd222) 1(2亦即ttytyty22dd3dd222其根,2, 121rr则对应的齐次方程的通解为特征方程, 0232 rrttydd2)23(22即 ttececy221机动 目录 上页 下页 返回

3、结束 的通解为41ln21ln212221xxxcxcy4121212221ttececytt换回原变量, 得原方程通解为设特解:ctbtay2代入确定系数, 得4121212tty机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.22的通解求方程xxyxyy 解解: 将方程化为xyyxyx22 (欧拉方程) ,ddtd 记则方程化为,tex 令teyddd2)1) 1(即teydd2) 12(2特征根:, 121 rr设特解:,2 tetay 代入 解得 a = 1,ttetetccy221)(xxxxcc221ln)ln(所求通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.满足设函数)(xy

4、y 1,ln5d)(321 xxttytyyxx,01xy且. )(xy求解解: 由题设得定解问题xyyxyx524 0) 1 (,0) 1 (yy,tex 令,ddtd 记则化为teyddd54) 1(teyd5)4(2特征根: ,2ir设特解: ,teay代入得 a1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 得通解为tetctcy2sin2cos21xxcxc1)ln2sin()ln2cos(21利用初始条件得21, 121cc故所求特解为xxxy1)ln2sin(21)ln2cos(机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 如何解下述微分方程提示提示:)()()(212xfypyaxpyax axu先令)(dddd21222aufypuyupuyu,teu 令原方程直接令 teax作业作业 p319 2 ; 6; 8 第11节 目录 上页 下页 返回 结束 tddd记)() 1(21aefypdpddttddd