数理方程课件：3_3积分变换法

1、13.3 3.3 积分变换法积分变换法3.3.1 3.3.1 积分变换及其性质积分变换及其性质若函数若函数)(xf),(dxexffFfix )()(.)()(deffFxfix 211.)()(dtetffLsFst 0在在上连续可导，且绝对可积，上连续可导，且绝对可积，则有则有傅里叶变换傅里叶变换及其及其傅里叶逆变换傅里叶逆变换若函数若函数)(tf), 0( 在在上不超过指数增长，则定义上不超过指数增长，则定义它的它的拉普拉斯变换及其逆变换拉普拉斯变换及其逆变换为为).()(sFLtf1 2积分变换有下述积分变换有下述基本性质基本性质：(1)(1)线性线性性质性质,gbFfaFbgafF,

2、gbLfaLbgafLba,(2)(2)微分性质微分性质ff,),()(xfFixfF),()()(2xfFixfF ),()()()(xfFixfFnn),0()()(ftfsLtfL),0()0()()(2fsftfLstfL ).0()0()0()()()1(21)(nnnnnffsfstfLstfL其中其中是任意常数。是任意常数。若若都可进行都可进行傅里叶变换傅里叶变换( (拉普拉斯变换拉普拉斯变换) )，且在且在无穷远处为无穷远处为0 0，gf ,dyyxgyfxgxf )()()()(,gFfFgfF. 1gfgfF(3)(3)卷积定理卷积定理如果如果的卷积的卷积可作可作傅里叶变换

3、傅里叶变换，则，则从而从而对于对于拉普拉斯变换拉普拉斯变换也有同样的卷积定义和定理。也有同样的卷积定义和定理。dtfftftft 02121)()()()()()(21tftf )()(sFsFL211 积分变换有下述积分变换有下述基本性质基本性质：(4)(4)延迟定理延迟定理0)()(0 xiefxxfF0)()()(00stesFttuttfL傅里叶变换傅里叶变换拉普拉斯变换拉普拉斯变换),()(xfFf),()(tfLsF若若则有则有000, 0, 1)(ttttttu0)()(0stesFttfL)(0tt 对变换的对变换的自变量自变量而言而言其中其中可简化为可简化为5证明拉普拉斯变换

4、的延迟定理证明拉普拉斯变换的延迟定理0)()()(00stesFttuttfL),()(tfLsF若若则有则有000, 0, 1)(ttttttu其中其中证明证明由拉氏变换的定义知由拉氏变换的定义知dtettuttfttuttfLst)()()()(00000dtettfstt0)(0,0ttydyeyftys)(00)(dyeyfesyst0)(00)(stesF令令则上式变为则上式变为左边左边= =右边右边6补充补充, 0, 0, 0,)(xxx1)(dxx0 x0 xx ),(0 xx , 0,)(000 xxxxxx1)(0dxxx函数的定义及性质函数的定义及性质( (一一) )函数的

5、定义：函数的定义：函数是从某些物理现象中抽象出来的数学函数是从某些物理现象中抽象出来的数学模型，模型， 例如：力学中瞬间作用的冲击力，原子弹例如：力学中瞬间作用的冲击力，原子弹、氢弹的爆炸等，、氢弹的爆炸等，这些物理现象有个共同特点，这些物理现象有个共同特点，即即作用时间极短作用时间极短，但，但作用强度极大作用强度极大。满足以下两个条件的函数满足以下两个条件的函数( (冲激函数冲激函数) )(1)(1)(2)(2)若冲激作用不是发生在若冲激作用不是发生在处，而是发生在处，而是发生在处，处，则函数记为则函数记为且满足且满足7( (二二) )函数的性质：函数的性质：补充补充函数的定义及性质函数的定

6、义及性质(1)(1) 筛选性质：筛选性质：(2)(2) 对称性对称性：)()()(00 xfdxxxxf)0()()(fdxxxf)(x)()(00 xxxx)()(xx特别的，特别的，为为偶函数偶函数，则有则有特别的，特别的，自然也有自然也有)()()(00 xfdxxxxf8例例1 1 求函数求函数)(ax a的的傅里叶变换傅里叶变换，其中，其中 是与是与iaeaxF )(自变量自变量x无关的数。无关的数。dxexffix)()(解解由定义知由定义知dxeaxix)(利用利用)()()(00 xfdxxxxf函数的性质函数的性质则有则有iaeaxF )(同理可得同理可得9iaeaxF )(

7、利用利用iaeaxF )(2)()(21iaiaeeaxaxF和傅里叶变换的和傅里叶变换的线性性线性性可得可得ieeaxaxiFiaia2)()(21从而有公式从而有公式)()(21cos1axaxaF)()(21sin1axaxiaFacosasin10例例2 2 求求mxmxxf|, 0|, 1)(. 0mdxexffix)()(的的傅里叶变换傅里叶变换，其中，其中解解由定义知由定义知dxemmixdxxixmm)sin(cosdxxm0cos2msin2mxmF|,21sin1| sincosiei由由例例2 2结论可得结论可得11例例3 3 求求yef|)(. 0y的的傅里叶逆变换傅里

8、叶逆变换，其中，其中解解由定义知由定义知defxfix)(21)()11(21ixyixy.122xyy)0(122|1yxyyeFy 由由例例3 3结论可得结论可得deeixy|21deyix0)(21deyix0)(2112例例4 4 求求tef2)(. 0tdeeixt221,)sin(cos212dxixet,cos102dxet)(xf. 0)(2)(xftxdxxdf.)0()(42txefxf的的傅里叶逆变换傅里叶逆变换，其中，其中解解由定义知由定义知对对求导，并利用一次分部积分得求导，并利用一次分部积分得defxfix)()(2113例例4 4 求求tef2)(. 0t.)0(

9、)(42txefxfdeft021)0(,202dxex,21)0(tf.21)(42txetxf的的傅里叶逆变换傅里叶逆变换，其中，其中解解利用利用欧拉欧拉(Euler)(Euler)积分公式积分公式知知)0( 214122teteFtxt由由例例4 4结论可得结论可得14书上例子中出现的书上例子中出现的傅里叶变换或逆变换傅里叶变换或逆变换)()(21cos1axaxaF)()(21sin1axaxiaFmxmF|,21sin1| )0(414122teteFtxt )0(122|1yxyyeFy 1.1.2.2.3.3.4.4.5.5.1 )(xF15几类常见的几类常见的拉普拉斯变换或逆变

10、换拉普拉斯变换或逆变换aseLat1sL1 1 1!nnsntL22sinasaatL22cosassatL1)(tL1.1.3.3.4.4.特别的，特别的，0Res2.2.)( )()(0010ttttfesFLst5.5.延迟定理的延迟定理的逆变换形式逆变换形式taysadyeesL212216.6.余误差函数余误差函数163.3.1 3.3.1 积分变换法举例积分变换法举例积分变换法的积分变换法的优点优点在于把原方程化为较简单在于把原方程化为较简单的形式，便于求解。的形式，便于求解。在应用上，对于在应用上，对于初值问题初值问题通常采用通常采用傅氏变换傅氏变换( (针对针对空间空间变量变量

11、) )，而对于而对于带有边界条件带有边界条件的定解的定解问题，则采用问题，则采用拉氏变换拉氏变换( (针对针对时间时间变量的变量的) )。例例1 1求解下列问题的解求解下列问题的解),0,(),(2txtxfuauxxt ).(|0 xutx),(),(tUtxuF(37)(37)(38)(38)解解).()(xF),(),(tGtxfF首先对首先对进行进行傅氏变换傅氏变换，记，记17例例1 1求解下列问题的解求解下列问题的解),0,(),(2txtxfuauxxt ).(|0 xutx),(),(tUtxuF(37)(37)(38)(38)解解).()(xF),(),(tGtxfF首先对首先

12、对进行傅氏变换，记进行傅氏变换，记x对方程对方程(37)(37)两端关于两端关于 取取傅氏变换傅氏变换，得，得),(),(),(22tGtUadttdU).(| ),(0ttU(39)(39)它满足它满足初值条件初值条件(40)(40)为了求解常微分方程初值问题为了求解常微分方程初值问题(39)(40)(39)(40)，记，记18例例1 1求解下列问题的解求解下列问题的解),0,(),(2txtxfuauxxt ).(|0 xut(37)(37)(38)(38)解解),(),(),(22tGtUadttdU).(| ),(0ttU),(),(sUtUL).,(),(sGtGL),(),()()

13、,(22sGsUasUs(39)(39)(40)(40)为了求解常微分方程初值问题为了求解常微分方程初值问题(39)(40)(39)(40)，记，记t对方程对方程(39)(39)两端关于两端关于 取取拉氏变换拉氏变换， 并结合条件并结合条件(40)(40)得得19例例1 1求解下列问题的解求解下列问题的解),0,(),(2txtxfuauxxt ).(|0 xut(37)(37)(38)(38),(),()(),(22sGsUasUst对方程对方程(39)(39)两端关于两端关于 取取拉氏变换拉氏变换， 并结合条件并结合条件(40)(40)得得),(1)(1),(2222sGasassU(41

14、)(41)对式对式(41)(41)两边取两边取拉氏逆变换拉氏逆变换，得，得),(11)(),(221221sGasLasLtU20例例1 1求解下列问题的解求解下列问题的解),0,(),(2txtxfuauxxt ).(|0 xut(37)(37)(38)(38),(11)(),(221221sGasLasLtU.),()()(02222deGetattatataetGe2222),()(),(tU对式对式(41)(41)两边取两边取拉氏逆变换拉氏逆变换，得，得(42)(42)为了求出问题为了求出问题(37)(38)(37)(38)的解，还需要对的解，还需要对取取傅氏逆变换傅氏逆变换。aseL

15、at121例例1 1求解下列问题的解求解下列问题的解),0,(),(2txtxfuauxxt ).(|0 xut(37)(37)(38)(38).),()(),()(02222deGetUtatta(42)(42)对对(42)(42)式两端取式两端取傅氏逆变换傅氏逆变换，得，得deGFeFtxuttata0)(112222),()(),(利用利用卷积定理卷积定理得得deFxfeFxtxuttata0)(11),()(),(222222例例1 1求解下列问题的解求解下列问题的解),0,(),(2txtxfuauxxt ).(|0 xut(37)(37)(38)(38)deFxfeFxtxutta

16、ta0)(11),()(),(2222)0( 214122teteFtxt利用结论利用结论可知可知.taxtaetaeF22224121则可得则可得detaxfetaxtxuttaxtax0)(442222)(21),(21)(),(23例例1 1求解下列问题的解求解下列问题的解),0,(),(2txtxfuauxxt ).(|0 xut(37)(37)(38)(38)则可得则可得detaxfetaxtxuttaxtax0)(442222)(21),(21)(),(detatax224)()(21.)(1),(210)(4)(22ddetfattax 即得原定解问题的解。即得原定解问题的解。2

17、4例例2 2试用傅氏变换求解下列问题的解试用傅氏变换求解下列问题的解),0,(2txuauxxtt ).()0 ,(),()0 ,(xxuxxut x),(),(tUtxuF(43)(43)解解),()(xF).()(xF将将(43)(43)各式的两端关于各式的两端关于 进行进行傅氏变换傅氏变换，记，记假定假定. 0),(lim),(lim|txutxutxx,2222UadtUd则得则得).(| ),( ),(| ),(00tttdtdUtU(44)(44)问题问题(44)(44)是带参数是带参数的常微分方程的初值问题，的常微分方程的初值问题，其解为其解为25例例2 2试用傅氏变换求解下列问

18、题的解试用傅氏变换求解下列问题的解),0,(2txuauxxtt ).()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (43)(43).sin)(cos)(),(taatatUtaaFtaFtxusin)(cos)(),(11(45)(45)()(21cos1axaxaF对式对式(45)(45)取取傅氏逆变换傅氏逆变换(46)(46)利用结论利用结论mxmF|,21sin1| taFxataFxsin)(1cos)(1126)()(21)(cos)(1atxatxxtaF),()(21atxatx例例2 2试用傅氏变换求解下列问题的解试用傅氏变换求解下列问题的解),0,(2txuauxxtt ).

19、()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (43)(43)()(21cos1axaxaF利用结论利用结论mxmF|,21sin1| 因此可得因此可得taaFtaFtxusin)(cos)(),(11(46)(46)27taaFsin)(1taFxasin)(11.)(21daatxatx.)(21)()(21),(daatxatxtxuatxatx例例2 2试用傅氏变换求解下列问题的解试用傅氏变换求解下列问题的解),0,(2txuauxxtt ).()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (43)(43)()(21cos1axaxaF利用结论利用结论mxmF|,21sin1| 因此可得因此

20、可得taaFtaFtxusin)(cos)(),(11(46)(46)将所得结果代入将所得结果代入(46)(46)式，得原问题式，得原问题(43)(43)的解为的解为28例例3 3求解下列问题的解求解下列问题的解),0,(0yxuuyyxx . 0),(lim),(|220yxuxguyxy x),(),(yUyxuF(47)(47)解解).()(GxgF将将(47)(47)各式的两端关于各式的两端关于 分别作分别作傅氏变换傅氏变换，记，记则则(47)(47)化为化为),()0 ,(GU, 0222UdyUd. 0),(limyUy解问题解问题(48)(48)得得.)(),(|yeGyU(48

21、)(48)29例例3 3求解下列问题的解求解下列问题的解),0,(0yxuuyyxx . 0),(lim),(|220yxuxguyxy (47)(47).)(),(|yeGyU对上式取对上式取傅氏逆变换傅氏逆变换得得yeGFyxu|1)(),(利用结论利用结论.)(|1yeFxg)0(122|1yxyyeFy (49)(49)即得原问题即得原问题(47)(47)的解为的解为221)(),(xyxgyyxu.)()(22dxygy30例例4 4求解下列问题的解求解下列问题的解),0, 0(2txuauxxt , 0|0tut),(),(sxUtxuL(50)(50)解解).()(sFtfL将将

22、(50)(52)(53)(50)(52)(53)的两端对的两端对 分别作分别作拉氏变换拉氏变换，记，记则问题则问题(50)-(53)(50)-(53)化为化为),(| ),(0sFsxUx, 0222 sUdxUda.| ),(|Mtxu),(|0tfux(51)(51)(52)(52)(53)(53)(54)(54)(55)(55)(56)(56).| ),(|MsxU31),(| ),(0sFsxUx, 0222 sUdxUda是一个充分大的正数。是一个充分大的正数。(54)(54)(55)(55)(56)(56).| ),(|MsxU其中其中M方程方程(54)(54)的的通解通解为为,)

23、,(21xasxasececsxU则问题则问题(50)-(53)(50)-(53)化为化为, 02c.)(),(xasesFsxU(57)(57)由条件由条件(56)(56)知知).(1sFc 再由条件再由条件(55)(55)知知于是有于是有对式对式(57)(57)作作拉氏逆变换拉氏逆变换，得，得)(),(1xasesFLtxu(58)(58).)(1xaseLtf32),0, 0(2txuauxxt , 0|0tu(50)(50).| ),(|Mtxu),(|0tfux(51)(51)(52)(52)(53)(53)(),(1xasesFLtxu(58)(58).)(1xaseLtftays

24、adyeesL21221首先利用结论首先利用结论taxysaxdyeesL21221则有则有33),0, 0(2txuauxxt , 0|0tu(50)(50).| ),(|Mtxu),(|0tfux(51)(51)(52)(52)(53)(53)(),(1xasesFLtxu(58)(58).)(1xaseLtf.222423taxetax111saxsaxessLeLtaxydyedtd222再利用再利用拉氏变换拉氏变换的的微分性质微分性质则有则有taxysaxdyeesL2122134),0, 0(2txuauxxt , 0|0tu(50)(50).| ),(|Mtxu),(|0tfux

25、(51)(51)(52)(52)(53)(53)(),(1xasesFLtxu(58)(58).)(1xaseLtf.)(1)(20)(42322ttaxdetfax于是，原问题于是，原问题(50)-(53)(50)-(53)的解为的解为taxetaxtftxu224232)(),(35例例5 5求解求解半无界弦半无界弦的的自由振动自由振动问题问题),0, 0(2txuauxxtt , 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut t),(),(sxUtxuL(59)(59)解解).()(sFtfL将将(59)(61)(59)(61)的两端对的两端对 分别作分别作拉氏变换拉氏变换，记，记则问题则问题

26、(59)-(61)(59)-(61)化为化为),(), 0(sFsU, 02222UsdxUda, 0),(limtxux),(), 0(tftu(60)(60)(61)(61)(62)(62)(63)(63). 0),(limsxUx)(tf. 0)0(f其中其中为已知函数为已知函数( (满足拉氏变换条件满足拉氏变换条件) )， 且且36方程方程(62)(62)的的通解通解为为,),(21xasxasececsxU),(), 0(sFsU, 02222UsdsUda(62)(62)(63)(63). 0),(limsxUx, 01c.)(),(xasesFsxU由条件由条件(63)(63)知

27、知),(2sFc于是有于是有对上式取对上式取拉氏逆变换拉氏逆变换，得，得)(),(1xasesFLtxu(64)(64)利用拉氏变换的利用拉氏变换的延迟定理的逆变换形式延迟定理的逆变换形式)( )()(0010ttttfesFLst37)(),(1xasesFLtxu(64)(64)利用拉氏变换的利用拉氏变换的延迟定理的逆变换形式延迟定理的逆变换形式可知可知)()()(1axtaxtfesFLaxs )( )()(0010ttttfesFLst则则(64)(64)式可化为式可化为.)(, 0),(axtaxtfaxttxu, 即得即得半无界弦半无界弦的的自由振动自由振动问题问题(59)-(61)(59)-(61)的解。的解。38),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)2)()(),(atxatxtxu.)(21atxatxda(18)(18)1 1无限长弦自由振动无限长弦自由振动问题问题的的达朗贝尔解达朗贝尔解为公式为公式).()(),(atxgatxftxu(13)(