数理方程课件：2_1有界弦的自由振动

1、1 1预备知识：预备知识：二阶常系数线性齐次常微分方程二阶常系数线性齐次常微分方程0 qypyyqp ,02qprr, 042qp, 042qp, 042qp.21xrxrBeAey.)(rxeBxAy).sincos(xBxAeyx,2, 1irBA ,的的通解公式通解公式。其中。其中为常数。为常数。( (* *) )方程方程( (* *) )对应的特征方程为对应的特征方程为1.1.方程方程( (* *) )的通解为的通解为2.2.方程方程( (* *) )的通解为的通解为3.3.方程方程( (* *) )的通解为的通解为为任意常数。为任意常数。以上以上2 2第二章第二章 分离变量法分离变量

2、法),()0 ,(),()0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(2xxuxxutlututlxuautxxtt )(x2.1 2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动考察两端固定的弦的自由振动问题：考察两端固定的弦的自由振动问题：)(x(1)(1)(2)(2)(3)(3)其中其中与与均为已知函数。均为已知函数。这个定解问题的这个定解问题的特点：特点：方程方程(1)(1)是线性齐次的，是线性齐次的，因此，各个特解的和也是这个方程的解。因此，各个特解的和也是这个方程的解。3 3如果能够找到方程如果能够找到方程(1)(1)足够个数的特解，则可以足够个数的特解，则可以试用它们的线性组合去求所

3、求定解问题的解。试用它们的线性组合去求所求定解问题的解。, t,sin)(),(xtctxu),(txuxt为了求解定解问题为了求解定解问题(1)-(3)(1)-(3)，我们首先对物理，我们首先对物理模型进行考察。模型进行考察。从物理上知道，乐器发出的声音从物理上知道，乐器发出的声音可以分解成各种不同频率的单音，每种单音振动可以分解成各种不同频率的单音，每种单音振动时形成正弦曲线，其振幅依赖于时间时形成正弦曲线，其振幅依赖于时间也就是说也就是说每个单音总可以表示成每个单音总可以表示成这种形式的这种形式的特点特点是：是：是只含变量是只含变量的函数的函数与只含变量与只含变量的函数之乘积，的函数之乘

4、积，即它具有即它具有变量分离变量分离的形式。的形式。4 4),0,0(2tlxuauxxtt , 0),(, 0), 0(tlutu),()(),(tTxXtxu现在，我们就来现在，我们就来试求试求方程方程(1)(1)的的非平凡解非平凡解（即不恒等于（即不恒等于0 0），），)(xXxt)(tT, 2TXaXT使它满足使它满足齐次齐次边界条件边界条件而且可以表示成下列乘积而且可以表示成下列乘积(1)(1)(2)(2)(4)(4)此处，此处，只是变量只是变量的函数，的函数，只是变量只是变量的函数。的函数。现在把假定具有变量分离形式的解现在把假定具有变量分离形式的解(4)(4)带入方程带入方程(1

5、)(1)可得可得5 5XXTaT 2, 0)()( xXxX, 0)()( 2tTatT)(tT),(xX)()(),(tTxXtxu变形得变形得(5)(5)由于等式由于等式(5)(5)的左右两边当它的自变量变化时的左右两边当它的自变量变化时保持常值，保持常值，记此常数为记此常数为从而可得两个常微从而可得两个常微分方程分方程(6)(6)(7)(7)我们可以通过求解这两个常微分方程来决定我们可以通过求解这两个常微分方程来决定及及从而得到方程从而得到方程(1)(1)的特解的特解(4)(4)6 6. 0)(, 0)0(lXX )()(),(tTxXtxu , 0),(, 0), 0(tlutu. 0

6、)()(, 0)0()(lXtTXtT , 0)(tT, 0),(txu),(xX. 0)()0(, 0)()( lXXxXxX 为了使为了使满足齐次边界条件满足齐次边界条件(2)(2)则得则得若若则则不是非平凡解。不是非平凡解。因此，只可能是因此，只可能是(8)(8)为了求函数为了求函数我们只需求解下列常微分方程我们只需求解下列常微分方程的边值问题：的边值问题：(9)(9)7 7. 0)()0(, 0)()( lXXxXxX (9)(9)(xX若对于若对于 的某些值，问题的某些值，问题(9)(9)的非平凡解存在，的非平凡解存在，则称这种则称这种值为值为特征值特征值( (或固有值或固有值) )

7、，试求此值；，试求此值；同时，称相应的非平凡解同时，称相应的非平凡解为为特征函数特征函数( (或或固有函数固有函数) ), ,并求出它。并求出它。这样叙述的问题，通常这样叙述的问题，通常叫做叫做施图姆施图姆- -刘维尔刘维尔(Sturm-(Sturm-LiouvilleLiouville) )问题问题. .下面我们对下面我们对分三种情形加以讨论：分三种情形加以讨论：. 00; 0 ; 8 80,)(xxBeAexX, 0 BA. 0llBeAe, 0 BA. 0)(xX. 0)()0(, 0)()( lXXxXxX (9)(9)0.)()(BAxeBAxxXx, 0 BA(1)(1)当当时，问

8、题时，问题(9)(9)没有非平凡解没有非平凡解。事实上。事实上由边界条件得由边界条件得方程通解为方程通解为(2)(2)当当时，问题时，问题(9)(9)没有非平凡解没有非平凡解。事实上。事实上方程通解为方程通解为由边界条件得由边界条件得只有恒等于只有恒等于0 0的解。的解。9 90.sincos)(xBxAxX. 0)0( AX. 0)()0(, 0)()( lXXxXxX (3)(3)当当时，方程的通解具有如下形式时，方程的通解具有如下形式由边界条件得由边界条件得(9)(9). 0sin)(lBlX)(xX, 0B, 0sinl). ,2, 1()(2nlnn)., 2, 1(sin)( nl

9、xnBxXnn假设假设不恒等于不恒等于0 0， 则则于是得于是得从而找到一族非零解从而找到一族非零解(10)(10)(11)(11)特征值特征值特征函数特征函数1010, 0)()( 2tTatT(6)(6). ,2, 1()(2nlnn(10)(10), 0)()()( 2tTlantT)., 2, 1(sincos)( nlatnDlatnCtTnnn)()(),(tTxXtxunnn现在考虑现在考虑将特征值将特征值代入方程代入方程(6)(6)得得其通解为其通解为这样就得到方程这样就得到方程(1)(1)的满足齐次边界条件的满足齐次边界条件(2)(2)的的变量分离形式的特解变量分离形式的特解

10、(12)(12)1111), 2, 1(sinsincos(),( )nlxnlatnblatnatxunnn,nnnCBa nnnDBb )(x)(x(13)(13)其中其中是任意常数。是任意常数。注意初始条件注意初始条件)()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)中的中的和和是任意给定的，一般说来，特解是任意给定的，一般说来，特解(13)(13)中的任意一个不满足给定的初始条件。中的任意一个不满足给定的初始条件。1212 )1sinsincos(),(nnnlxnlatnblatnatxunnba ,由于方程由于方程(1)(1)是线性齐次的，由是线性齐次的，由叠加原理叠加原理

11、知，级数知，级数), 2, 1(sinsincos(),( )nlxnlatnblatnatxunnn(13)(13)(14)(14)仍是方程仍是方程(1)(1)的解，并且同时满足边界条件的解，并且同时满足边界条件(2).(2). 0),(, 0), 0(,2tlutuuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)问题：问题：当当满足什么条件时，满足什么条件时，(14)(14)式也满足式也满足初值条件初值条件1313 )1sinsincos(),(nnnlxnlatnblatnatxu(14)(14)为此，由于为此，由于(14)(14)式关于式关于t, 0t),(s

12、in1xlxnann).(sin1xlxnlanbnn )1sincossin(),(nnntlxnlatnblatnalantxu的导数式为的导数式为在在(14)(14)式及其相应的导数式中，令式及其相应的导数式中，令)()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)初值条件初值条件且结合且结合可得可得1414)(),(xx , 0lna)(xlanbn)(x),(sin1xlxnann).(sin1xlxnlanbnn,sin)(20dxlxnxlaln,sin)(dxlxnxllanbln02因为因为是定义在是定义在上的函数，所以当上的函数，所以当是是的傅里叶的傅里叶正弦级数正弦

13、级数展开式的系数，展开式的系数，是是的傅里叶的傅里叶正弦级数正弦级数展开式的系数展开式的系数时，即时，即时，则级数时，则级数(14)(14)能满足初值条件能满足初值条件(15)(15)()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)1515)(),(xx , 0lna)(xlanbn)(x),(sin1xlxnann).(sin1xlxnlanbnn,sin)(20dxlxnxlaln,sin)(20dxlxnxanbln因为因为是定义在是定义在上的函数，所以当上的函数，所以当是是的傅里叶的傅里叶正弦级数正弦级数展开式的系数，展开式的系数，是是的傅里叶的傅里叶正弦级数正弦级数展开式的系

14、数展开式的系数时，即时，即时，则级数时，则级数(14)(14)能满足初值条件能满足初值条件(15)(15)()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)1616nnba ,代入代入(14)(14)式，即得式，即得将将(15)(15)所确定的所确定的混合问题混合问题(1)-(3)(1)-(3)的解。的解。 )1sinsincos(),(nnnlxnlatnblatnatxu(14)(14),sin)(20dxlxnxlaln,sin)(20dxlxnxanbln(15)(15)其中其中这种得到解的方法就称为这种得到解的方法就称为分离变量法分离变量法。1717 )1sinsincos()

15、,(nnnlxnlatnblatnatxu(14)(14)说明：说明： 1. 1. 级数形式的解级数形式的解(14)(14)式不一定收敛，因式不一定收敛，因此有时被成为形式解。此有时被成为形式解。但是但是存在性定理存在性定理中的条件可以保证中的条件可以保证(14)(14)式确实是式确实是定解问题定解问题(1)-(3)(1)-(3)的古典解。的古典解。),()0 ,(),()0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(2xxuxxutlututlxuautxxtt (1)(1)(2)(2)(3)(3), 0)(4lCx , 0)(3lCx ,lx , 0存在性定理存在性定理* *若若( (四

16、次导数连续的函数四次导数连续的函数) )，并且并且在在处取值处取值为为0 0，则初边值问题，则初边值问题(1)-(3)(1)-(3)的的古典解古典解存在，且存在，且可表示为级数可表示为级数(14)(14)，其中的系数由，其中的系数由(15)(15)确定。确定。),()0 ,(),()0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(2xxuxxutlututlxuautxxtt (1)(1)(2)(2)(3)(3) )1sinsincos(),(nnnlxnlatnblatnatxu(14)(14)19192. 2. 定解问题定解问题(1)-(3)(1)-(3)的级数解的级数解(14)(14)的

17、物理意义。的物理意义。 )1sinsincos(),(nnnlxnlatnblatnatxu(14)(14)取级数取级数(14)(14)的一般项，并作如下变形：的一般项，并作如下变形：lxnlatnblatnatxunnnsinsincos(),(),sin)sin(lxntNnnn;,arctan,22lanbabaNnnnnnnn nn(16)(16)其中其中称为称为初相初相，称为称为频率频率。2020,sin)sin(),(lxntNtxunnnn(16)(16), t0tt ,sin),(0lxnNtxunn)sin(0nnnntNN),(0txun0t研究研究(16)(16)式物理意

18、义的方法是，先固定时间式物理意义的方法是，先固定时间看看在这时刻振动波呈什么形状；尔后再固定看看在这时刻振动波呈什么形状；尔后再固定弦上一点，看看该点的振动规律。弦上一点，看看该点的振动规律。当当时，有时，有其中其中是一个定值，这说明在是一个定值，这说明在任何时刻任何时刻的波形都是一条的波形都是一条正弦曲线正弦曲线，其振幅与时刻其振幅与时刻有关。有关。21210 xx ),sin( ),(0nnnntNtxulxnNNnn0sin 0 x.sin0lxnNn,lann.n当当时，有时，有其中其中是一个定值，这说明弦上是一个定值，这说明弦上每一点每一点是在作简谐振动，其是在作简谐振动，其振幅振幅

19、为为频率频率为为初相初相为为若取另外一个点，若取另外一个点，情况也一样，只是振幅不同而已。情况也一样，只是振幅不同而已。),(txun由上所述知，由上所述知，表示这样一个振动波，在表示这样一个振动波，在考察的弦上各点以考察的弦上各点以同样的频率同样的频率作简谐振动，各点作简谐振动，各点的的初相也相同初相也相同，其振幅跟点的位置有关，此振动，其振幅跟点的位置有关，此振动波在任一时刻的波在任一时刻的外形是一条正弦曲线外形是一条正弦曲线。2222,sin)sin(),(lxntNtxunnnn(16)(16) ( n,mnmlxm,210, 0),(txunnu),(txun, 0l), 2, 1(

20、2) 12(nknlkxk 当当时，时，这表明这些点在整个振动过程中始终保持不动，这表明这些点在整个振动过程中始终保持不动，这样的点在物理上称为这样的点在物理上称为的的节点节点。这就说明。这就说明的振动是在的振动是在上的分段振动，人们把上的分段振动，人们把这种这种包含节点的振动波称为驻波包含节点的振动波称为驻波。当当时，驻波的振幅时，驻波的振幅达到最大值，这样的点叫做达到最大值，这样的点叫做腹点腹点。2323 ,21nuuun因此我们知道因此我们知道是一系列驻波，它是一系列驻波，它们的频率、初相和振幅都随们的频率、初相和振幅都随而异。因此，可以而异。因此，可以说解说解 )1sinsincos(

21、),(nnnlxnlatnblatnatxu(14)(14)是由一系列频率不同，初相不同和振幅不同的驻是由一系列频率不同，初相不同和振幅不同的驻波叠加而成的，因此，人们又把波叠加而成的，因此，人们又把分离变量法分离变量法叫做叫做驻波法驻波法。2424例例1 1考察两端固定的弦的自由振动问题考察两端固定的弦的自由振动问题).1 ()0 ,(,2sin)0 ,(, 0), 1 (, 0), 0(),0, 10(2xxxuxxutututxuautxxtt )1,sinsincos(),(nnnxnatnbatnatxu )1sinsincos(),(nnnlxnlatnblatnatxu(14)(

22、14)解解利用公式利用公式, 1l由于由于则该定解问题的解为则该定解问题的解为2525例例1 1考察两端固定的弦的自由振动问题考察两端固定的弦的自由振动问题).1 ()0 ,(,2sin)0 ,(, 0), 1 (, 0), 0(),0, 10(2xxxuxxutututxuautxxtt ,sin)(20dxlxnxlaln,sin)(20dxlxnxanbln(15)(15)再利用公式再利用公式则有则有10sin2sin2xdxnxan10sin)1 (2xdxnxxanbn2626由于由于10sin2sin2xdxnxan. 2, 1, 2, 0nn10sin)1 (2xdxnxxanb

23、n1010cos)21 (1cos)1 (12xdxnxnxnxxnan 10102sin2sin)21 (1)(2xdxnnxnxnan .) 1(1)(44nan104cos)(4xxxnan2727因此，所求定解问题的解为因此，所求定解问题的解为10sin2sin2xdxnxan. 2, 1, 2, 0nnxattxu2sin2cos),(.sinsin) 1(1 )(414xnatnannn.) 1(1)(44nnanb )1,sinsincos(),(nnnxnatnbatnatxu即有即有其中其中2828例例2 2考察一端固定另一端自由移动的弦的自由考察一端固定另一端自由移动的弦的

24、自由振动问题振动问题.sin),(,),(,),(,),(),(lxtxxxttxulxxxutlututlxuau232230 20 0 00 0 0 解解由于这个问题的边界条件与由于这个问题的边界条件与(2)(2)不同，不同，. 0),(, 0), 0(tlutu 因此不能直接应用公式因此不能直接应用公式 )1sinsincos(),(nnnlxnlatnblatnatxu(14)(14)但是我们可以但是我们可以借助分离变量法借助分离变量法的思想求解。的思想求解。2929例例2 2考察一端固定另一端自由移动的弦的自由考察一端固定另一端自由移动的弦的自由振动问题振动问题.sin3)0 ,(,

25、2)0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(2322lxtxxxttxulxxxutlututlxuau 解解令令),()(),(tTxXtxu, 0)()( xXxX, 0)()( 2tTatT. 0)( , 0)0(lXX 代入方程分离变量得两个常微分方程代入方程分离变量得两个常微分方程由边界条件易得由边界条件易得3030例例2 2考察一端固定另一端自由移动的弦的自由考察一端固定另一端自由移动的弦的自由振动问题振动问题.sin3)0 ,(,2)0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(2322lxtxxxttxulxxxutlututlxuau 解解. 0)( )0(, 0)

26、()( lXXxXxX 求边值问题求边值问题的的非非0 0解解。下面我们对下面我们对分三种情形加以讨论：分三种情形加以讨论：. 00; 0 ; 310,)(xxBeAexX, 0 BA. 0llBeAe, 0 BA. 0)(xX. 0)( )0( , 0)()( lXXxXxX0.)()(BAxeBAxxXx, 0 BA(1)(1)当当时，该问题时，该问题没有非平凡解没有非平凡解。事实上。事实上由边界条件得由边界条件得方程通解为方程通解为(2)(2)当当时，该问题时，该问题没有非平凡解没有非平凡解。事实上。事实上方程通解为方程通解为由边界条件得由边界条件得只有恒等于只有恒等于0 0的解。的解。

27、32320.sincos)(xBxAxX. 0)0( AX(3)(3)当当时，方程的通解具有如下形式时，方程的通解具有如下形式由边界条件得由边界条件得. 0cos)( lBlX)(xX, 0B, 0cosl). ,2, 1()2)12(2 nlnn)., 2, 1(2)12(sin)( nlxnBxXnn假设假设不恒等于不恒等于0 0， 则则于是得于是得从而找到一族非零解从而找到一族非零解特征值特征值特征函数特征函数. 0)( )0(, 0)()( lXXxXxX 3333, 0)()( 2tTatT, 0)()2)12()( 2 tTlantT)., 2, 1(2)12(sin2)12(co

28、s)( nlatnDlatnCtTnnn现在考虑现在考虑将特征值将特征值代入方程得代入方程得其通解为其通解为于是所求定解问题的解可表示为于是所求定解问题的解可表示为). ,2, 1()2)12(2 nlnn,2)12(sin2)12(sin2)12(cos),(1lxnlatnblatnatxunnn ,nnnCBa nnnDBb 其中其中是任意常数。是任意常数。3434, 0t,22)12(sin21lxxlxnann .23sin32)12(sin2)12(1lxlxnlanbnn 在上式及其相应的导数式中，令在上式及其相应的导数式中，令.23sin3)0 ,(,2)0 ,(2lxxulx

29、xxut 初值条件初值条件且结合且结合可得可得,2)12(sin2)12(sin2)12(cos),(1lxnlatnblatnatxunnn dxlxnlxxlaln2)12(sin)2(202 dxlxnlxllanbln2)12(sin23sin322)12(0 3535, 0t在上式及其相应的导数式中，令在上式及其相应的导数式中，令.23sin3)0 ,(,2)0 ,(2lxxulxxxut 初值条件初值条件且结合且结合可得可得,2)12(sin2)12(sin2)12(cos),(1lxnlatnblatnatxunnn dxlxnlxxlaln2)12(sin)2(202 dxlx

30、nlxanbln2)12(sin23sin3)12(40 ,22)12(sin21lxxlxnann .23sin32)12(sin2)12(1lxlxnlanbnn 3636dxlxnlxxlaln2)12(sin)2(202 dxlxnlxanbln2)12(sin23sin3)12(40 即即,)12(32332 nl , 1,2, 1, 0naln 13322)12(sin2)12(cos)12(32),(nlxnlatnnltxu于是，所求问题的解为于是，所求问题的解为.23sin23sin2lxlatal ,2)12(sin2)12(sin2)12(cos),(1lxnlatnbl

31、atnatxunnn 3737小结：小结： 分离变量法基本步骤分离变量法基本步骤1.1.令令),()(),(tTxXtxu)(xXn, 0)()( xXxX, 0)()( 2tTatT将其代入方程分离变量得两个常微分方程将其代入方程分离变量得两个常微分方程2.2.利用利用边界条件边界条件求求3.3.所对应的施图姆所对应的施图姆- -刘刘维尔问题维尔问题( (即即求非求非0 0解解) )，得到相应的，得到相应的特征值特征值)(xXn)(tT)(tTnnnba ,),(txu和和特征函数特征函数n将所求的特征值将所求的特征值4.4.代入代入所满足的方程，所满足的方程，从而求得其通解从而求得其通解写

32、出定解问题的级数解的表达式写出定解问题的级数解的表达式5.5.并利用并利用初值条件初值条件和傅里叶正弦或余弦级数和傅里叶正弦或余弦级数所对应的所对应的系数公式系数公式求出求出3838补充补充 考察考察两端都自由移动的弦的自由振动问题两端都自由移动的弦的自由振动问题).()0 ,(),()0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(2xxuxxutlututlxuautxxxxtt 解解令令),()(),(tTxXtxu, 0)()( xXxX, 0)()( 2tTatT. 0)( , 0)0( lXX . 0)( )0( , 0)()( lXXxXxX 代入方程分离变量得两个常微分方程代入

33、方程分离变量得两个常微分方程由边界条件易得由边界条件易得求边值问题求边值问题的的非非0 0解解。3939解解0(1)(1)当当时，该问题时，该问题没有非平凡解没有非平凡解。.)( )( ,)()( 00 0lXXxXxX求边值问题求边值问题的的非非0 0解解。).()0 ,(),()0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(2xxuxxutlututlxuautxxxxtt 补充补充 考察考察两端都自由移动的弦的自由振动问题两端都自由移动的弦的自由振动问题40400(2)(2)当当时，方程通解为时，方程通解为. 0)( )0( , 0)()( lXXxXxX ,)(000BxAxX. 0)( )0( 00