数理方程课件：3_1达朗贝尔

1、1)()(,)()(,),()()(xxxfxxxfdttxfdxdxx dttxfxxx )()(),( 关于关于二元函数二元函数含参变量积分含参变量积分的求导公式的求导公式)()()()()()()(xxfxxfdttfdxdxx 特别地，特别地，2第三章第三章 行波法与积分变换法行波法与积分变换法本章我们将介绍另外两个求解定解问题的方法，本章我们将介绍另外两个求解定解问题的方法，一是一是行波法行波法( (或或达朗贝尔解法达朗贝尔解法) )，二是，二是积分变换法积分变换法。行波法行波法只能用于求解只能用于求解无界区域内波动方程无界区域内波动方程的定的定解问题。解问题。 虽有很大的局限性，但

2、对于波动问题有其虽有很大的局限性，但对于波动问题有其特殊的优点，所以该法是数理方程的基本解法之一。特殊的优点，所以该法是数理方程的基本解法之一。积分变换法积分变换法不受方程类型的限制，不受方程类型的限制，主要用于无主要用于无界区域界区域，但对于有界区域也能应用。，但对于有界区域也能应用。33.1 3.1 达朗贝尔公式达朗贝尔公式. .波的传播波的传播3.1.1 3.1.1 弦振动方程的达朗贝尔解法弦振动方程的达朗贝尔解法如果我们所考察的如果我们所考察的弦线长度很长弦线长度很长，而我们需要而我们需要知道的又只是在较短时间且知道的又只是在较短时间且离开边界较远的一段离开边界较远的一段范围范围内的振

3、动情况，内的振动情况，那么那么边界条件的影响边界条件的影响就可以就可以忽略忽略。不妨把所考察弦线的不妨把所考察弦线的长度视为无限长度视为无限，而需，而需要知道的只是要知道的只是有限范围内有限范围内的振动情况。的振动情况。此时，定解问题归结为如下形式此时，定解问题归结为如下形式：),0,(),(2txtxfuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (1)(1)(2)(2)4),0,(),(2txtxfuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (1)(1)(2)(2)对于上述初值问题，由于微分方程及定解条件对于上述初值问题，由于微分方程及定解条件都是线性的，

4、所以都是线性的，所以叠加原理叠加原理同样成立。同样成立。),(1txu),(2txu),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6),(),(21txutxuu即如果即如果和和分别是下述初值问题分别是下述初值问题和和的解，的解， 则则是原问题是原问题(1)(2)(1)(2)的解。的解。5,atx ,atx ,2x.2at),(uu autxu2,2),().,(uuxt),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxu

5、xxut (3)(3)(4)(4)首先我们考察问题首先我们考察问题(3)(4)(3)(4). .通过通过自变量变换自变量变换求解。求解。为此，令为此，令(7)(7)其逆变换为其逆变换为(8)(8)用用记新的未知函数，则记新的未知函数，则6,atx ,atx ),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)(7)(7)uxtxxxuuu,uu )(xxuu)(xxxxuuu).2(2uuuautt,2uuu利用复合函数微分法则，得到利用复合函数微分法则，得到同理可得同理可得(9)(9)(10)(10)将将(9)(10)(9)(10)代入方程代

6、入方程(3)(3)化简即得化简即得7,atx ,atx ),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)(7)(7)将将(9)(10)(9)(10)代入方程代入方程(3)(3)化简即得化简即得. 0u),()(),(gfugf ,(11)(11)方程方程(11)(11)可以通过可以通过积分法积分法直接求解直接求解。先关于先关于积分一次，积分一次，积分一次，便可得到方程积分一次，便可得到方程(11)(11)再关于再关于的的通解通解为为(12)(12)其中其中都是具有二阶连续导数的任意函数。都是具有二阶连续导数的任意函数。再将自变量变换再将自变

7、量变换(7)(7)代入代入(12)(12)则可得则可得8., gf ),()()(xxgxf),()()(xxgaxf a0 xc,)()()(0 xxdcxgxfa),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)方程方程(3)(3)的的通解通解可表示为可表示为).()(),(atxgatxftxu(13)(13)下面，我们利用下面，我们利用初始条件初始条件(4)(4)来确定通解来确定通解(13)(13)中中的任意函数的任意函数将将(4)(4)代入代入(13)(13)得得(14)(14)(15)(15)再将再将(15)(15)式两边积分得式

8、两边积分得(16)(16)其中其中是任意一点，而是任意一点，而是积分常数。是积分常数。9),()()(xxgxf,)(1)()(0 xxdaacxgxf),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)方程方程(3)(3)的的通解通解可表示为可表示为).()(),(atxgatxftxu(13)(13)(14)(14)(16)(16),2)(21)(21)(0acdaxxfxx.2)(21)(21)(0acdaxxgxx由由(14)(14)和和(16)(16)变形得变形得(17)(17)把把(17)(17)代入通解式代入通解式(13)(13)

9、得初值问题得初值问题(3)(4)(3)(4)的解的解102)()(),(atxatxtxu.)(21atxatxda),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)方程方程(3)(3)的的通解通解可表示为可表示为).()(),(atxgatxftxu(13)(13),2)(21)(21)(0acdaxxfxx.2)(21)(21)(0acdaxxgxx(17)(17)这种求解方法称为这种求解方法称为达朗贝尔解法达朗贝尔解法。(18)(18)这个公式称为这个公式称为无限长弦自由振动的达朗贝尔公式无限长弦自由振动的达朗贝尔公式，或称或称达朗贝尔

10、解达朗贝尔解。11),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6)3.1.4 3.1.4 齐次化原理齐次化原理齐次化原理齐次化原理);,(txw),(2twawxxtt ),(|, 0|xfwwttt tdtxwtxu0);,(),(若若是初值问题是初值问题(21)(21)的解的解( (其中其中 为参数为参数),), 则则(22)(22)就是初值问题就是初值问题(5)(6)(5)(6)的解。的解。12),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6),(2twawxxtt ),

11、(|, 0|xfwwttt tdtxwtxu0);,(),(21)(21)(22)(22),tt),;,();,();,(txwtxwtxw),0(2 twawxxt t ).,(|, 0|00 xfwwttt (23)(23)令令并记并记则问题则问题(21)(21)可化为如下形式：可化为如下形式：132)()(),(atxatxtxu.)(21atxatxda(18)(18)t axt axdfatxw.),(21);,(tdtxwtxu0);,(),(22)(22),tt),;,();,();,(txwtxwtxw),0(2 twawxxt t ).,(|, 0|00 xfwwttt (2

12、3)(23)令令并记并记则问题则问题(21)(21)可化为如下形式：可化为如下形式：由由达朗贝尔公式达朗贝尔公式(18)(18)知问题知问题(23)(23)的解为的解为14)()(.),(21);,(taxtaxdfatxw ttaxtaxddfatxu0)()(.),(21),(),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6)tdtxwtxu0);,(),(22)(22)t axt axdfatxw.),(21);,(,tt由由将变量还原得将变量还原得(24)(24)再将再将(24)(24)代入公式代入公式(22)(22)即得初值问

13、题即得初值问题(5)(6)(5)(6)的解的解(25)(25) ttaxtaxddfatxu0)()(),(21),(),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6)(25)(25)事实上，由事实上，由(25)(25)确定的函数确是问题确定的函数确是问题(5)(6)(5)(6)的解的解二元函数含参变量积分的求导公式二元函数含参变量积分的求导公式: :15)()(,)()(,),()()(xxxfxxxfdttxfdxdxxdttxfxxx)()(),(16ftudtfattaxttax)()(),(21dtaxft021),(dtax

14、ft021),(,),(),(210dtaxftaxft ttaxtaxddfatxu0)()(),(21),(),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6)(25)(25)事实上，由事实上，由(25)(25)确定的函数确是问题确定的函数确是问题(5)(6)(5)(6)的解的解当当具有一阶连续导数时，由具有一阶连续导数时，由(25)(25)式可得式可得17),(txfutt;),(),(20dtaxftaxfat,),(),(210dtaxftaxfautx;),(),(210dtaxftaxfautxxtu,),(),(210dt

15、axftaxft ttaxtaxddfatxu0)()(.),(21),(),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6)(25)(25)18),(2txfuauxxtttu,|0tu. 0|0ttu ttaxtaxddfatxu0)()(.),(21),(),0,(),(2txtxfuauxxtt 0)0 ,(, 0)0 ,(xuxut (5)(5)(6)(6)(25)(25)于是于是再验证再验证初始条件初始条件(6)(6)。即即(25)(25)满足方程满足方程(5)(5)。tu,),(),(210dtaxftaxft由由(25)(

16、25)式及式及可得可得 以上证明了由以上证明了由(25)(25)确定的函数确是初值问题确定的函数确是初值问题(5)(6)(5)(6)的解。的解。的表达式的表达式192)()(),(atxatxtxu.)(21atxatxda(18)(18) ttaxtaxddfatxu0)()(.),(21),(25)(25)2)()(),(atxatxtxuatxatxda)(21(26)(26).),(210)()( ttaxtaxddfa),0,(),(2txtxfuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (1)(1)(2)(2)由由叠加原理叠加原理，可得定解问题，可得定解问题(1)

17、(2)(1)(2)解可表示为解可表示为20),0,(2txxuuxxtt .)0 ,(,sin)0 ,(xxuxxut )sin()sin(21),(txtxtxutxtxd21ddttxtx 0)()(221txcossinxt.2xt例例求解下列初值问题求解下列初值问题解解由公式由公式(26)(26)得得2)()(),(atxatxtxuatxatxda)(21(26)(26).),(210)()( ttaxtaxddfa213.1.2 3.1.2 达朗贝尔解的物理意义达朗贝尔解的物理意义).()(),(atxgatxftxu(13)(13),(1atxfut),0,(2txuauxxtt

18、 )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)先考察先考察(19)(19)显然它是方程显然它是方程(3)(3)的解。的解。 给给 以不同的值，就可以以不同的值，就可以看出弦在各个时刻相应的振动状态。看出弦在各个时刻相应的振动状态。223.1.2 3.1.2 达朗贝尔解的物理意义达朗贝尔解的物理意义).()(),(atxgatxftxu(13)(13),(1atxfu0t),()0 ,(1xfxu),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)先考察先考察(19)(19)在在时，时，它对应于初始时刻的它对应于初始时刻

19、的振动状态振动状态( (相当于弦在初始时刻各点的位移状态相当于弦在初始时刻各点的位移状态) )，如图如图3.13.1实线所示实线所示xuO)(1xfu )0( t1x2x图图3.13.1233.1.2 3.1.2 达朗贝尔解的物理意义达朗贝尔解的物理意义).()(),(atxgatxftxu(13)(13),(1atxfu0t),(),(001atxftxu),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)先考察先考察(19)(19)经过时间经过时间 后，后，在在它相当于原来的图形它相当于原来的图形xuO)(1xfu )0( t)(01atx

20、fu)(0tt 1x01atx 2x02atx ),(ux平面上，平面上，)(1xfu 向右平移了一段距离向右平移了一段距离,0at图图3.13.1243.1.2 3.1.2 达朗贝尔解的物理意义达朗贝尔解的物理意义).()(),(atxgatxftxu(13)(13),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)xuO)(1xfu )0( t)(01atxfu)(0tt 1x01atx 2x02atx )(atxg)(atxfa因此，由函数因此，由函数右传播波右传播波。的解，称为的解，称为左传播波左传播波常数常数为传播速度为传播速度。所描

21、述的振动规律，称为所描述的振动规律，称为同样，形如同样，形如图图3.13.1253.1.2 3.1.2 达朗贝尔解的物理意义达朗贝尔解的物理意义).()(),(atxgatxftxu(13)(13),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)xuO)(1xfu )0( t)(01atxfu)(0tt 1x01atx 2x02atx a由此可见，由此可见，通解通解(13)(13)表示弦上的任意扰动总是表示弦上的任意扰动总是以以行波形式行波形式分别分别向两个方向向两个方向传播出去，传播出去，正好是方程正好是方程(3)(3)中出现的常数中出现的

22、常数其传播速度其传播速度达朗贝尔解法达朗贝尔解法又称为行波法又称为行波法图图3.13.126内容小结内容小结),0,(2txuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)(4)(4)2)()(),(atxatxtxu.)(21atxatxda(18)(18)1 1无限长弦自由振动无限长弦自由振动问题问题的的达朗贝尔解达朗贝尔解为公式为公式).()(),(atxgatxftxu(13)(13)其中方程其中方程(3)(3)的的通解通解形式为形式为行波法或达朗贝尔解法行波法或达朗贝尔解法27内容小结内容小结2 2无限长弦强迫振动无限长弦强迫振动问题问题的的解解为公式为公式),0,(),(2txtxfuauxxtt )()0 ,(