圆的基本性质教案31圆1

1、圆教学内容 1圆的有关概念 2垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用教学目标 了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题 从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解重难点、关键 1重点：垂径定理及其运用 2难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题圆的概念： 在一个平面内，线段oa绕它固定的一个端点o旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆固定的端点o叫做圆心

2、，线段oa叫做半径以点o为圆心的圆，记作“o”，读作“圆o”问题1：图上各点到定点（圆心o）的距离有什么规律？问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？总结：（1）图上各点到定点（圆心o）的距离都等于定长（半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上 因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为o，半径为r的圆可以看成是所有到定点o的距离等于定长r的点组成的图形同时，我们又把 连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段ac，ab； 经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段ab； 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以a、c为端点的弧记作”，读作“圆弧”或“弧ac”大于半圆的弧（如图所示叫

3、做优弧，小于半圆的弧（如图所示）或叫做劣弧 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆思考：1圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？答：1圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，能找到无数多条直径 2.利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的因此，我们可以得到：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线例一：如图，ab是o的一条弦，作直径cd，使cdab，垂足为m （1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧例二：已知：直径cd、弦ab

4、且cdab垂足为m 求证：am=bm，. 分析：要证am=bm，只要证am、bm构成的两个三角形全等因此，只要连结oa、ob或ac、bc即可证明：如图，连结oa、ob，则oa=ob在rtoam和rtobm中 rtoamrtobm am=bm 点a和点b关于cd对称 o关于直径cd对称 当圆沿着直线cd对折时，点a与点b重合，与重合，与重合，结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧例3如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中，点o是的圆心，其中cd=600m，e为上一点，且oecd，垂足为f，ef=90m，求这段弯路的半径分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的

5、方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握 解：如图，连接oc 设弯路的半径为r，则of=（r-90）m oecd cf=cd=×600=300（m） 根据勾股定理，得：oc2=cf2+of2 即r2=3002+（r-90）2 解得r=545 这段弯路的半径为545m应用拓展例4有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽ab=60m，水面到拱顶距离cd=18m，当洪水泛滥时，水面宽mn=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由 分析：要求当洪水到来时，水面宽mn=32m是否需要采取紧急措施，只要求出de的长，因此只要求半径r，然后运用几何代

6、数解求r 解：不需要采取紧急措施 设oa=r，在rtaoc中，ac=30，cd=18 r2=302+（r-18）2 r2=900+r2-36r+324 解得r=34（m） 连接om，设de=x，在rtmoe中，me=16 342=162+（34-x）2 162+342-68x+x2=342 x2-68x+256=0 解得x1=4，x2=64（不合设） de=4 不需采取紧急措施本节课应掌握： 1圆的有关概念； 2圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴 3垂径定理及其推论以及它们的应用习题一、选择题1如图1，如果ab为o的直径，弦cdab，垂足为e，那么下列结论中，错误的是（ ）ac

7、e=de b cbac=bad dac>ad (1) (2) (3)2如图2，o的直径为10，圆心o到弦ab的距离om的长为3，则弦ab的长是（ ）a4 b6 c7 d83如图3，在o中，p是弦ab的中点，cd是过点p的直径，则下列结论中不正确的是（ ）aabcd baob=4acd c dpo=pd二、填空题1如图4，ab为o直径，e是中点，oe交bc于点d，bd=3，ab=10，则ac=_ (4) (5)2p为o内一点，op=3cm，o半径为5cm，则经过p点的最短弦长为_；最长弦长为_3如图5，oe、of分别为o的弦ab、cd的弦心距，如果oe=of，那么_（只需写一个正确的结论）

8、三、综合提高题1如图24-11，ab为o的直径，cd为弦，过c、d分别作cncd、dmcd，分别交ab于n、m，请问图中的an与bm是否相等，说明理由2如图，o直径ab和弦cd相交于点e，ae=2，eb=6，deb=30°，求弦cd长3（开放题）ab是o的直径，ac、ad是o的两弦，已知ab=16，ac=8，ad=8，求dac的度数答案:一、1d 2d 3d二、18 28 10 3ab=cd三、1an=bm 理由：过点o作oecd于点e，则ce=de，且cnoedm on=om，oa-on=ob-om，an=bm2过o作ofcd于f，如右图所示ae=2，eb=6，oe=2，ef=，o

9、f=1，连结od，在rtodf中，42=12+df2，df=，cd=2_b_a_c_o_d3（1）ac、ad在ab的同旁，如右图所示: ab=16，ac=8，ad=8， ac=（ab），cab=60°， 同理可得dab=30°， dac=30° （2）ac、ad在ab的异旁，同理可得：dac=60°+30°=90°弧、弦、圆心角教学内容 1圆心角的概念 2有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 3定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等 在同圆或

10、等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等教学目标 了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用 通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题重难点、关键 1重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两个推论和它们的应用 2难点与关键：探索定理和推导及其应用概念：如图所示，aob的顶点在圆心，像这样顶点在圆

11、心的角叫做圆心角问题：如图所示的o中，分别作相等的圆心角aob和aob将圆心角aob绕圆心o旋转到aob的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ =，ab=ab 理由：半径oa与oa重合，且aob=aob 半径ob与ob重合 点a与点a重合，点b与点b重合 与重合，弦ab与弦ab重合 =，ab=ab 因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？如图1，在o和o中，分别作相等的圆心角aob和aob得到如图2，滚动一个圆，使o与o重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得oa与oa重合 (1) (2)你能发现哪些等量关系

12、？说一说你的理由？定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等例1如图，在o中，ab、cd是两条弦，oeab，ofcd，垂足分别为ef（1）如果aob=cod，那么oe与of的大小有什么关系？为什么？（2）如果oe=of，那么与的大小有什么关系？ab与cd的大小有什么关系？为什么？aob与cod呢？ 分析：（1）要说明oe=of，只要在直角三角形aoe和直角三角形cof中说明ae=cf，即说明ab=cd，因此，只

13、要运用前面所讲的定理即可（2）oe=of，在rtaoe和rtcof中，又有ao=co是半径，rtaoertcof，ae=cf，ab=cd，又可运用上面的定理得到= 解：（1）如果aob=cod，那么oe=of 理由是：aob=cod ab=cd oeab，ofcd ae=ab，cf=cd ae=cf 又oa=oc rtoaertocf oe=of （2）如果oe=of，那么ab=cd，=，aob=cod 理由是： oa=oc，oe=of rtoaertocf ae=cf 又oeab，ofcd ae=ab，cf=cd ab=2ae，cd=2cf ab=cd=，aob=cod应用拓展 例2如图3和

14、图4，mn是o的直径，弦ab、cd相交于mn上的一点p，apm=cpm （1）由以上条件，你认为ab和cd大小关系是什么，请说明理由（2）若交点p在o的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由 (3) (4) 分析：（1）要说明ab=cd，只要证明ab、cd所对的圆心角相等，只要说明它们的一半相等 上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的 解：（1）ab=cd 理由：过o作oe、of分别垂直于ab、cd，垂足分别为e、f apm=cpm 1=2 oe=of 连结od、ob且ob=od rtofdrtoeb df=be 根据垂径定理可得：ab=cd （2）作o

15、eab，ofcd，垂足为e、f apm=cpn且op=op，peo=pfo=90° rtopertopf oe=of 连接oa、ob、oc、od 易证rtobertodf，rtoaertocf 1+2=3+4 ab=cd本节课应掌握： 1圆心角概念 2在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用习题一、选择题 1如果两个圆心角相等，那么（ ） a这两个圆心角所对的弦相等;b这两个圆心角所对的弧相等 c这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;d以上说法都不对 2在同圆中，圆心角aob=2cod，则两条弧ab与cd关系是（

16、） a=2 b> c<2 d不能确定 3如图5，o中，如果=2，那么（ ）aab=ac bab=ac cab<2ac dab>2ac (5) (6)二、填空题 1交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_ 2一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_3如图6，ab和de是o的直径，弦acde，若弦be=3，则弦ce=_三、解答题 1如图，在o中，c、d是直径ab上两点，且ac=bd，mcab，ndab，m、n在o上 （1）求证：=；（2）若c、d分别为oa、ob中点，则成立吗？2如图，以abcd的顶点a为圆心，ab为半径作圆，分别交bc、ad于e、f，若d

17、=50°，求的度数和的度数 3如图，aob=90°，c、d是ab三等分点，ab分别交oc、od于点e、f，求证：ae=bf=cd答案: 一、1d 2a 3c 二、1圆的旋转不变形 2或 33 三、1（1）连结om、on，在rtocm和rtodn中om=on，oa=ob，ac=db，oc=od，rtocmrtodn，aom=bon， （2） 2be的度数为80°，ef的度数为50°3连结ac、bd，c、d是三等分点，ac=cd=db，且aoc=×90°=30°，oa=oc，oac=oca=75°，又aec=oae+a

18、oe=45°+30°=75°，ae=ac，同理可证bf=bd，ae=bf=cd圆周角教学内容 1圆周角的概念 2圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对的圆心角的一半 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用教学目标 1了解圆周角的概念 2理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 3理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径 4熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用 设置情景，给

19、出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题重难点、关键 1重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题 2难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理3关键：探究圆周角的定理的存在问题： 1什么叫圆心角？2圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ （1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？例1：如图所示的o，我们在射

20、门游戏中，设e、f是球门，设球员们只能在所在的o其它位置射门，如图所示的a、b、c点通过观察，我们可以发现像eaf、ebf、ecf这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题 1一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？答案： 1一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个 2同弧所对的圆周角是没有变化的 3同弧上的圆周角是圆心角的一半 （1）设圆周角abc的一边bc是o的直径，如图所示 aoc是abo的外角 aoc=abo+bao oa=ob abo=bao aoc=abo abc=aoc（2）如图，圆周角abc的两边ab、ac在一条直径od