Z(六章5讲)选择定则

1、光电信息学院 李小飞第六章：微扰理论第六章：微扰理论第第五五讲：讲：光的发射和吸收光的发射和吸收 选择定则选择定则光吸收和发射光吸收和发射吸收mEkEmkhvkmB受激发射mEkEmkhvmkhvmkB自发发射mEkEmkhvmkA一、引言一、引言吸收吸收 系数系数自发发射系数自发发射系数受激发射受激发射系数系数 全量子地全量子地讨论光的发射和吸收要求首先对电磁场进行量子化,这属于量子电动力学和量子光子学的研究范围。 现在的我们只能采用半半经典半经典半量子量子的方法进行处理。即：原子用量子力学处理, 光被看作经典电磁场，计算受激发射受激发射和吸收吸收。自发发射自发发射是相对论量子力学的内容，而

2、爱因斯坦“借助统计物理学方法求出了它与受激发射的关系”，从而解决自发发射问题。、两、两点近似点近似忽略忽略光波中光波中磁场分量的磁场分量的作用作用照射在原子上的光波，其电场照射在原子上的光波，其电场 E E 和磁场和磁场 B B 对原子中电子对原子中电子的作用分别为（的作用分别为（CGSCGS）：）：22/EUeEreEaaeBMUB 二者之比：二者之比：eEaEceUUEB 光波光波中的中的磁场磁场和和电场电场对电子作用能之比，近似等于精细对电子作用能之比，近似等于精细结构常数结构常数 ，所以，所以磁场分量的作用磁场分量的作用可以忽略。可以忽略。22eeEEce ce2 1137aEceBL

3、cez 2B B E E二、光的吸收与受激发射光的吸收与受激发射201?4137ec It has been a mystery ever since it was discovered more than fifty years ago, and all good theoretical physicists put this number up on their wall and worry about it. Its one of the greatest damn mysteries of physics: a magic number that comes to us with no

4、 understanding by man. You might say the hand of God wrote that number, and we dont know how He pushed his pencil.光和物质的奇怪理论- Richard Feynman 任何电磁现象都可以用a的幂级数来表达，它度量了电磁相互作用中电荷间的耦合强度，它把电动力学中的电荷e e、量子力学中的普郎克常数h h、相对论中的光速c c联系起来，因此无法从第一性原理出发，目前只能通过实验进行测量！为伊消得人憔悴为伊消得人憔悴电场均匀近似电场均匀近似考虑沿z轴传播的单色偏振光，其电场可以表示为：

5、0)cos(20zyxEEtzEE 电场对电子的作用仅存在于电电场对电子的作用仅存在于电子活动的空间，即原子内部。子活动的空间，即原子内部。所以我们所讨论的问题中，所以我们所讨论的问题中，z z的的变化范围就是原子变化范围就是原子尺度尺度a a 1010-10-10 m m，而，而 10 10-6 -6 m m。42101z于是光波电场可改写为：于是光波电场可改写为：tEExcos0 即：原子即：原子范围内可以近似认为电场是范围内可以近似认为电场是均匀场。均匀场。、微扰微扰 Hamilton Hamilton 量量电子在上述电场中电子在上述电场中的势能的势能0210210cosexEFeeFe

6、eexEtexEexEHtitititix 其中 、 跃迁速率跃迁速率 wwkmkm(I). (I). 对光的吸收情况，对光的吸收情况， k k m m。单位时间由。单位时间由 k k 态跃迁到态跃迁到 m m 态的态的几率：几率：22102222022|()2|()|()2kmmkmkmkmkmkmkwFeE xe Ex 要计算要计算 E E0 0根据电动力学，光波能量密度(CGS)22220011()888IEBEEI平均对平均对一个周期进行一个周期进行_222210020_2221021cosTEEtdtETBEE代回公式，得单色偏振光作用下，原子的22202|()2kmmkmke Ew

7、x )(|4222 mkmkxIe、 自然光情况自然光情况对对自然光：非单色、非偏振光，我们必须作如下两点改进。自然光：非单色、非偏振光，我们必须作如下两点改进。（I I）去掉单色条件）去掉单色条件2224( )|()kmmkmkedwIxd 考虑在某一频率范围连续分布的考虑在某一频率范围连续分布的光，能量密度是光，能量密度是 的函数的函数 - I()- I()。在在 + + dd 间隔内间隔内，能量为，能量为： I()I()dd，有：，有：（II II）去掉偏振光条件）去掉偏振光条件对对各向同性的非偏振光，原子体系在单位时间内由各向同性的非偏振光，原子体系在单位时间内由 k k m m 态的

8、跃迁几率应该是上式对所有偏振方向求平态的跃迁几率应该是上式对所有偏振方向求平均，即：均，即：2224|( ) ()kmmkmkewxId )(|4222mkmkIxe 2222241()| 3kmmkmkmkmkewIxyz偶极矩近似偶极矩近似：(1)(1) 光波光波中磁场中磁场的作用忽略的作用忽略， (2)(2)光波光波中中电场用均匀电场用均匀电场近似电场近似上上式是吸收情况，式是吸收情况，对于受激发射情况，对于受激发射情况，同理可得：同理可得：2224()|3mkmkkmewIr222| )(34mkmkrIe 22| )(34mkmkDI mkmkDer其中定义的是电偶极矩所以称为偶极矩

9、近似。完毕！完毕！（1 1）禁戒跃迁禁戒跃迁从上面的讨论可知，原子从上面的讨论可知，原子 在光波作用下由在光波作用下由 k k 态跃态跃 迁到迁到 m m 态的几率：态的几率：2|kmmkwr禁戒跃迁：禁戒跃迁：当当 |r|rmkmk| |2 2 = 0 = 0 时时，偶极，偶极近似近似下的跃下的跃迁几率为零迁几率为零，即跃迁，即跃迁不发生。称为不发生。称为禁戒跃迁。禁戒跃迁。显然显然，要，要实现的实现的跃迁，必须满足跃迁，必须满足|r|rmkmk| |2 2 0 0 的条件的条件，即，即| |x xmkmk|, |, |y ymkmk|, |, |z zmkmk| |不能同时不能同时为零为零

10、。由此可导出选择定则。由此可导出选择定则。（2 2）选择定则）选择定则三、选择定则三、选择定则2|0kmr( )( , )nlmnllmRr Ynlmnl lm =原子中电子的原子中电子的本征函数本征函数为为方便，方便，在球坐标在球坐标下来计算矩阵元：下来计算矩阵元： cossin2sinsinsin2cossinrzeeirryeerrxiiii|sin | sin|2|sin| sin|2| cos|iiimkiiimkmkrxn l meenlmn l m renlmryn l meenlmn l m renlmizn l m rnlm 可见矩阵元可见矩阵元计算要计算三种类型：计算要计算

11、三种类型：| |sin|,| |cos|in lr nll melmx yn lr nll mlmz 2|0kmr( (I) I) 计算计算 利用球谐利用球谐函数递推式：函数递推式： mlllmlmlllmllm, 1|)12)(12(, 1|)32)(12()1(|cos2222 lmml|cos| mlmlllmlmlmlllml, 1|)12)(12(, 1|)32)(12()1(2222欲使矩阵元不欲使矩阵元不为零，则要求：为零，则要求： 011mmmlllmmllmmllmmllllmlllml 1,221,22)12)(12()32)(12()1( (II) II) 计算计算 |l

12、 m利用球谐函数利用球谐函数 递推式：递推式：sin|ielm 1, 1|) 12)(12() 1)(1, 1|)32)(12()2)(1(mlllmlmlmlllmlml lmemli|sin| 1, 1|) 12)(12() 1)(1, 1|) 32)(12() 2)(1(mlmlllmlmlmlmlllmlml欲使矩阵元不欲使矩阵元不为零为零，要求，要求： 1111mmmlllmmll1,1,1,1,)12)(12()1)()32)(12()2)(1( mmllmmllllmlmlllmlml 1,01mmmlll综合综合(I)(I)、(II) (II) 、(III)(III)，得偶极跃

13、迁选择定则，得偶极跃迁选择定则偶极近似下的偶极近似下的跃迁跃迁几率为零几率为零，可进一步计算更，可进一步计算更高级的近似。在高级的近似。在任意级近似任意级近似下，跃迁几率都为零的下，跃迁几率都为零的跃迁称为严格禁戒跃迁。跃迁称为严格禁戒跃迁。（）严格（）严格严格禁戒跃迁严格禁戒跃迁（III) III) 径向积分径向积分 在任意量子数下均在任意量子数下均不为不为零零 |r| n ln l 1,01mmmlll2m 1m 0m 1m 2m 1m 1m 0m 1n 2n 1,2,3,.0,1,2,.,1m0, 1, 2,.,nlmnlnl光辐射、吸收光辐射、吸收光子产生与湮灭光子产生与湮灭量子电动力

14、学量子电动力学电磁场量子化电磁场量子化在前面的讨论中在前面的讨论中，将，将光子产生与湮光子产生与湮灭问题转化灭问题转化为电磁场为电磁场作用下原子在作用下原子在不同能级之间的跃迁问题，从而用不同能级之间的跃迁问题，从而用非相对论量子力学进行了研究。非相对论量子力学进行了研究。但这种但这种简化的物理简化的物理图图象不能象不能合理自恰的合理自恰的解解释自发发射现象释自发发射现象这是因为，若初始时刻体系处于某一定态（例如某激发这是因为，若初始时刻体系处于某一定态（例如某激发能级），根据量子力学基本原理，在没有外界作用下，能级），根据量子力学基本原理，在没有外界作用下，原子的原子的HamiltonHam

15、ilton是守恒量，原子应该保持在该定态，是是守恒量，原子应该保持在该定态，是不会自发跃迁到低能级的不会自发跃迁到低能级的。EinsteinEinstein曾提出了一个半唯象的理论，曾提出了一个半唯象的理论，来处理来处理自发自发发射问题。他借助于物体与辐射场在达到平衡时的热力学发射问题。他借助于物体与辐射场在达到平衡时的热力学关系，建立了自发发射与关系，建立了自发发射与吸收、及吸收、及受激发射之间的关系。受激发射之间的关系。四、自发发射四、自发发射（1 1）吸收系数）吸收系数 设设原子在强度为原子在强度为 I(I(mkmk) ) 的光照射下的光照射下，从，从 k k 态到态到 m m 态（态（

16、m m k k）的）的跃迁速率为：跃迁速率为：()kmkmmkwB I吸收吸收 系数系数22224|3kmmkeBr与微扰论得到的与微扰论得到的公式比较公式比较2224()|3kmmkmkewIr得得：（2 2）受激发射系数）受激发射系数 对于对于从从m m 态到态到k k 态（态（m m k k）的受激发）的受激发射跃迁速率，射跃迁速率，EinsteinEinstein类似给出：类似给出：()mkmkmkwB I受激发射系数受激发射系数与与相应的微扰论相应的微扰论公式公式比较得：比较得：2222|34kmmkreB 由于由于 r r 是厄密算符，所以是厄密算符，所以22|mkkmrr 从而有

17、：从而有：mkkmBB 受激发射系数等于吸受激发射系数等于吸收系数收系数，与，与入射光的入射光的强度无关。强度无关。（3 3）自发发射系数）自发发射系数自发发射自发发射系数系数 A Amkmk 的的意义意义: :在光波作用下，单位时间内，在光波作用下，单位时间内，体系从体系从m m 能级跃迁到能级跃迁到k k 能级的几率是：能级的几率是：)(mkmkmkIBA 从从k k 能级跃迁到能级跃迁到m m 能级的几率是：能级的几率是：)(mkkmIB 自发发射自发发射受激发射受激发射电磁辐射平衡电磁辐射平衡时，必须时，必须满足满足条件条件：)()(mkkmkmkmkmkmIBNIBAN 在在没有外界

18、没有外界光的照射光的照射下，单位下，单位时间内原子从时间内原子从 m m 态到态到 k k 态态（m m k k）的跃迁几率。）的跃迁几率。k k 能级上的能级上的 原子数目原子数目m m 能级上的能级上的 原子数目原子数目能量密度：能量密度：mkmkmkmkmmkBNBNANI )( 求原子数求原子数 N Nk k 和和 N Nm m kTmkTkmkeTCNeTCN/)()( kTkTmkmkkmeeNN/ )( 11)(/kTmkmkmkmkeBAI 代入代入上式上式得：得： 1mkmkmkNNBA据麦克斯韦据麦克斯韦- - 玻尔兹曼分布律：玻尔兹曼分布律： dechdkTh118)(/

19、33 mkkTmkmkmkmkdeBAdImk 11)(/ dId)()( 所以所以 2dd 12118/33 kTmkmkkThmkmkmkeBAech mkmkmkmkmkBcBchA323334 12/ kThmkmkmkeBA 黑体辐射在频率间隔黑体辐射在频率间隔+d+d内的能量密度内的能量密度在角频率间隔在角频率间隔 +d+d内辐射光的能量密度内辐射光的能量密度得自发发射系数得自发发射系数mkmkmkBcA323 2222323|34kmmkrec 自发发射自发发射系数系数 A Amkmk是否为零也由是否为零也由| r| rmkmk| |2 2决定，决定，所以所以自发发射与受激发射具

20、有同样的选择定则。自发发射与受激发射具有同样的选择定则。2332|34kmmkrce （4 4）自发跃迁辐射强度）自发跃迁辐射强度A Amkmk 单位时间内原子从单位时间内原子从m m 自发跃迁自发跃迁到到 k k 的几率，的几率，与此同时与此同时，原子发射一个，原子发射一个 mkmk 的光子。的光子。 N Nm m 处于处于m m 态的原子数目，态的原子数目， N Nm mA Amkmk单位时间内发生自发单位时间内发生自发跃迁的原子跃迁的原子数数（m m k k）。）。也也是是发射出能量发射出能量为为 m m k k 的光子数。的光子数。mkmkmmkANJ 频率为频率为 mkmk 的的光的

21、总辐射光的总辐射强度强度mkkmmkmrceN 2332|34 2342|34kmmkmrceN （5 5）原子处于激发态的寿命）原子处于激发态的寿命 处于激发态处于激发态m m 的的N Nm m 个原子个原子中，在时间中，在时间 dtdt 内自发跃内自发跃迁到低能态迁到低能态k k 的数目是的数目是dtNAdNmmkm 负号表示负号表示激发态激发态 原子数的减少原子数的减少 积分得：积分得： /( )(0)(0)mkmkA ttmmmNtNeNe平均寿命平均寿命 如果在如果在m m 态以下存在许多低能态态以下存在许多低能态 k k ( ( k=1,2,k=1,2,i i ) )单位时间内单位

22、时间内m m 态自发跃迁的总几率为：态自发跃迁的总几率为： mkikmAA 1原子处于原子处于m m 态的态的平均寿命：平均寿命： mkkmmAA 11 （1） 受激辐射的重要受激辐射的重要应用应用受激辐射的特点：出射光束的光子与入射光子的状态受激辐射的特点：出射光束的光子与入射光子的状态完全相同完全相同 （能量、传播方向、相位）。（能量、传播方向、相位）。I 微波量子放大器微波量子放大器 II 激光器激光器自发辐射自发辐射的光子引起的光子引起受激辐射连锁反应，形受激辐射连锁反应，形成激光成激光入射入射光子光子引发受激辐引发受激辐射过程射过程五、五、微波量子放大器和激光微波量子放大器和激光受激

23、发射mEkEmkhvmkhvkmNN 单位单位时间时间内内受激发射受激发射应应超过吸收。要求超过吸收。要求处于高、处于高、低能态的粒子数低能态的粒子数 Nm 和和Nk 满足：满足：根据根据 Boltzmann Boltzmann 分布，分布，热平衡下，粒子数热平衡下，粒子数分布为：分布为：1kmEEkTkmeNN 能级越高，原子数越少。能级越高，原子数越少。 m 态与态与 k 态的能量差一般大于态的能量差一般大于 1 eV 11605 0 K (常温常温300 0 K )，所以常温，所以常温热平衡态，热平衡态，原子几乎全部处于基态，处原子几乎全部处于基态，处于激发态的微乎其微于激发态的微乎其微。要产生。要产生Nm Nk 必须实现粒子数反转必须实现粒