圆锥曲线知识点

1、圆锥曲线一、基本概念定 义方 程关系离心率椭圆， 看到椭圆上的点与焦点的连线段就想到和为常数，焦点长轴，短轴焦距长半轴，短半轴，半焦距双曲线当心绝对值， 看到双曲线上的点与焦点的连线段就想到差的绝对值为常数，焦点实轴，虚轴焦距长半轴，短半轴，半焦距求渐近线就是把常数改成0解出两个直线方程抛物线动点到定点的距离 = 动点到定直线的距离标准式：，一次项未知数决定型，符号决定正负型。看到曲线上的点与焦点的连线段就想到转化点到准线的距离看到曲线上的点到准线的距离就想到转化点与焦点的连线段焦点与准线对称分居原点两侧，是椭圆1、椭圆定义：第一定义：平面内到两定点、（=）的距离之和为定值（>）的动点的

2、轨迹，叫做椭圆。 其中两定点、为椭圆的焦点。第二定义：平面内到一定点与到一定直线的距离之比为定值（）的动点的轨迹，叫做椭圆。 其中定点叫椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线。第一定义中： 若=，轨迹为线段；若<，则无轨迹。第二定义中： 一要注意比的次序；二要注意焦点与准线的对应；三是椭圆有两个焦点，两条准线。2、椭圆的标准方程与性质：图形相同点长轴长；短轴长；（）关于x轴、y轴、原点对称不同点方程范围焦点；顶点，准线焦半径；3、与椭圆有关的结论和性质（1）椭圆的通径：过椭圆的焦点与长轴垂直的直线被椭圆截得弦，叫椭圆的通径。 椭圆的通径长为：（其中为离心率，为焦准距）（2）在椭圆的焦点f1pf2

3、中，若f1pf2=，则此三角形的面积为。（焦点三角形中，常用椭圆的第一定义、余弦定理或勾股定理、正弦定理） （双曲线中）（3）椭圆与椭圆有相同的焦点。椭圆与椭圆有相同的离心率。（5）过椭圆的左焦点f1的弦ab与右焦点构成的abf2的周长为定值：（过双曲线的左焦点f1的弦ab与右焦点构成的abf2的周长为定值：，m为弦ab的长度。）（6）在椭圆的所有焦点弦中，以垂直于焦点所在对称轴的弦（通径）长最短为；以长轴最长为2a。（7）从椭圆上一点p看两焦点的视角的最大值的余弦为（当p点在短轴端点处取到）（8）过椭圆的中心o的弦ab与一个焦点构成的三角形的面积的最大值为。（利用对称性）（9）椭圆上到中心的

4、最短距离为b（在短轴端点处取到），最长距离为a（在长轴端点处取到）（10）椭圆上到焦点距离最远的点为远地点，为a+c；最近的点为近地点，为a-c。（11）斜率为k的直线与椭圆交于a、b两点，ab的中点m的轨迹为过原点的线段，其斜率与k之间有：。（双曲线： ） （弦的中点问题：韦达定理；点差法）（12）椭圆的焦半径与双曲线有关的性质和结论1， 双曲线的渐近线方程是：；准线方程：；双曲线的渐近线方程是：；准线方程：。2， 与双曲线共渐近线的双曲线方程：；已知双曲线的渐近线方程为，则设双曲线方程为。3， 双曲线的焦点到渐近线的距离是b。4， 等轴双曲线的渐近线方程是；离心率；等轴双曲线方程可设为5，

5、 与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点（此时二次项系数为0）与抛物线有关的结论和性质1，平面内动点到定点的距离等于定直线的距离的点的轨迹是抛物线（定点不在定直线上）或过定点且与定直线垂直的一条直线（定点在定直线上）2，抛物线的焦点是f，过焦点f的直线与抛物线相交与a，b两点，设则（1）通径长2p且是过焦点弦中最短的一条弦；（2）；（3）以ab为直径的圆与准线相切；（4）ab=（为直线ab的倾斜角）；（若焦点在y轴上，则ab=；（5）；（6）。3，过抛物线的顶点o作,与抛物线交与a,b，则直线ab过抛物线对称轴上的一个定点（2p，0）；反之也成立。4，与抛物线对称轴平行的直线与抛物线只

6、有一个交点（此时二次项系数为0）.直线与圆锥曲线1，位置关系的判断：直线与圆锥曲线方程联立方程组，消x（或y），通过来判断（当心二次项系数）。2，直线与圆锥曲线相交； （1）弦长：ab（利用韦达定理）； （2）过焦点的弦可利用焦半径公式；（3）弦的中点问题可利用韦达定理或点差法求解（验证）求点的轨迹方程1，常用方法：直接；定义法；相关点代入法；参数法；交轨法。2，区分点的轨迹和点的轨迹方程；注意最后一步去杂补缺练习：1、已知点p在抛物线y2 = 4x上，那么点p到点q（2，1）的距离与点p到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点p的坐标为 2、已知点p是抛物线上的一个动点，则点p到点（0，2）的距

7、离与p到该抛物线准线的距离之和的最小值为 3、抛物线的焦点坐标是 ，准线方程是 。焦点和准线的形式统一性二、各种不同的考法 考点一：考方程形式练习：1、”是”方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）（）（a）充分而不必要条件 （b）必要而不充分条件 （c）充要条件 (d) 既不充分也不必要条件高2、设椭圆（，）的焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为 3、曲线的虚轴长是实轴长的两倍，则 4、如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是 5、椭圆的离心率为，则的值为 _6、当时，曲线与曲线的（ ）a离心率相等b焦距相等 c焦点相同 d形状相同考点二：求圆锥曲线的方程，直译法；代定系数法

8、；定义法；已知渐近线方程为，求双曲线方程练习：1、两点，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积是 2、设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,动点的轨迹为e.求轨迹e的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;3、已知椭圆c的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的圆边形是一个面积为8的正方形，则椭圆c的方程： 4、设椭圆c1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线c2上的点到椭圆c1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线c2的标准方程为 5、已知双曲线的两个焦点为，p是此双曲线上的一点，且，则该双曲线的方程是 6、已知是圆为圆心）上一动点，线段ab的垂直平分线交bf

9、于p，则动点p的轨迹方程为 .7、已知双曲线的一条渐近线为，且过，则双曲线方程为 考点三、考圆锥曲线的方程的焦点、渐近线、长短轴、离心率、焦点三角形、抛物线的准线方程等基本概念：特别是求离心率（或范围），得到一个关于、的等量关系式（或不等式）；把用、代替，得到关于、方程（或不等式）；同除化为关于方程（或不等式）；练习：1、双曲线的渐近线与圆相切，则 2、椭圆的焦点为，点p在椭圆上，若，则 ；的大小为 3、已知双曲线的左、右焦点分别为，其一条渐进线方程为点在该双曲线上，则 4、设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为 5、设和为双曲线()的两个焦点, 若，是正三角形的三个顶点,则双曲

10、线的离心率为 6、过双曲线c：的一个焦点作圆的两条切线，切点分别为a.b，若（o是坐标原点），则双曲线线c的离心率为 7、已知椭圆的左、右焦点分别为若椭圆上存在点使，则该椭圆的离心率的取值范围为_8、已知椭圆+=1（a>b>0）的左焦点为f，右顶点为a，点b在椭圆上，且bf轴，直线ab交y轴于点p.若,则椭圆的离心率是 9、设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于 10、如图，在平面直角坐标系中，为椭圆 的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点t，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 考点四、直线与二次曲线的关系练习：1、已知直线与抛物线相交、两点，为的

11、焦点。若,则 2、已知抛物线的顶点坐标为原点，焦点在轴上，直线与抛物线交于、两点，若为的中点，则抛物线的方程为 3、设斜率为2的直线过抛物线的焦点f,且和轴交于点a,若oaf(o为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为 4、已知抛物线，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值是 5、直线与抛物线交与两点，过两点向抛物线准线作垂线，垂足分别为，则梯形的面积为 解答题1、已知椭圆的离心率为 ，过右焦点的直线与椭圆相交于、两点，当 的斜率为1时，坐标原点到的距离为，求,的值；上是否存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的的坐标与的方程；若不存在，说明理由。2、已知直线经过椭圆的左顶点a和上顶点d，椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点。求椭圆的方程；求线段mn的长度的最小值；当线段mn的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数