4-5证明不等式的基本方法一比较法学案

1、精品资源欢迎下载一比较法1 .作差比较法(1)作差比较法的理论依据 ab>0? a>b, a b<0? a<b, ab=0? a= b.(2)作差比较法解题的一般步骤：作差；变形整理，判定符号，得出结论.其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定差与0的大小,常用的手段有因式分解、配方、通分、分子或分母有理化等.2.作商比较法(1)作商比较法的理论依据是不等式的基本性质：一 .a .ab>°,右 b>1,则 a>b；右b<1,则 a<b；b<0,若豺，则a<b；若b<1,则a>b.(2)作商

2、比较法解题的一般步骤：判定 a, b的符号；作商；变形整理；判定与 1的大小关系；得出结论.作差比较法证明不等式设ABC勺三边长分别是 a, b, c,求证：4(ab+bc + ac)>( a+b+c)2.作差法证明，注意条件“在同一个三角形中，任意两边之和大于第三边”的应用. a, b, c是 ABC的三边长，. a>0, b>0, c>0,且 b+ca>0, c+ab>0, a+bc>0.1- 4( ab+ bc+ ac) (a + b+ c) 2= 2( ab+ bc+ ac) (a2+ b2+ c2)=(b+c a) a + (c+ a- b)

3、 b+ (a+b c) c>0.24( ab+ bc+ ac)>( a+ b+ c).方法*规律小结(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用 考虑差能否化简或值是多少.(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有 效的恒等变形的方法.一个常数或几个因式积的形式,常用配方法判(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为 当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，断符号.有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论.1 .求证：a2+ b2>2(a- b- 1).证明

4、：a+b 2( a b 1) = (a 1) +(b+1) >0,，a + b>2(a b 1).2 .已知 a, bCR+, nCN+,求证：(a+b)( an+bn)w2(an+1 + bn+1).证明：.(a+b)(an+bn)ZlaS + b-1)= an+1+abn+ban+bn+1-2an+1-2bn+1=a( bn an) + b(anbn) = (a b)( bn-an).若 a>b>0 时，b 一 a<0,a- b> 0, (a一 b)(b 一 a )<0.若 b>a>0 时，b 一 a>0,a- b<0. (

5、a一 b)( b一 a )<0.若 a= b>0 时，(bn - an)( a- b) = 0.综上所述，对于 a, bCR+, ne N*,都有(a+b)( an + bn尸2(成十二加+1).一.1作商比较法证明不等式、一,、 a ba+b设 a>0, b>0,求证：ab>(ab)2.不等式两端都是指数式，它们的值均为正数，可考虑用求商比较法.a ba+ b- ab>0, (ab)>0,aabba- b b- a /"aba+b=aT , b-2-= g n-ab 2"当a = b时，显然有1；当 a>b>0 时，a

6、>1, ar-b>0, b 2由指数函数单调性，有a aE-b>1；b 2当 b>a>0 时，0<a<1, ab<0, b 2，由指数函数的单调性，有 。02*>1.a ba+ b综上可知，对任意实数 a, b,都有ab>(ab)一厂.方法规律小结当欲证的不等式两端是乘积形式或哥指数形式时，常采用作商比较法，用作商比较法时,如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果与 1比较.3.设a>b>0,求证:a2 b2 a ba2 + b2>a+ b.证明：法a2b2 ab ab L a + b 2 a2+

7、b2 _2ab aba2+ b2 aTb =a2+b2aTb= a2+b2a+b，原不等式成立.法二：< a>b>0,故a2>b2>0.故不等式左边>0,不等式右边>0.左边 a+b 2 - 2ab 一 .必4一 石还=可+=1+a而>1. 原不等式成乂 4 .如果a, b都是正数，且awb,求证a6+ b6>a4b2+a2b4.证明：法a6+b6a4b2 + a2b4a2+b2a4a2b2+b4a4+ b4 a2b2a2b2 a2+b2=a2b2a2b2- a2b2° 664224>a2b2= 1.又 a + b >

8、0, a b + a b >0,，a6 + b6>a4b2 + a2b4.法二：a6+ b6- a4b2- a2b4= a4( a2- b2) + b4( b2-a2) = (a2- b2)( a4- b4) = (a2 b2) 2( a2+ b2). aw b, .(a2-b2)2>0, a2+b2>0, (a2b2)2(a2 + b2)>0. .a6+b6>a4b2 + a2b4.比较法的实际应用甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点， 甲有一半时间以速度 m行走，另一半 时间以速度n行走；乙有一半路程以速度 m行走，另一半路程以速度 n行走.如果 n

9、, 问：甲、乙二人谁先到达指定地点？先用m, n表示甲、乙两人走完全程所用时间，再进行比较.设从出发地点至指定地点的路程为s,甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为ti,t2 ,依题意有：tl tl万m+ ” = s+f"=t2.2m 2n2ss n-tl = m?7，t2=2mn2s nm+ n2mns4 mn-n 2s m- n 2=.2mn n2mnn其中s, m n都是正数，且nr5 n,.tl-t2<0,即 tl<t2.从而知甲比乙先到达指定地点.方法*攘律小结应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题解决，建立数学模型是解应用

10、题的关键，最后利用不等式的知识解.在实际应用不等关系问题时，常用比较法判断数的大小关系，若是选择题或填空题则可用特殊值加以判断.领做案钟5 .某人乘出租车从 A地到B地，有两种方案：第一种方案，乘起步价为10元，每千米1.2元的出租车；第二种方案，乘起步价为8元，每千米1.4元的出租车.按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的路程是相等的.则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适？解：设A地到B地距离为m千米.起步价内彳T驶的路程为 a千米.显然当 me a时，选 起步价为8元的出租车比较便宜.当 m>a时，设m= a+x(x>0),乘坐起步价为10元的出租 车费用为

11、Rx)元，乘坐起步价为 8元的出租车费用为 Qx)元，则Rx) = 10+1.2 x, Qx) = 8+1.4 x.Rx)Qx) =20.2 x=0.2(10 x),.当x>10时，Rx)<Qx),此时选择起步价为 10元的出租车较为合适；当 x<10时， Rx)>Qx),此时选起步价为 8元的出租车较为合适；当 x=10时，P(x)=Qx),两种出租 车任选，费用相同.课时跟我检测(六)1.下列命题：a当b>0时，a>b?1>1 ； b一 . a当 b>0 时，a<b? -<1； b一,a当 a>0, b>0 时，b&g

12、t;1? a>b；一 .a当 ab>0 时，->1? a>b. b其中是真命题的有（）A.C.解析：选A只有不正确.如2.若 x, yC R,记 w= x2+3xyA. w>uB.D.a=2, b=1 时，a=2>1,但 a<b.u = 4xy y2,则()B. w<u C . w> uD.无法确定解析：选C w u = xxy + y= x3. a, b都是正数，P=亚点也，Q= 后7b，则P，Q的大小关系是（A. P>QB. P<Q C . P> Q D. P< Q解析：选D /a, b都是正数，P>0,

13、Q>0.P2-Q2=ab ）-（OTb）2=一 次"也< 0（当且仅当a= b时取等号）， .P2-Q2<0,P< Q4.在 ABC43, sin Asin C<cos Acos C,则 ABC )A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D.不确定解析：选 C 由 sin Asin C<cos Acos C,得cos Acos C sin Asin 。0,即 cos(A+ C)>0,所以A+ C是锐角，从而B>：,故 ABCH定是钝角三角形.5.若110<x<1,则与/的大小关系是x x解析:1 1

14、_x x2x- 1因为0<x<1,11所以x /<0,-1 1所以一<一x x2a ,，一6 .不2与1的大小关系为解析:2a,2a- 1 - a22121+a 1+a答案:2a_2<11 + a7 .设解析:a>b>0, x= yja+b- yfa, 丫 = 乖4一b,则x, y的大小关系是x 、/a+ b_、a y/a + /a b y/a + Ja+ b-=4= = 9 1<¥ 1=1,且 x>0, y>0,y Ja a b Ja+qa+b qa + a+bx<y.答案：x<y8 .已知 x, yCR,求证

15、：sin x+siny< 1 + sinxsiny.证明：: sin x+ sin y 1 sin xsinsin y)(sinx 1).=sin x(1 sin y) (1 sin y) = (1.1 1< sin x< 1, 1< sin y< 1,1.1 sin y>0, sin x 1 < 0,(1 sin y)(sinx 1) < 0,即 sin x+ sin y< 1 + sin xsin y.9.已知 a<b<c,求证： ab+b2c+c2a<ab2 + bc2+ca2.证明：因为 a<b<c,所以 a- b<0, b- c<0, a- c<0, 所以(a2b+ b2c+ c2a) (ab2 + bc2 + ca2)=(a2b - ca2) + (b2c bc2) + (ac2 ab2)2 ,=a (b c) + bc( b c) a( b c)( b+c)=(b c) = (b c)( a b)( a c)<0 ,所以 a2b+ b2c+ c2a<ab2+ bc2+ ca2.10.已知a>2,求证:log a(a1)<iog(a+1)a.证明：a>2,log a( a