高考数学立体几何初步专题三垂线定理学案

1、基础过关第5课时 三垂线定理基础过关1和一个平面相交，但不和这个平面 的直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交点叫做 2射影(1) 平面外一点向平面引垂线的 叫做点在平面内的射影；(2) 过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的 斜线上任意一点在平面上的射影一定在 垂线在平面上的射影只是 直线和平面平行时，直线在平面上的射影是和该直线 的一条直线coba3如图，ao是平面斜线，a为斜足，ob，b为垂足，ac，oab，bac，oac，则cos 4直线和平面所成的角平面的斜线和它在这个平面内的 所成的 叫做这条直线和平面所成角斜线和平面所成角，是这条斜线和平面内任一条直线所成角中 5三垂线定理：在平面内的一

2、条直线如果和这个平面的一条斜线的 垂直，那么它也和 垂直逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 垂直，那么它也和这条 垂直典型例题例1. 已知rtabc的斜边bc在平面内，a到的距离2，两条直角边和平面所成角分别是45°和30°求：(1) 斜边上的高ad和平面所成的角；(2) 点a在内的射影到bc的距离答案：(1) 60° (2)变式训练1：如图，道旁有一条河，河对岸有电塔ab，塔顶a到道路距离为ac，且测得bca30°，在道路上取一点d，又测得cd30m，cdb45°求电塔ab的高度dabc解：bc30，abbc tan30

3、6;10例2如图，矩形纸片a1a2a3a4，b、c、b1、c1分别为a1 a4、a2a3的三等分点，将矩形片沿b1a1 b c a4a1a2 b1 c1 a3a2c1cbbb1，cc1折成三棱柱，若面对角线a1b1bc1；求证：a2ca1b1解：取a2b1中点d1 a2c1b1c1 c1d1a2b1又a1a2面a2b1c1 c1d1a1a2c1d1面a1a2b1b bd1是bc1在面a2b上的射影由a1b1bc1 bd1a1b1取a1b中点d 同理可证a2d是a2c在面a2b上的射影a2dbd1 a2dbd1是平行四边形由bd1a1b1 a1b1a2da2ca1b1 a1c1b1mncpba变

4、式训练2：如图，在正三棱柱abca1b1c1中，ab3，aa14，m为aa1中点，p是bc上一点，且由p沿棱柱侧面经过棱cc1到m的最短路线长，设这条最短路线与cc1交点n，求：(1) pc和nc的长；(2) 平面nmp与平面abc所成二面角(锐角)大小解：将侧面bb1c1c绕棱cc1旋转120°使其与侧面aa1c1c在同一平面上，点p运动到点p1的位置，连接mp1，则mp1就是由点p沿棱柱侧面经过棱cc1到点m的最短路线设pcx，则p1cx，在rtmap1中，由勾股定理得x2pcp1c2 nc(2) 连接pp1，则pp1就是平面nmp与平面abc的交线，作nhpp1于h，又cc1平

5、面abc，连结ch，由三垂线定理得chpp1nhc就是平面nmp与平面abc所成的平面角(锐角)在rtphc中 pchpcp160° ch1d1c1b1a1badfce在rtphc中 tannhc故平面nmp与平面abc所成二面角大小为arctan例3.如图在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，点e是棱bc的中点，点f是棱cd上的动点(1) 试确定点f的位置，使得d1e面ab1f；(2) 当d1e面ab1f时，求二面角c1efa大小解：(1) 连结a1b，则a1b是d1e在面abb1a1内的射影ab1a1b d1eab1于是d1e平面ab1f d1eaf连结de，则de是d1

6、e在底面abcd内的射影d1eafdeafabcd是正方形，e是bc的中点当且仅当f是cd的中点时，deaf即当点f是cd的中点时，d1e面ab1f(2) 当d1e平面ab1f时，由(1) 知点f是cd的中点，又已知点e是bc的中点，连结ef，则efbd连ac，设ac与ef交点h，则chef，连c1h，则ch是c1h在底面abcd内的射影c1hef 即c1hc是二面角c1efc的平面角在rtc1hc中 c1c1 chactanc1hc c1hcarctan 2ahc1arctan2变式训练3：正方体abcda1b1c1d1中棱长a，点p在ac上，q在bc1上，apbqa，(1) 求直线pq与平

7、面abcd所成角的正切值；(2) 求证：pqad(1) 解：过q作qmcc1交bc于m 则qm面abcd qpm就是所求角即 pmab在rtpqm中 pm qmtanqpm1(2) 由(1) 可知pmbc pq在面abcd内的射影是pm.pqbc 又adbc pqad例4如图，在长方体abcda1b1c1d1中，adaa11，ab2，点e在棱ab上移动(1) 证明：d1ea1d；(2) 当e为ab的中点时，求点e到面acd1的距离；aa1c1d1bcedb1(3) ae等于何值时，二面角d1ecd的大小为 (1) 证明： ae平面aa1dd1，a1dad1，a1dd1e(2) 设点e到面acd

8、1的距离为h，在acd1中，accd1，ad1，··，而·ae·bc·dd1·h×1×h， h(3) 过d作dhce于h，连d1h、de，则d1hce，dhd1为二面角d1ecd的平面角设aex，则be2x在rtd1dh中，dhd1，dh1在rtade中，de，在rtdhe中，ehx，在rtdhc中，ch，ce，则x，解得x2即当x2时，二面角为d1ecd的大小为pabcd变式训练4：如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是边长为a的正方形，且pda，papca(1) 求证：pd面abcd；(2) 求直线pb与a

9、c所成角；(3) 求二面角apbd大小证明：(1) pca pddca pd2dc2pc2pdc是直角三角形 pddc同理pdda 又dadcdpd平面abcd(2) 连bd abcd是正方形 acbd又pd平面abcd acpb(三垂线定理)pb与ac所成角为90°(3) 设acbd0 作aepb于e，连oeacbd pd平面abcd ac面abcdpdac ac平面pdb又oe是ae在平面pdb内的射影oepb aeo就是二面角apbo的平面角又aba pa pbpd面abcd daab paab在rtpab中 ae·pbpa·ab ae ao小结归纳sinaeo aeo60°1求直线和平面所成的角的一般步骤是一找(作)，二证，三算寻找直线在平面内的