仰角、俯角和方位角(五)

1、解直角三角形（仰角仰角 俯角俯角 方位角方位角）2012.1.8在直角三角形中在直角三角形中,除直角外除直角外,由已知由已知两两元素元素 求其余未知元素的过程叫解直角三角形求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形解直角三角形(1)三边之间的关系三边之间的关系:a2b2c2（勾股定理）；（勾股定理）；2.解直角三角形的依据解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系两锐角之间的关系: A B 90；(3)边角之间的关系边角之间的关系:abctanAabsinAaccosAbc(必有一边必有一边)(4)面积公式面积公式 S=12ab=12chh铅铅垂垂线线水平线水平线视线视线视线视线仰角仰

2、角俯角俯角在进行观察或测量时，在进行观察或测量时， 仰角和俯角仰角和俯角从上往下看，视线与水平线的夹角叫做从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角俯角.从下向上看，视线与水平线的夹角叫做从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角仰角；【例例1 1】如图，直升飞机在跨江大桥如图，直升飞机在跨江大桥AB的上方的上方P点处，此时飞机离地面的高度点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为分别为=30，=45，求大桥的长，求大桥的长AB .450米米 合作与探究合作与探究解：解：由题意得，在由题意得，在RtPAO与

3、与RtPBO中中30 ,45PAOPBO tan 30 ,tan 45POPOOAOB450450 3,tan30OA450450tan45OB (450 3450)( )ABOAOBm(450 3450) .m答：大桥的长答：大桥的长AB为为 PABO答案答案: : 米米)2003200( 合作与探究合作与探究变题变题1 1：如图，直升飞机在长如图，直升飞机在长400米的跨江大桥米的跨江大桥AB的上方的上方P点处，且点处，且A、B、O三点在一条直线三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30和和45 ，求飞机的高度，求飞机的高度PO .ABO30

4、45400米米Pxx1、如图，为了测量电线杆的高度、如图，为了测量电线杆的高度AB，在离，在离电线杆电线杆30米的米的C处，用高处，用高1.20米的测角仪米的测角仪CD测得电线杆顶端测得电线杆顶端B的仰角的仰角a30，求电线，求电线杆杆AB的高的高图19.4.4 1.2030=3002、在山脚、在山脚C处测得山顶处测得山顶A的仰角为的仰角为45。问。问题如下：题如下：1）沿着水平地面向前）沿着水平地面向前300米到达米到达D点，在点，在D点点测得山顶测得山顶A的仰角为的仰角为600 , 求山高求山高AB。DABCxx345 60300米米AB还可以怎样表示？那么这是先利用那个三角形？若设AB为

5、x,又该怎样找关系？xABC2)、在山脚、在山脚C处测得山顶处测得山顶A的仰角为的仰角为450。问题如下：。问题如下：变式：变式： 沿着坡角为沿着坡角为30 的斜坡前进的斜坡前进300米到达米到达D点，在点，在D点测得山顶点测得山顶A的仰角为的仰角为600 ,求山高求山高AB。30DEFxx300603、在山顶上、在山顶上D处处有一铁塔，在塔顶有一铁塔，在塔顶B处测得地面上一处测得地面上一点点A的俯角的俯角=60o，在塔底，在塔底D测得点测得点A的俯角的俯角=45o，已，已知塔高知塔高BD=30米，求山高米，求山高CD。ABCD30米米3045xx4530OBA200米米 合作与探究合作与探究

6、例例2 2：如图，直升飞机在高为如图，直升飞机在高为200米的大楼米的大楼AB上上方方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为角为30和和45，求飞机的高度，求飞机的高度PO .LUD答案答案: : 米米)3003100(P 合作与探究合作与探究例例2 2：如图，直升飞机在高为如图，直升飞机在高为200米的大楼米的大楼AB上上方方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为角为30和和45，求飞机的高度，求飞机的高度PO .4530POBA200米米C 合作与探究合作与探究4530POBA200米米C例例2 2：如图，直升

7、飞机在高为如图，直升飞机在高为200米的大楼米的大楼AB上上方方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为角为30和和45，求飞机的高度，求飞机的高度PO . 合作与探究合作与探究例例2 2：如图，直升飞机在高为如图，直升飞机在高为200米的大楼米的大楼AB上上方方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为角为30和和45，求飞机的高度，求飞机的高度PO .4530POBA200米米C仰角、俯角问题中的基本图形仰角、俯角问题中的基本图形A D B C A D B C ABCDABCD1.如图，某飞机于空中如图，某飞机于空中

8、A处探测到目标处探测到目标C，此时，此时飞行高度飞行高度AC=1200米米，从飞机上看地平面控制从飞机上看地平面控制点点B的的俯角俯角=30 ，求飞，求飞机机A到控制点到控制点B的距离的距离.A AB BC C2. 两座建筑两座建筑AB及及CD，其，其地面地面距离距离AC为为50米米，从，从AB的顶点的顶点B测得测得CD的顶的顶部部D的的仰角仰角300, ,测得测得其底部其底部C的的俯角俯角a600, , 求两座建筑物求两座建筑物AB及及CD的的高高.（ 第2题 ） 120050米米3060301 1数形结合思想数形结合思想. .方法：方法：把数学问题把数学问题转化成解直角三角形转化成解直角三

9、角形问题，问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，助线，构造出直角三角形构造出直角三角形. . 思想与方法思想与方法2 2方程思想方程思想. .3 3转化（化归）思想转化（化归）思想. .【总结总结】（1 1）、有关实际应用的问题，解法步骤：）、有关实际应用的问题，解法步骤：弄清已知条件及要求解的问题。弄清已知条件及要求解的问题。画图将实际问题画图将实际问题转化转化为数学问题。为数学问题。寻找解题途径。寻找解题途径。解、答解、答（2 2）、如果图中无直角三角形，可适当地作垂）、如果图中无直角三角形，可适当地作垂线等辅助线，线等辅助线，“化斜为

10、直化斜为直”，“善于转化善于转化”为为解直角三角形问题。解直角三角形问题。（3 3）、解直角三角形的有关问题常通过）、解直角三角形的有关问题常通过设未知设未知数、列方程（组）数、列方程（组）来解，也比较容易。常常设来解，也比较容易。常常设图形中具有图形中具有“双重身份双重身份”的线段或者是两个三的线段或者是两个三角形联系密切的特殊线段为未知数。角形联系密切的特殊线段为未知数。n指南或指北的方向线与目标方向线构成小于指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角的角,叫做方位角叫做方位角.n如图：点如图：点A在在O的北偏东的北偏东30n点点B在点在点O的南偏西的南偏西45（西南方向（西南方向或

11、南偏西或南偏西45）3045BOA东东西西北北南南例例1. 如图，一艘海轮位于灯塔如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东的北偏东45方向，距方向，距离灯塔离灯塔80海里的海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔到达位于灯塔P的南偏东的南偏东30方向上的方向上的B处，这时，海处，这时，海轮所在的轮所在的B处距离灯塔处距离灯塔P有多远？有多远？4530PBCA80东北你认为货船继续你认为货船继续向西航行途中会向西航行途中会有触礁的危险吗有触礁的危险吗? ?B 想一想想一想船有触礁的危险吗？船有触礁的危险吗？1、 审题，画图。审题，画图。 茫茫大海中有茫茫大海中

12、有一个小岛一个小岛A,A,该岛四该岛四周周1616海里内有暗礁海里内有暗礁. .今有货船由东向西今有货船由东向西航行航行, ,开始在距开始在距A A岛岛3030海里南偏东海里南偏东60600 0的的B B处处, ,货船继续向货船继续向西航行。西航行。60观测点观测点被观测点被观测点A北C30海里？这个问题归结为这个问题归结为:在在RtABC中中,已知已知A= 60,斜边斜边AB=30,求求AC的长的长问题本质是问题本质是 直线与圆的关系直线与圆的关系例例2.海中有一个小岛海中有一个小岛A，它的周围，它的周围8海里范围内有暗礁，海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在渔船跟踪鱼群由西向东航

13、行，在B点测得小岛点测得小岛A在北偏在北偏东东60方向上，航行方向上，航行12海里到达海里到达D点，这时测得小岛点，这时测得小岛A在北偏东在北偏东30方向上，如果渔船不改变航线继续向东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？航行，有没有触礁的危险？F601230BA AD东北问题本质是：问题本质是：直线与圆的位直线与圆的位置关系置关系相离相离-无危险无危险相切相切-无危险无危险相交相交-有危险有危险针对性习题针对性习题1 1： 如图如图, ,在一笔直的海岸线上有在一笔直的海岸线上有A,BA,B两个两个 观测站观测站,A,A在在B B的正西方向的正西方向,AB=2km,AB=2

14、km,从从A A测得测得船船C C在北偏东在北偏东6060的方向的方向, ,从从B B测得船测得船C C在北在北偏西偏西4545的方向的方向. .求船求船C C离海岸线的距离离海岸线的距离. .A B C 2km 60 45 D 例例3.3.如图，小岛如图，小岛P P的周围的周围202202海里内有暗礁，海里内有暗礁，某渔船沿北偏东某渔船沿北偏东6060的的AMAM方向航行，在方向航行，在A A处测得处测得小岛小岛P P的方向为北偏东的方向为北偏东3030，距，距A A处处4040海里，该海里，该渔船若不改变航向，有无触礁的可能？若有，渔船若不改变航向，有无触礁的可能？若有，渔船在渔船在A A

15、处应处应再再向北偏东偏离多大角度才能脱险？向北偏东偏离多大角度才能脱险？PAM30B先判断直线先判断直线AM与圆与圆P的位置关系的位置关系2.设直线设直线AN与圆与圆P相切于点相切于点CNC3.连接连接PC,求求PAC的度数的度数4.则则MAN就是偏离的度数就是偏离的度数北北东东3020240ACB6030北北60km针对性习题针对性习题2 2：A A、B B两镇相距两镇相距60km60km，小山，小山C C在在A A镇的镇的北偏东北偏东6060方向，在方向，在B B镇的北偏西镇的北偏西3030方向经方向经探测，发现小山探测，发现小山C C周围周围20km20km的圆形区域内储有的圆形区域内储

16、有大量煤炭，有关部门规定，该区域内禁止建房大量煤炭，有关部门规定，该区域内禁止建房修路现计划修筑连接修路现计划修筑连接A A、B B两镇的一条笔直的两镇的一条笔直的公路，试分析这条公路是否会经过该区域？公路，试分析这条公路是否会经过该区域？ D 针对性习题针对性习题3 3：大海中某小岛大海中某小岛A A的周围的周围22km22km范围范围内有暗礁内有暗礁. . 一海轮在该岛的南偏西一海轮在该岛的南偏西5555方向的方向的B B处处, ,由西向东行驶了由西向东行驶了20km20km后到达该岛的南偏西后到达该岛的南偏西2525方向的方向的C C处处. .如果该海轮继续向东行驶如果该海轮继续向东行驶

17、, ,会有会有触礁的危险吗触礁的危险吗? (? (精确到精确到0.1km).0.1km).A北北西西BCD南南E你能计算出该船正东方向暗礁带的宽度吗你能计算出该船正东方向暗礁带的宽度吗? ?Ftan250.47tan551.43 如何将如何将动圆动圆与与点点的位的位置关系变为置关系变为动圆圆心动圆圆心所在直线所在直线与与定圆定圆的位的位置关系？置关系？某日上午某日上午8 8点，点，A A市气象局测得城市正东方向市气象局测得城市正东方向80Km80Km处处B B点有一点有一台风中心正在以台风中心正在以25Km25Km每小时的速度沿西偏北每小时的速度沿西偏北3737的的BCBC方向迅方向迅速移动，

18、在距离台风中心速移动，在距离台风中心50Km50Km范围内为严重影响区域范围内为严重影响区域 （1）A A市是否会受到严重影响，为什么？市是否会受到严重影响，为什么？（2）若会受到影响，则持续时间有多长若会受到影响，则持续时间有多长？（3）A A市规定在台风严重影响一小时前向市民发出预市规定在台风严重影响一小时前向市民发出预警警报，若警警报，若A A市会受到影响，则市会受到影响，则A A市应几点发出警报。市应几点发出警报。ABC37(sin370.6,cos370.8,)D1.台风可视为动圆；点台风可视为动圆；点A与与动圆的位置关系，点动圆的位置关系，点A与动与动圆圆心的最短距离是多少？圆圆心

19、的最短距离是多少？2.以以A为圆心，为圆心，50为半径画圆，为半径画圆，交交BC于于E,F,连接连接AE,AFEF你知道你知道E和和F的意义吗的意义吗练习练习2 2：气象局发出预报气象局发出预报: :如图如图, , 沙尘暴在沙尘暴在A A市市的正东方向的正东方向400km400km的的B B处以处以40km/h40km/h的速度向北偏的速度向北偏西西60600 0的方向转移的方向转移, ,距沙尘暴中心距沙尘暴中心300km300km的范围内的范围内将受到影响将受到影响,A,A市是否受到这次沙尘暴的影响市是否受到这次沙尘暴的影响? ?如果受到影响如果受到影响, ,将持续多长时间将持续多长时间?

20、?B60北北A西西北北CDE 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心的周围数千米范围台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心的周围数千米范围内形成气旋风暴，有极强的波坏力。据气象观测，距沿海城市内形成气旋风暴，有极强的波坏力。据气象观测，距沿海城市A A的的正南方向正南方向220220千米的千米的B B处有一台风中心，其中心最大风力为处有一台风中心，其中心最大风力为1212级，级，每远离台风中心每远离台风中心2020千米，风力会减弱千米，风力会减弱1 1级，该台风中心现以级，该台风中心现以1515千米千米每小时的速度沿北偏东每小时的速度沿北偏东3030方向往方向往C C移动，若城市达到或超过移动，若城市达到或超过4 4级级，则称为受台风影响，如图，则称为受台风影响，如图（1 1）该城市是否会受到这次台风的影响？说明理由）该城市是否会受到这次台风的影响？