2020东城区高三上学期数学试卷及答案

1、东城区2019-2020学年度第一学期期末教学统一检测2020.1高三数学本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡一并交回。第一部分(选择题共40分)一、选择题共 8小题，每小题 5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知集合 A x | x W1, B x | x 2 x 10,那么 A(A) x | 1 x 2 (B) x | 1< x 1(C) x |1<x 2(D) x | 1 x < 1复数z= i(i 1)在复平面内对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C

2、)第三象限(D)第四象限下列函数中，是偶函数，且在区间(0 + )上单调递增的为1(A) y -(B) y ln x(C) y 2 x(D) y 1 x设a,b为实数，则“ a b0”是“ a b”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)设充分必要条件(D)既不充分也不必要条件,是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线，则下列结论中正确的是(A)(C)若 mi(D)若，则 m / n(6)从数字1,2, 3, 4，骑，取出3个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于这样的三位数的个数为(A)(B) 9(C) 10(D)13(B)若是三角形的两个内角，下列结论中正确的是(A)则

3、 sin sin 2(B)若cos(C)一,则 sin sin2(D)若一，贝IJ cos2cos(8)用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示,将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切.给出下列三个结论:4x 2y 0有两个不同的交点”是真命题的一个m的值为uuu uuuAC AD , AC 4 , BD 2,则四边形 ABCD的面积是两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点；若球心距O1O2 4 ,球的半径为，则所得椭圆的焦距为 2 ;当圆柱的轴与所成的角由小变大时，

4、所得椭圆的离心率也由小变大其中，所有正确结论的序号是(A)(B)(C)(D)第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。22)2y(9)若双曲线x_2y1与二1有相同的焦点，则实数m32(10)已知 3 是各项均为正的等比数列，S为其前n项和，若a1 6 ,或 2a3 6，则公比q 0 =(11)能说明“直线x y m 0与圆x2 y2(12)在平行四边形 ABCD中，已知 AB AC(13)已知函数f (x) 2sin( x )(0).曲线y f (x)与直线y 相交，若存在相邻两个交点间的距离为则的所有可能值为.6(14)将初始温度为0 : C的物体放在室温恒定

5、为 30 : C的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第n次测量得到的物体温度记为tn ,已知L 0 C :已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比(比例系数为k ).给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为；(填写模型对应的序号) tn1 tn tn1 tn k(30 tn)； tn+1=k(30 tn).tn 30在上述模型下，设物体温度从5 ：C上升到10 :'C所需时间为a min，从10 ：C上升到15： C所需时间为b min ,从15 ：C上升到20c所需时间为C min，那么a与b的大小关系是 (用“ ”，“ ”或“ ”号填b c空)三、解答题共

6、 6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(15)(本小题13分)在 ABC 中，已知 c sin A J3a cos C 0 .(I)求 C的大小；(n)若b=2, c 2，求 ABC的面积.(16)(本小题13分)2019年6月，国内的5G运营牌照开始发放.从2G到5G,我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了 1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：用户分类预计升级到5G的时段人数早期体验用户2019年8月至209年12月270人中期跟随用户20

7、20年1月至20121 年12月530人后期用户2022年1月及以后200人我们将大学生升级 5G时间的早晚与大学生愿意为 5G套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系(例如早期体验用户中愿意为5G套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%).人数占比51015203040支付钱数 早期体验用户中期跟随用户- 后期用户 < 阜位工元)Q)从该地高校大学生中随机抽取 1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G的概率；(II)从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的人数，求X的分布列和数学期望；(III

8、) 2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由(17)(本小题14分)如图，在三棱柱ABC AM。中，BBi 平面 ABC, AB BC , AA1 AB BC 2 .(I )求证：BCi 平面 AiBiC ;(n)求异面直线 BiC与AiB所成角的大小；(出)点M在线段BC上，且BiM(0,i)，点N在线段AB上,iiBiC若MN /平面A ACC 求竺 的值(用含 的代数式表示).i i,AiB(i8)(本小题 i3分)已知函数 f (x) 1 x3 x2 3ax (a R).3(I)若f (x)在x i时

9、，有极值，求a的值;(n)在直线x i上是否存在点P ,使得过点P至少有两条直线与曲线 y f (x)相切？若存在，求出 P点坐标；若不存在，说明理由-2的离心率是2(i9)(本小题 I4分)已知椭圆C : x_ y2 i a I 2 a(I)求椭圆C的方程;(n)已知X，F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2作斜率为k的直线l ,交椭圆C于A, B两点，直线F1A , FiB分别交y轴于不同的两点 M , N .如果 MFIN为锐角，求k的取值范围.(20)(本小题 I3分)已知数列 a n,记集合 T S(i,j)S(i,j) ai ai i L ajlKi j,i,j N .(i)对于数列

10、an i,2,3,4,写出集合T ；(n)若a n 2n ,是否存在i , j N ,使得S (i , j) i024 ?若存在，求出一组符合条件的i , j ；若不存在， 说明理由；QII)若an2n 2,把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为B :匕，b2, L , ,L.若bm2020,求m的最大值.东城区2019-2020学年度第一学期期末教学统一检测、选择题（共8小题，每小题高三数学参考答案及评分标准5分，共40分）2020.1(1) D B(2) C(6) C(3) BA(4)(8)二、填空题（共6小题,每小题5分，共30分）(9) 4(10)45不（11） 0 （答案不唯一

11、）(13) 2 或 10(14)三、解答题（共6小题,共80分）(15)(共 13 分)解：（I）由正弦定理可得Asin C sin 3 cos Csin A=0 .因为 sin A 0 ,所以 tan C3.又因为0 C2兀所以C= 一 .3.分7（H）由正弦定理得sinb sin CB=又因为0所以B 6所以 ABC的面积S1 bc sin2C 6A213分(16)(共 13 分)解（I）由题意可知，从高校大学生中随机抽取中早期体验用户和中期跟随用户的频率,530人，该学生在2702021年或2021年之前升级到5G的概率估计为样本0.8记事件A为“从早期体验用户中随机抽取事件B为“从中期

12、跟随用户中随机抽取1000 1000（13）由题意X的所有可能值为0,1,2.1人，该学生愿意为升级 5G多支付10元或10元以上”，人，该学生愿意为升级 5G多支付10元或10元以上”，由题意可知，事件 A, B相互独立，且P( A)1 40% 0.6P( B)1 45%0.55 ,所以 P( X=0) P( AB) (10.6)(10.55)0.18P( X 1)P( AB+AB P( AE)P( AE)P( A)(1P( B)(1 R A) P( B)0.6 (1 0.55)(1 0.6) 0.550.49 ,P( X=2)P( AB)0.60.550.33.所以X的分布列为X012P0

13、.180.490.3310分故 X 的数学期望 E(X)0 0.181 0.492 0.331.15 (14) 设事件D为“从这1000人的样本中随机抽取 3人，这三位学生都已签约 5G套餐”，那么c3P(D) 浮 0.02.C1000回答一：事件 D虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02,所以认为早期体验用户没有发生变化回答二：事件 D发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加 13分(17)(共 14 分)解：(I)在三棱柱 ABC AB1G中，由于 BB 平面ABC,所以BB 平面ABC ,又BB 平面BBCC 所以平面同BCC 平面ABC ,交线为BC .又因为AB BC ,所以A

14、B1 bG .所以 AB 平面BBCC . 因为BC 平面RBCC, 所以 A1B1 BC.又因为 BB1 BC 2 , 所以B1c BG .又AB A B1CB所以BC1平面A1B1C(n)由(i)知bbi 底面ABC , AB BC .如图建立空间直角坐标系B xyz .由题意得 B(0, 0, 0)Bi (0, 0, 2)所以RC(2,0,2) , AB (0,uuur uuur所以 cos AB, B1CA B uiUrB cuUurI BA1 |BiC I故异面直线BC与AB所成角的大小为(m)易知平面B1M由BC评A N ABA1 ACC的一个法向量为n则MN因为MN/解得 1所以

15、ANA1B(18)(共 13 分)解：(I )因为(X)所以M(2, 0,2N (0,2平面A1 ACC 所以MN n2 ) (1, 1 , 0) 0 ,2x3a .(x)时，有极值得经检验,1时,f (x)有极值.综上，a(H)不妨设在直线1上存在一点P(1, b)设过点 P与y则切线l方程为，C(2, 0, 0), A(0, 2, 2)，2,2) .分9(1,1, 0).2f (x)相切的直线为l ,切点为(xy,3x3 x2 3 ax000(x2 2 x03a30a)(14分0又直线l过 P(1,b)x2 3 ax00x2 2 x3 a)(1 x ),即2 x3+2x30设 g(x)g

16、'( x)x2 42(1)20所以g( x)在区间()上单调递增，所以g( x)0至多有一个解过点P与yf (x)相切的直线至多有一条.故在直线x1上不存在点P ,使得过P至少有两条直线与曲线f (x)相切13分(19)(共 14 分)解：(I)由题意c ab2» ，r 2解得a2a2cb2所以椭圆C的方程为1.(n)由已知直线l的斜率不为0.设直线l方程为y k.直线l与椭圆C的交点为A %, y1 ，Bx2 , y2x 1,22k(E)4k x 2 0.2k4k 2由已知，判别式恒成立，且x1x22k2k 2,x2k 2 1 .立直线F A的方程为(0，1y1x同理可得N

17、 (0,x2x11uuur1以F M1uuuF N11212X1 X2X1 X2 1将代入并化简，得1 k 2 x x 1 kX1X2X1X212uum uuu 7kF1MF1N81P依题意,MFN我锐角，所以F1MF1N0uuuu uuu 7k，即 FiM FiN_8k 2解得k 2综上，直线l斜率的取值范围是-2,0) U(0 ,二)U14分(20)(共 13 分)解：(I) T = 3,5,6,7,9,10(n)假设存在i , j N ,使得Sfi , j )=1024 ,则有1024aiai 1La j 2i 2( i1) L1)( ij)，由于i j与j i奇偶性相同，所以i j与j奇偶性不同.又因为i j >3, j所以1024必有大于等于3的奇数因子,这与1024无1以外的奇数因子矛盾.故不存在N，使得S(i ,j )=1024 成立(m)首先证明an时，对任意的m若i1)，使得：i ( ij ( j i 1)( i2j)2t由于1与j i均大于2且奇偶性不同，所以(j1)( itj) 2不成立.其次证明除2t (tN)形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和.若正整数h 2 t (2 k 1)其中t N , k N .当 2t 12 k 1 时，由等差数列的性质有：h214t 44244t424L444243t =(2 tk) L(2k 1)个