理论力学习题答案

1、仅供个人参考ABCD勺铰链B和C上分别作用有力F1和F2,机构在图示位1- 8在四连杆机构的取销钉B和CFor pers onal use only in study and research; not for commercial use静力学第一章习题答案1- 3试画出图示各结构中构件 AB的受力图1-4试画出两结构中构件 ABCD勺受力图1- 5试画出图a和b所示刚体系整体合格构件的受力图1-5a 1-5bCD为二力杆，受力 各杆端点连线的方析法）各杆受压，分别选 为研究对象，受力如图所示:不得用于商业用途分别选取销钉B和C为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在 B和C点上的力构成封闭

2、的力多边形，如图所示。对C点BCFbc对技由口:4F bc coFcd =F1 cos30Fi解以上两式可得：F1.63F2静力学第二章习题答案2- 3在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆 AB上作用有主动力偶 M试求A和C 点处的约束力。解：BC为二力杆（受力如图所示），故曲杆AB在B点处受到约束力的方向沿 BC 两点连线的方向。曲杆 AB受到主动力偶M的作用，A点和B点处的约束力必须 构成一个力偶才能使曲杆AB保持平衡。AB受力如图所示，由力偶系作用下刚体 的平衡方程有（设力偶逆时针为正）：其中：tan 1。对 BCM： fc 二 FB 二 Fa = 0.354M3aA，C两点约束力的方向如图

3、所示。2-4解：机构中AB杆为二力杆，点A,B出的约束力方向即可确定。由力偶系作用下 刚体的平衡条件，点 0,C处的约束力方向也可确定，各杆的受力如图所示。对BCM：v M = 0FB BC sin3O0-M2=O对AB杆有：Fb二Fa对 OA杆有：' M = 0 M1 - Fa OA 二 0求解以上三式可得：M_, = 3N m，Fab = F。二FC = 5N，方向如图所示。2- 6求最后简化结果。解：2-6a坐标如图所示，各力可表示为：1- 二 “1 %/3 _F1FiFj，F2 匚 Fi，F3FiFj2 2 2 2先将力系向A点简化得（红色的）：Fr = Fi 3Fj， Ma

4、=（Fak方向如左图所示。由于Fr - M A，可进一步简化为一个不过 A点的力（绿色的），主矢不变，其作用线距A点的距离d = 3a，位置如左图所示。42-6b同理如右图所示，可将该力系简化为一个不过 A点的力（绿色的），主矢为：其作用线距A点的距离d二二a，位置如右图所示。4简化中心的选取不同，是否影响 最后的简化结果？2-13解：整个结构处于平衡状态。选择滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程（坐 标一般以水平向右为x轴正向，竖直向上为y轴正向，力偶以逆时针为正）： 选梁AB为研究对象，受力如图，列平衡方程：求解以上五个方程，可得五个未知量FAFAy, FBx, FBy, M A分别为：F

5、ax二FBx二-Psin（与图示方向相反）FAy二FBy二P（1 cos ）（与图示方向相同）P（1 cos ）1 （逆时针方向）2-18解：选AB杆为研究对象，受力如图所示，列平衡方程:求解以上两个方程即可求得两个未知量 Nd，其中:未知量不一定是力。2-27解：选杆AB为研究对象，受力如下图所示。列平衡方程:由7 Fy二0和V Fz二0可求出FAy,FAz。平衡方程M x二0可用来校核思考题：对该刚体独立的平衡方程数目是几个?2-29解：杆1, 2, 3, 4, 5, 6均为二力杆，受力方向沿两端点连线方向，假设各杆 均受压。选板ABCD为研究对象，受力如图所示，该力系为空间任意力系。采用

6、 六矩式平衡方程：fF（受拉）2' M BH = 0- F4 cos450 a - FeCOs450 a = 0 F,= F（受压）2l 12受压、FF（受压）2' Mcd =0 F1 a F3 a - Fsin450 a = 0f3 = -】F（受拉）3 2本题也可以采用空间任意力系标准式平衡方程，但求解代数方程组非常麻烦。类似本题的情况采用六矩式方程比较方便，适当的选择六根轴 保证一个方程求解一 个未知量，避免求解联立方程。2-31 力偶矩 M 二 1500N cm解：取棒料为研究对象，受力如图所示。列平衡方程补充方程：F1 - fsM圧=fsN五个方程，五个未知量Fl,

7、Ni,F2,N2, fs，可得方程：解得 fS1 = 0.223, fS2 二 4.491。当 fS2 二 4.491 时有：即棒料左侧脱离V型槽，与提议不符，故摩擦系数 fs =0.2232-33解：当:=450时，取杆AB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：附加方程：Fs二fSFN 四个方程，四个未知量FN,Fs,T，fs，可求得fs =0.646。2-35解：选棱柱体为研究对象，受力如图所示。假设棱柱边长为a,重为P,列平衡方程：如果棱柱不滑动，则满足补充方程Fa二 fs1FNA时处于极限平衡状态。解以上Fb二 fs 2 FnB五个方程，可求解五个未知量FA, Fna, Fb,Fnb-

8、，其中:二 _3(fs1_fs2)(1)fs2 -2 3当物体不翻倒时Fnb - 0，贝U：tan：乞 60°即斜面倾角必须同时满足（1）式和 式，棱柱才能保持平衡静力学第三章习题答案3- 10解：假设杆AB, DE长为2a。取整体为研究对 象，受力如右图所示，列平衡方程： 取杆DE为研究对象，受力如图所示，列平 衡方程：取杆AB为研究对象，受力如图所示，列平衡方程:' Fy =0FAyFDy Fb 0FAy' Ma = 0Fdx a Fbx 2a = 0 Fbx-FAx 2 FDxa = 0Fax F（与假设方向相反）3- 12且共线的一对力，如图所示。 取板AC为

9、研究对象，受力?列平衡方程:解得：fA2M (方向B如-b解：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 取杆AB为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 杆AB为二力杆，假设其受压。取杆 AB和AD构成的组合体为研究对象，受力如 图所示，列平衡方程： 解得Fac二F，命题得证。注意：销钉A和C联接三个物体3-14过B点。也就是Fa和Fb是大小相等，方向相反解：取整体为研究对象耳于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零，因此有: 即fb必过A点占理可得 f必3-20解：支撑杆1, 2, 3为二力杆，假设各杆均受压。选梁 BC为研究对象，受力如 图所示。其中均布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力，大

10、小为 2qa，作用在 BC杆中点。列平衡方程：' M B = 0 F3 sin 450 a - 2qa a - M = 0_ MF3 二 2( 2qa)(受a选支撑杆销钉D为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程：' 巳=0 R - F3COS45 0 只=M 2qa（受压）axFy=0-FF3Sin450= 0F2=-（M2qa）（受拉）a选梁AB和BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：AxFax F3COS450 = 0 Fax = -(M - 2qa)(与假设方向相反)aM A F2 a - P 2a - 4qa 2a F3sin450 3a - M = 03-21Ma

11、二 4qa2 2Pa- M (逆时针)解：选整体为研究对象，受力如右图所示。 列平衡方程：' Fx = 0 Fax Fbx F 二 0由题可知杆DG为二力杆，选GE为研究对象,(1)G作用于其上的力汇交于点FBG，如图所示，画出力的三角形，由几何关系可得:Fe力1 Fbx取CEB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程: 代入公式（1）可得：Fax二3-24解：取杆AB为研究对象，设杆重为P,受力如图所示。列平衡方程： 取圆柱C为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：注意：由于绳子也拴在销钉上，因此以整体为研究对象求得的A处的约束力不是杆AB对销钉的作用力。3-27解：取整体为研究对象，设杆

12、长为 L,重为P,受力如图所示。列平衡方程:Lp' Ma = 0Fn 2Lsin，- 2P cos： - 0Fn ：22ta n 日(1)取杆BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：' Mb = 0Fn Lsin， P -co - Fs Leos，=0F p2(2)即二 < 100FfAx fs Fnp2P'Fn补充方程:(2)式代入有：将(1)式和Fs纟3-29证明：(1)不计圆柱重量法1 :取圆柱为研究对象，圆柱在C点和D点分别受到法向约束力和摩擦力的作用，分别以全约束力FrC,Frd来表示，如图所示。如圆柱不被挤出而处于平衡状态，则Frc,Frd等值，反向

13、，共线。由几何关系可知，Frc,Frd与接触点c, D处法线方向的夹角都是二，因此只要接触面的摩擦角大于不论F多大，圆柱不会挤2 2出，而处于自锁状态。法2 (解析法)：首先取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程: 再取杆AB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程:取圆柱为研究对象，受力如图所示。假设圆柱半径为R,列平衡方程：由补充方程：Fsc乞fsc Fnc,Fsd乞fsD -Fnd，可得如果：则不论F多大，圆柱都不被挤出，而处于自锁状态。证明：（2）圆柱重量P时取圆柱为研究对象，此时作用在圆柱上的力有重力 P, C点和D点处的全约束力 Frc,Frd。如果圆柱保持平衡，则三力必汇交于 D

14、点（如图所示）。全约束力Frc与C点处法线方向的夹角仍为I,因此如果圆柱自锁在2C点必须满足:sin:1 cos-(1)能滑动（圆柱作纯滚动）。再选杆AB为研究对象，对A点取矩可得F NC二丄F，aa二 tan2该结果与不计圆柱重量时相同。 只满足式时C点无相对滑动，但在D点有可由几何关系可得:口 lFsc 二 tan F2 aFrc 二Flacos2法1 （几何法）：PRDFrc圆柱保持平衡，则作用在其上的三个力构成封闭得力三角形,如图所示。由几何关系可知：P_ Frca_2)sin将（2）式代入可得：sin180° -(180°因此如果圆柱自锁在D点必须满足：fsD_t

15、anFl sin。(Pa Fl)(1 cos )即当同时满足(1)式和(3)式时，圆柱自锁，命题得证 法2 (解析法)：取圆柱为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：解得：Fscf忖aF，代入补充方程：Fs fsD Fnd，F ND=P (cos：asin：ta n)2Fl sin：(Pa Fl)(1 cos )即:Md - Fnd，Me - Fne，F$d 辽 fsFwD，4fsPFsefsFneALP-亠 P，1 -3f/ R -可得如果圆柱自锁在D点必须满足：f _ tanSD(3)即当同时满足(1)式和(3)式时，圆柱自锁，命题得证3-30解：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：

16、由题可知，杆AC为二力杆。作用在杆BC上的力有主动力F，以及B和C处的 约束力FB和Fac，由三力平衡汇交，可确定约束力 FB和Fac的方向如图所示,其中：tan，. - 1，杆AC受压3取轮A为研究对象，受力如图所示，设 Fac的作用线与水平面交于F点，列平衡 方程：取轮B为研究对象，受力如图所示，设 FB的作用线与水平面交于 G点，列平衡 方程：解以上六个方程，可得：13Fnd = P F， Fne = P F，4 411FsD = FsE F， M D = M E FR44若结构保持平衡，则必须同时满足：因此平衡时F的最大值Fmax = 0.36，此时:Fsd 二 Fse =0.091(

17、N), Md 二 Me =0.91(N cm)3-35解：由图可见杆桁架结构中杆 CF, FG EH为零力杆。用剖面SS将该结构分为两 部分，取上面部分为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：' Mc =0 Rcosr 6 FH 4 - Fg 3 = 0F厂-14.58(kN)(受拉)'Fx=0- F1 sn - F3 - Fh = 0F3 = -31.3（受拉）'Fy=0F2 - Rcosn - Fg = 0F2 二 18.3（受压）3-38解：假设各杆均受压。取三角形 BCG为研究对象，受力如图所示。列平衡方程:' Fx = 0 F _ Fcd =0Fcd 二

18、 F （受压）取节点C为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：其中：tanr =2，解以上两个方程可得：Fbc二0.586 F （受压）2 +J23-40解：取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：' M A = 0 Fb 2a - F 2a - F 3a = 0FB 二 2.5F取右边部分为研究对象,F2 =7F （受拉）6F（受拉）静力学第四章习题答案4- 1解：1. 选定由杆OA OC, DE组成的系统为研究对象，该系统具有理想约束。作用在 系统上的主动力为F , Fm。2. 该系统的位置可通过杆0A与水平方向的夹角B完全确定，有一个自由度。选 参数B为广义坐标。3. 在图示位

19、置，不破坏约束的前提下，假定杆 0A有一个微小的转角SB,相应 的各点的虚位移如下：rA 二OA 宀，二rC 二 O1C “rD = 6D 宀，b 二 L， J 二丨代入可得：rA二30 rE4. 由虚位移原理W ( Fi 0有：对任意rE = 0有：Fm = 30F，物体所受的挤压力的方向竖直向下。4-5解：1. 选整个系统为研究对象，此系统包含弹簧。设弹簧力F1, F2，且F F2，将弹簧力视为主动力。此时作用在系统上的主动力有F1, F2，以及重力P。2该系统只有一个自由度，选定二为广义坐标。由几何关系可知：3. 在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定有一个微小的虚位移S9，则质心的 虚位

20、移为：弹簧的长度| = 2 a si n 1，在微小虚位移SB下：24. 由虚位移原理.W(FJ二0有：a其中F2 = k (2a sin)，代入上式整理可得：2 2由于a = 0，对任意宀-0可得平衡时弹簧刚度系数为：4-7解：将均布载荷简化为作用在 CD中点的集中载荷F3，大小为6q。1.求支座B处的约束力解除B点处的约束，代之以力FB ,并将其视为主动力，系统还受到主动力F, F2, F3, M的作用，如图所示。在不破坏约束的前提下，杆AC不动，梁CDB 只能绕C点转动。系统有一个自由度，选转角-为广义坐标。给定虚位移:沁， 由虚位移原理'、W (FJ = 0有：FB rBcos

21、45° M 宀 F2 y2cos150° - F3 y3 二 0各点的虚位移如下：代入(1)式整理可得：对任意“ -0可得：FB二18 .6(kN )，方向如图所示。2. 求固定端A处的约束力解除A端的约束，代之以FAx , FAy , M A，并将其视为主动力，系统还受到主动力F1, F2, F3, M的作用。系统有三个自由度，选定A点的位移xA, yA和 梁AC的转角二为广义坐标。2a.求 FAx在不破坏约束的前提下给定一组虚位移.xA = 0yA = °厂宀-0，此 时整个结构平移，如上图所示。由虚位移原理 " W (Fi 0有:Fax Xa F1

22、F2 x2 cos 120 0 = 0 (2)FAx = 2(kN )，方向如图所示各点的虚位移如下： 代入(2)式整理可得：对任意：XA = 0可得:2b.求 FAy在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 、：xA = 0,、：yA = 0,宀-0， 此时梁 AC向上平移，梁 CDB绕D点转动，如上图所示。由虚位移原理 ' W(FJ 二 0 有：FAy % 一 F< y3 F2 y2COs300 - M 宀二 0各点的虚位移如下：代入(3)式整理可得：对任意6yA式0可得： FAy = 3.8(kN )，方向如图所示。2c.求 M A在不破坏约束的前提下给定一组虚位移'；x

23、A = 0yA = °，宀=°，此 时梁AC绕A点转动，梁CDB移，如上图所示。由虚位移原理W(FJ二° 有：-M A 宀 F1 xF2 x2cos120° = °各点的虚位移如下：代入(4)式整理可得：对任意二°可得：M A - - 24 ( kN m)，顺时针方向。4-8解：假设各杆受拉，杆长均为a。1 求杆1受力去掉杆1,代之以力巳，系统有一个自由度，选 AK与水平方向的夹角二为 广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，此时三角形 ADK形状不变，绕A点转动，因此有 d _ AD* rK _ AK，且： 滑动支

24、座B处只允许水平方向的位移，而杆 BK上K点虚位移沿铅垂方向，故 B 点不动。三角形BEK绕B点旋转：rE _ BE，且：对刚性杆CD和杆CE由于6rD丄CD,6rE丄CE，因此6 rC = °。由虚位 移原理x W ( Fi °有：代入各点的虚位移整理可得：对任意二-°可得：巳=一旦(受压)。2 求杆2受力去掉杆2,代之以力p2，系统有一个自由度，选 BK与水平方向的夹角二为 广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，杆 AK绕A点 转动，因此有 r - AK，且：同理可知B点不动，三角形BEK绕B点旋转e _ BE，且：杆AD绕A点转动rD _

25、 AD，由刚性杆DE上点E的虚位移可确定D点位移方 向如图所示，且：同理可知c二0。由虚位移原理' W （FJ二0有：代入各点的虚位移整理可得：对任意"-0可得：p3Zl （受压）。263 求杆3受力去掉杆3,代之以力p3，系统有一个自由度，选 AK与水平方向的夹角二为 广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，三角形ADK绕A点转动，/D _ ADrK _ AK，且：同理可知B点不动，、:rE _ BE，且：由虚位移原理W（Fi 0有：代入各点的虚位移整理可得：对任意二-0可得：P3Fi （受拉）。36动力学第一章习题答案1 3解：代入上式可得运动方程：y

26、=丨tanr，其中va =c?证毕1 7证明：因为2-,anan=asin T所以:证毕v31 10解：设初始时，绳索AB的长度为 为S,则有关系式：L ,时刻t时的长度2 2s = L -Vot，并且 s = l将上面两式对时间求导得:s = -v0, 2ss =2xx由此解得：x(a)(a)式可写成：xx二-v°s，将该式对时间求导得:2 2XX x sv0 = v0(b)将(a)式代入(b)式可得:2 2Vo Xax = x =x2 2vol0丁(负号说明滑块A的加速度向上)X2 2VO|, y _0X将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得:2.2VolFWgR.,1 J取套筒

27、A为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有: 将该式在x,y轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：x|其中：cos： ,sin v lx2 +l2px2+l21 11解：设B点是绳子AB与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑因为始终处两点=.cos-R，由于绳子的速度在(a)(b)cos”X将上式代入(a)式得到A点速度的大小为:(c)vA Z：R2X2 .x2-R2由于Va二-X，( C)式可写成:将该式两边平方可得:将上式两边对时间求导可得： 将上式消去2x后，可求得:(d)二灼2 R4xx _ _ 222(X2 - R2)2由上式可知滑块 A的加速度方向向左，其大小为_

28、灼 2R4x 去=(x2 - R2)2X 二取套筒A为研究对象，受力如图所示， 根据质点矢量形式的运动微分方程有： 将该式在x, y轴上投影可得直角坐标形式的 运动微分方程：sin J - R, cos-xX2 - R2其中：将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得1 13解：动点：套筒 A;动系：0A杆；定系：机座； 运动分析：绝对运动：直线运动; 相对运动：直线运动; 牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理/ = Ve Vr有：Va COS = Ve，因为AB杆平动，所以 Va =V ,VCOS2由此可得VCOS = Ve , OC杆的角速度为VeOAOAlCOS ；：当，=45°时

29、，OC杆上C点速度的大小为aV cos 2 45aV2l1 15解：动点：销子 M动系1:圆盘动系2： OA杆动系：机座；运动分析：绝对运动：曲线运动相对运动：直线运动牵连运动：定轴转动 根据速度合成定理有Va2 二 Ve2Vr2 XVa1 = Ve1VM ,由于动点M的绝对速度与动系的选取无关，即Va2二Va1，由上两式可得:=Ve2Vr2将（a）式在向在 x 轴投影，可得：-Ve1sin30° = -ve2sin30° Vr2 cos30°由此解得：1 17解：动点：圆盘上的 C点；动系：OA杆；定系：机座；运动分析：绝对运动：圆周运动;相对运动：直线运动（平

30、行于OA 杆）;牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理有V厂 Ve Vr（ a）将（a）式在垂直于 OA杆的轴上投影以及在 0C轴上投影得：va cos30° = ve cos30°，vasin 30° = ve sin 30°土 启=0.5OiA 2R根据加速度合成定理有ar ac(b)将（b）式在垂直于OA杆的轴上投影得其中：aa = R naeaC -2 1vr由上式解得：rtae2R.32co121- 19解：由于ABM弯杆平移，所以有 取：动点：套筒 M动系：OC摇杆；定系：机座；运动分析：绝对运动：圆周运动； 相对运动：直线运动； 牵连运动：定

31、轴转动。根据速度合成定理va二ve - V r可求得：vM 二 vA = va = - 2ve =、- 2b = 2、2m/s, vr = ve = b = 2m/s ,根据加速度合成定理将上式沿aC方向投影可得:74 2cos45° 't2.2(74.2)3由于 a： = 12l = 8m/s2, a； =b=1m/s2, ac = 2 Vr = 8m/s2，根据上式可得:2:12rad/s1- 20解：取小环为动点，OAB杆为动系 运动分析仅供个人参考绝对运动：直线运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。由运动分析可知点的绝对速度、相对速度和牵连速度的方向如图所示,

32、可以得到:Va 二 ta nVe0r - sin 602 "0cos 60VrVecos600=4r 加速度如图所示，其中：2rae = OM0 = 2r ，ecos60°根据加速度合成定理：将上式在x'轴上投影，可得：aa cos -1 21解：求汽车B相对汽车A的速度是指以汽车 A为参考系观察汽车 B的速度。取：动点：汽车 B;动系：汽车A (Ox' y');定系：路面。运动分析绝对运动：圆周运动；相对运动：圆周运动；牵连运动：定轴转动(汽车 A绕O做定轴转动) 求相对速度，根据速度合成定理 将上式沿绝对速度方向投影可得：因此Vr = Ve Va

33、其中“思，由此可得： vr = EBVa v = 80 m/sRa9求相对加速度，由于相对运动为圆周运动，相对速度的大小为常值，因此有：1 23质量为m销钉M由水平槽带动，使其在半径为 速V向上运动，不计摩擦。求图示瞬时，圆槽作用在销钉r的固定圆槽内运动。设水平槽以匀M上的约束力。其中：r甜ve = OM0 = 2r cos 60根据速度合成定理:Va = VeVr°平槽的约束力F和圆槽的约束血血 动是给定的，所以先求销钉的加 水平槽为动系解：销钉M上作用有水在利用质点运动微分方程求约束力运动分析可知销钉的速度图如图所示。/II由于销钉M的运Fs o111由此可求出:Costcost

34、由于绝对运动是圆周运动，牵连运动是匀速直线平移，所以2 2因为aO1 = VaV-，所以根据上式可求出cosOa5。再根据加速度合成定ae =0，并且上式可写成:+a取销钉为K动严=V/ VRV=aO tan vv2sin v r cos3v根据矢量形式的质点运动微分方程有：m（a： a：） = F F° mg将该式分别在 x轴上投影：m(a：sin aan cosn) = F° cost2由此求出：F° 二 mV2.(tan21)r cos 日1- 24图示所示吊车下挂一重物M绳索长为丨，初始时吊车与重物静止。若吊车从静止以均加速度a沿水平滑道平移。试求重物M相

35、对吊车的速度与摆角 二的关系式。marF因为 Fe 二= ma,车的速度,将上式在切向量方向投影有dtg解：由于要求重物相对 微分方程 :ST吊车为动系，I重物为动点。根据质点相对运动mat = ml，M二-mgsin) Fe cos1Edt-，所以上式可写成整理上式可得将上式积分：其中c为积分常数（由初始条件确定）因为相对速度vr =门，上式可写成初始时二=0 ,系统静止，va =ve =0，根据速度合成定理可知 vr =0，由此确定c = -g。重物相对速度与摆角的关系式为：v； =2lg（cos -1） asin1- 26水平板以匀角速度 绕铅垂轴°转动，小球 M可在板内一光滑

36、槽中运动（如图 7-8）， 初始时小球相对静止且到转轴 °的距离为 住，求小球到转轴的距离为 R R°时的相对速 仅供个人参考度。解：取小球为动点，板为动系，小球在水平面的受力如图所示（铅垂方向的力未画出）。根据质点相对运动微分方程有：将上式在 vr上投影有ma；二m 二Fe costdt因为Fe二mR 2 , dVr二dVr dR， dR二VrCOSV，所以上式可写成dt dR dt dt整理该式可得vr= R；.-:2，将该式积分有1vl2 = ?. 2R2 cdR22初始时Ro , Vr = 0 ,由此确定积分常数c2rO，因此得到相对速度为21- 27重为P的小环M

37、套在弯成xy =C2形状的金属丝上，该金属丝绕铅垂轴 x以匀角速度-转动，如图所示。试求小环M的相对平衡位置以及金属丝作用在小环上的约束力。解：取小环为动点,所以vr = 0，因此在为金属丝为曲线,，根据题意，相对平衡位置为中相对平衡位置就是相对静止位置。小环受力如如图所示。其中F Fe P分别为约束力、牵连惯性力和小环的重力。根据质点相对运动微分方程有:P其中：Fe y 2，将上式分别在x, y轴上投影有gP - F sin v - 0Fe - F COS)- 02 2以为tan 丁 - - dy， y =乞，鱼-§ ,因此dxx dx x(a)2 tan 二=与 x由（a）式可得

38、(b)tan -Fe(c)P 22将Fe = 疗 代入（c），联立求解（b）、（c）并利用xy = c，可得:g再由方程（a ）中的第一式可得动力学第二章习题答案2-1解：当摩擦系数 f足够大时，平台 AB77777777777不得用于商业用途x仅供个人参考相对地面无滑动，此时摩擦力F乞fFN取整体为研究对象，受力如图，系统的动量：p二m2vr将其在x轴上投影可得： Px = m2vr = m2bt根据动量定理有:dp = m2b = F 乞 fFN = fm2)gdt即：当摩擦系数m2b(mi m2)g时，平台AB的加速度为零。当摩擦系数mb<(mi m2)g时，平台AB将向左滑动，此

39、时系统的动量为:将上式在x轴投影有：Px =m2(_v vr)耳(7) = m2bt -gm2)v根据动量定理有：dp = m2(m1 m2)a二F = fFNdtf(m1 m2)g由此解得平台的加速度为：a = m2b - fg （方向向左）叶+m22-2取弹簧未变形时滑块 A的位置为x坐标原点，取整体为研究对象， 受力如图所示，其中 F为作用在滑块A上的弹簧拉力。系统的动量为： 将上式在x轴投影： 根据动量定理有：系统的运动微分方程为：（m - m1）x kx = m，打川/"¥/th-11/X2-4取提起部分为研究对象，受力如图（a）所示，提起部分的质量为，提起部分的

40、速度为v ,根据点的复合运动可知质点并入的相对速度为vr,方向向下，大小为v（如图a所示）。轴上投影有：0 ,所以由上式可面上的部分为研究(b)根据变质量质点动力学方程有将上式在y+工dv由于=dt再取地F 二:?(vgt v2)。寸象，由于地面上的物体没有运动d并起与作用力，因此地面的支撑力就是未提起部分自身的重力，即：与提起部分没有相互777777777Fn =（1 -心g2- 5 将船视为变质量质点，取其为研究对象, 受力如图。根据变质量质点动力学方程有：不得用于商业用途船的质量为：m二m0 -qt，水的阻力为F =fv将其代入上式可得：dv（m0 _qt）fv mg-qvr FNdt将

41、上式在x轴投影：dv(m° -qt) - -fv-q(-Vr)。应用分离变量法可求得dt由初始条件确定积分常数c = In(qvr) - f In m0,并代入上式可得:q2- 8 图a所示水平方板可绕铅垂轴 z转动，板对转轴的转动惯量为 J ,质量为m的质点沿 半径为R的圆周运动，其相对方板的速度大小为 u (常量)。圆盘中心到转轴的距离为 I。质点在方板上的位置由 确定。初始时，' =0,方板的角速度为零，求方板的角速度与角的关系。J Lm图a解：取方板和质点为研究z轴的动量矩守恒。下面设方板对转轴的动量矩为对象；作用在研究对象上的外力对转轴质点对转轴的动量矩。设质点M对

42、转轴的动量矩为 L2，取方板为动系，质点 M为图b动点，其牵连速度和相对速度分因此系统对M别为ve,vr。相对速度沿相对轨迹的切线方向，牵连速度垂直于OM连线。质点M相对惯性参考系的绝对速度va二ve vr。它对转轴的动量矩为其中:系统对z轴的动量矩为L = LL2。初始时， =0, = 0,vr = u，此时系统对z轴的动量矩为当系统运动到图8-12位置时，系统对z轴的动量矩为由于系统对转轴的动量矩守恒。所以有L，因此可得:由上式可计算出方板的角速度为2 11取链条和圆盘为研究对象，受力如图(链条重力未画)，设圆盘的角速度为 ，则系统对O轴的动量矩为：Lo = J。| （2a ：r）r2 根

43、据动量矩定理有：整理上式可得：由运动学关系可知： r = x，因此有：r = x。上式可表示成:令-22心Jo（2a 二 r）r2，上述微分方程可表示成:x -根据初始条件：t =0,x =x°,x =0可以确定积分常数 s = C?，于是方程的解为：2系统的动量在x轴上的投影为：Px = °sin"lrdv -lr2 =.2-lrx系统的动量在 y轴上的投影为：Py = ：| (a _ X) , r - “ (a x) - -2' x . r = 2" xx根据动量定理：由上式解得：FOx =2 P| rx0 人2chht， Foy = P +

44、 P| (2a +町)g - 4P| 九2x1ch(2it)2- 14取整体为研究对象，系统的动能为: 其中：Va,Vc分别是AB杆的速度和楔块 C的速度。若£是AB杆上的A点相对楔块C的速度，则根据复合运动速度合成定理可知：vA =vC tanvIi 1212222因此系统的动能可表示为：T = mvA +- mC cot Hva = -(m十mC cot 口)vA ,系统在能2 2 2够过程中，AB杆的重力作功。根据动能定理的微分形式有：dT二、：W，系统的动力学方程可表示成：2- 17质量为的均质物块上有一半径为R的半圆槽，放在光滑的水平面上如图 A所示。质量为m(m0 =3m

45、)光滑小球可在槽内运动,初始时，系统静止，小球在A处。求小球运动由上式解得：dvAmg2a"dt=m mccotJ，aaAcot到B处 =30°时相对物块的速度、 物块的速度、槽对小球的约束力和地面对物块的约束力。的速度为解：取小球和水平方向无外I图A A力，因此系统I的机械小球相对物块I ntmnmn n rm 设，=o为势能零点，则系统的势能为ABB所示，由于作 ,水平动量守恒。设小B块的速度为Ve，则系统的动图B系统上的主动势力, ,设巾能为根据机械能守恒定理和初始条件有T V =0，即系统水平方向的动量为：根据系统水平动量守恒和初始条件有由此求出Vevr sin ；

46、：，将这个结果代入上面的机械能守恒式，且'=30°最后求得:4分别以小球和物块为研究对象，受力下面求作用在小球上的约束力和地面对物块的约束力。仅供个人参考如图c, D所示。设小球的相对物块的加速度为ar，物块的加速度为ae,对于小球有动力学方程maa 二 m(ae a： a；)二 Fmg(a)对于物块，由于它是平移,力学方程有、球相对运动轨迹的法线方向投影，可得将方程(a)在小图C AA图i D(b)B2其中相对加速度为已知量，a：=乞。将方程(Rb)领 =30°，联立求解三个投影可求出2- 18 取小球为研究对象，两个小球对称下滑, 设圆环的半径为 R。每个小球应

47、用动能定理有：1 2 m(Rv)=mgR(1-cosr)2将上式对时间t求导并简化可得：(a)I - gs in 二R每个小球的加速度为取圆环与两个小球为研究对象，应用质心运动定理 将上式在y轴上投影可得：将(a),(b)两式代入上式化简后得(b )，可得I川IIHIII川II1IIII卅llllllllll川I! inillllllRIIIIIlHIIIUIIIII在水平方向和铅垂方Fn = 0时对应的二值就是圆环跳起的临界值，此时上式可表示成上述方程的解为：，co宀中1卜雰) 圆环脱离地面时的 日值为q = arccos丄+ 1計1 一3°(33、 2m而arccos>3一

48、勢也是方程的解，但是"01时圆环已脱离地面，因此v - 2不是圆环脱离地面时的值。2- 19取圆柱、细管和小球为研究对象。作用于系统上的外力或平行于铅垂轴或其作用线Vr，仅供个人参考2其中：Ve =g，则上式可表示成：(m° +m)r酉 =mvrcosTr由此解得:mvrCoSV"r costo =(m0 m)rr其中：Jm4ah,tan 二m0m2二r根据动能定理积分式，有：T2 -T,W,/2gh n1 cos2 寸其中：V； =(ve vr cos) + (vr sinE)，将其代入动能定理的积分式，可得:vr cos将二r代入上式，可求得:r1由 v；=(

49、ve-vr cos"2(vrsin 巧2 可求得：va= vr1-(2 - 1)cos222-20取链条为研究对象，设链条单位长度的质量为应用动量矩定理，链条对 o轴的动量矩为：=出灯笃外力对O轴的矩为:因为：r，矽二dt积分上式可得:dv d . dv=Ud日rg(-22d ： dt1 2v 二2cosT) cr9罟，所以上式可表由初始条件确定积分常数C 二 gr，1最后得：v = gr(2-2cosv ，)/二2不得用于商业用途动力学第三章习题答案OA杆为动系3- 3取套筒B为动点， 根据点的复合运动速度合成定理3- 4 AB构件(灰色物体)作平面运动， 已知A点的速度AB的速度

50、瞬心位于 C,应用速度瞬心法有:仅供个人参考2不得用于商业用途VB = AB BC ,设OB杆的角速度为 ，则有设P点是AB构件上与齿轮I的接触点, 该点的速度：齿轮I的角速度为： J =比=6rad/sri3-6 AB杆作平面运动，取 A为基点 根据基点法公式有：将上式在AB连线上投影，可得因此，ABVaAB1-04因为B点作圆周运动，此时速度为零, 因此只有切向加速度（方向如图）。 根据加速度基点法公式将上式在AB连线上投影，可得-aB cos60° = aA a BA , aB 二-2.5 0raBO1B3-7 齿轮II作平面运动，取 A为基点有 将上式在x投影有：由此求得：再将基点法公式在 y轴上投影有:ta sina sin二 aBA，由此求得H2r2再研究齿轮II上的圆心，取 A为基点 将上式在y轴上投影有由此解得:°1°2t asin :2(ri a)再将基点法公式在 x轴上投影有:n _nao2 = ai _ ao2A由此解得:naO2，又因为aO2 =(r1r2) O1o2仅供个人参考的角速度为：B =生=4m/sr_ aR 一 R -rB由此可得：a co