2-32.1.3超几何分布学案

1、精品资源2. 1.3超几何分布抽象问融情境化'新知无师自通对应学生用书p24匕入n舂料从含有5件次品的100件产品中任取3件.问题1:这100件产品可分几类？提示：两类：次品和非次品问题2:取到的次品数 X的取值有哪些?提示：0、1、2、3.问题3:求次品数X=2的概率._2_ 1 提示：P(X=2) = C5C95.C100新加«解超几何分布设有总数为N件的两类物品，其中一类有 M件，从所有物品中任取 n件(nWN),这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为P(X=m) =cN欢迎下载(0<m<l, l为n和M中较小的一个)称离散型随

2、机变量 X的这种形式的概率分布为超几何 分布，也称X服从参数为N, M, n的超几何分布.妇纳升华领悟1 .超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械的记忆公式，应在理解的前提下记忆.2 .超几何分布概率公式有一个显著的特点：分子两个组合数的下标之和等于分母组合数的下标，分子两个组合数的上标之和等于分母组合数的上标.3 .凡类似“在含有次品的产品中取部分产品，求所取出的产品中次品件数的概率”的问题，都属于超几何分布的模型.高独考点题组化，名师一点就通对应学生用书P24超几何分布的概率计算例1生产方提供50箱的一批产品，其中有2

3、箱不合格产品.采购方接收该批产品的 准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有一箱不合格产品，便接收该批产品.问：该批产品被接收的概率是多少？思路点拨先找出计算公式中的 N, M, n再代入计算.精解t¥析50箱的一批产品，从中随机抽取5箱，用X表示“5箱中的不合格品的箱 数”，则X服从超几何分布，其中参数 N = 50, M=2, n=5.这批产品被接收的条件是x= 0或1,所以被接收的概率为P(X<1) =C0C58C50c2c48C5o =243245.即该批产品被接收的概率是243245.一点通求超几何分布的分布列的步骤如下:(1)验证随机变量服从超几何分布，并

4、确定参数N, M, n的值;(2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率;(3)用表格的形式列出分布歹U.球,1.在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出至少摸到2个黑球的概率等于2A.7C.7解析:c3 C1+C3C0 2C8=7.答案:4 .现有语文、数学课本共 7本(其中语文课本不少于 2本)，从中任取2本，至多有1 5一一、一，.本语文课本的概率是7,则语文课本共有()B. 3本A. 2本C. 4本D. 5本解析：设语文书n本，则数学书有 7n本(n>2).则2本都是语文书的概率为C2C7 nC227'由组合数公式得 n2

5、 n12 = 0,解得n = 4.答案：C11H |超几何分布的分布列例2从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取 3件，求取得的次品 数X的分布列.思路点拨在取出的3件产品中，次品数X服从超几何分布，其可能取值为0,1,2,对 应的正品数应是3,2,1.精解t¥析由题意知X服从超几何分布，其中 N=15, M = 2, n= 3.它的可能的取值为0,1,2,相应的概率依次为P(X=0) =C0C：32235'P(X=1) =C2C2312C15P(X=2) =C2C13C35135.所以X的分布列为X012P2212r _ 1353535一点通超几何分布的概率计

6、算方法是:确定所给问题中的变量服从超几何分布;(2)写出超几何分布中的参数N, M, n的值;(3)利用超几何分布公式，求出相应问题的概率.入s粮粗寡制上”3.现有10张奖券，其中8张1元的、2张5元的，从中同时任取 3张，求所得金额的 分布列.解：设所得金额为X, X的可能取值为3,7,11.P(X=3)=3=C10715'C2C2P(X=7)=k =C10715'X3711P7157151 T5P(X=11) =c8c2_± "CH?故x的分布列为4.某高二数学兴趣小组有7位同学，其中有4位同学参加过高一数学“南方杯”竞赛. 若从该小组中任选 3位同学参

7、加高二数学“南方杯”竞赛，求这3位同学中参加过高一数学南方杯”竞赛的人数 X的分布列.解：由题意知，随机变量X服从超几何分布,其中 N = 7, M= 4, n= 3,则 P(X=0) =03C4c3135'c4c2 12 p(x=i)=b3?2 13 0.C4 c3 18C4c34P(X=21育=35, P(X=3)=T=35.所以随机变量x的分布列为X0123p11218-435353535超几何分布的综合问题例3(12分)在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品.从这10件产品中任取3件.求:取出的3件产品中一等品件数 X的分布列；(2)取出的3件产品中一等品件数多于

8、二等品件数的概率.思路点拨先确定X的取值情况，再求概率，列表写出分布列.精解t¥析(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C：。，从10件产品中任取3件,m3m C3 c7 P(X= m) = _C3, m =其中恰有m(mW3)件一等品的结果数为Cmc7 m,(2分)那么从10件产品中任取3件，其中恰有 m件一等品的概率为0,1,2,3. (4 分)所以随机变量X的分布列是X0123P72171 244040120(6分)A, “恰好取出1件一等“恰好取出3件一等品”(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件 品和2件三等品”为事件 A, “恰好取出2件一等品”为

9、事件 A2,为事件A3.由于事件Ai, A2, A3彼此互斥，且 A = AiU A2UA3,(8分)C1C2 37.1因为0供1)=0 =布，p(A2)= P(X= 2) = 40，P(A3)= P(X=3) = i20，37131所以 p(A)=p(Ai)+p(A2)+ p(A3)=4o+4o+=即取出的3件产品中一等品的件数多于二等品的件数的概率为黑.(12分)120一点通1 .在超几何分布中，随机变量 X取每个值的概率是用古典概型计算的，明确每一个事件的意义是正确解答此类问题的关键.2 .超几何分布具有广泛的应用，它可以用来描述产品抽样中的次品数的分布规律，也可用来研究我们熟悉的抽奖或

10、摸球游戏中的某些概率问题.在其概率的表达式中，各个字母的含义在不同的背景下会有所不同.一制粮做桌例”分5 .袋中装有4个白棋子、3个黑棋子，从袋中随机地取棋子，设取到一个白棋子得2分，取到一个黑棋子得 1分，从袋中任取4个棋子.(1)求得分X的分布列；(2)求得分大于6的概率.解：(1)袋中共7个棋子，以取到白棋子为标准，则取到白棋子的个数为123,4,对应的得分X为5,6,7,8.由题意知，取到的白棋子数服从参数为 N = 7, M = 4, n = 4的超几何分布，故得分也服从该超几何分布.c4c34p(X=5)= c7 =35；C2C2 18 p(X = 6)= c； =35；C3C3

11、12 p(X=7)=wr=3?C41p(X=8)=C4=35.所以X的分布列为X5678p43518351235135(2)根据X的分布列，可得到得分大于6的概率为12113P(X>6) = P(X= 7)+ P(X= 8) = + -=. 35 35 35_ , 16 .现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为-.(1)求7名学生中甲班的学生数；(2)设所选2名学生中甲班的学生数为X,求X的分布列，并求所选 2人中甲班学生数不少于1人的概率.解：(1)设甲班的学生数为 M,由题意得M（M 1 ）1 CM 2M（M-1 12不=WT =3理得M2M 6=°，2解得M = 3或M = 2(舍去).即7个学生中，甲班有3人.(2)由题意知X服从参数N = 7, M = 3, n = 2的超几何分布，其中 X的所有可能取值为0,1,2.P（X=k） =k-（k= 0,1,2）.27'口口C0C26即 p（x=o）= -c2-=27C72 11 _iC3c4 12 4P（X= 1） = _2 =二,' c C721 7'