合工大考研材料专业课课件第二章

1、 第二章第二章 晶体结构晶体结构 (Crystal Structure) 本章要讨论的主要问题是：本章要讨论的主要问题是：(1)原子是以何种聚集方式形成固体结构的？原子是以何种聚集方式形成固体结构的？(2)如何描述晶体中原子的排列？如何描述晶体中原子的排列？(3)金属晶体有哪些常见的晶体结构金属晶体有哪些常见的晶体结构 第一节 晶体学（Crystallography）基础 一、晶体的特征固态物质按其原子或分子的聚集状态可分为两大类，一类是晶体，另一类是非晶体。 图2-101 晶体中原子在空间的排列 晶体晶体(Crystal)就是原子（或离子、分子、原子集团）在三维空间呈有规律的周期性重复排列的

2、固体。即不论沿晶体的哪个方向看去，总是相隔一定的距离就出现相同的原子或原子集团。这个距离也称为周期。显然，沿不同的方向有不同的周期。 非晶体非晶体(Amorphous)不具有上述特征。在非晶体中原子（或分子、离子）无规则地堆积在一起。液体和气体都是非晶体。在液体中，原子也处于相对紧密聚集的状态，但不存在长程的周期性排列。 对于金属液体的结构，我们在学习第六章时将会有进一步的了解。 固态的非晶体实际上是一种过冷状态的液体，只是它的物理性质不同于通常的液体。玻璃是一个典型的固态非晶体，所以，往往将非晶态称为玻璃态。几点说明：（1）绝大多数固体物质为晶体；（2）晶态与非晶态在一定的条件下可以相互转化

3、；如非晶态的玻璃经高温长时间加热后即可转变为晶态玻璃。（3）晶体有固定的熔点，而非晶体只有一个软化温度范围;（4）晶体具有各向异性（各向异性（Anisotropy），而非晶体却为各向同性（各向同性（Isotropy）。）。 二、空间点阵（Space Lattice） 晶体中原子或原子集团排列的周期性规律，可以用一些在空间有规律分布的几何点来表示。并且，令沿任一方向上相邻点之间的距离就等于晶体沿该方向的周期。这样的几何点的集合就构成空间点阵（简这样的几何点的集合就构成空间点阵（简称点阵），每个几何点称为点阵的结点或称点阵），每个几何点称为点阵的结点或阵点。阵点。 既然点阵只是表示原子或原子集团分

4、布规律的一种几何抽象，那么，每个结点就不一定代表一个原子。就是说，可能在每个结点处恰好有一个原子，也可能围绕每个结点有一群原子（原子集团）。但是，每个结点周围的环境（包括原子的种类和分布）必须相同，亦即点阵的结点都是等同点。 图2-103表示的是空间点阵和实际晶体结构之间的关系。图中的图2-103(a)和图2-103(b)都是二维正方点阵，但二者的晶体结构是不同的，因为围绕每个结点的原子分布不同。同样，图中的图2-103(c)和图2-103(d)都是长方点阵，但二者的结构也不同，图2-103(e)则是菱形点阵。 三、晶胞（Unit Cell）、晶系（Crystal System）和点阵类型 1

5、.晶胞如前所述，空间点阵具有周期性和重复性，图2-102所示的空间点阵可以看成是由最小的单元平行六面体沿三维方向重复堆积（或平移）而成。 这样的平行六面体称为晶胞晶胞，如图2-104所示。晶胞的三条棱AB、AD和AE的长度就是点阵沿这些方向的周期，这三条棱就称晶轴晶轴。 事实上，采用三个点阵矢量a，b，c 来描述晶胞是很方便的。这三个矢量不仅确定了晶胞的形状和大小，而且完全确定了此空间点阵。只要任选一个结点为原点，以这三个矢量作平移（即平移的方向和单位距离由点阵矢量所规定），就可以确定空间点阵中任何一个结点的位置： ruvw = ua + vb + wc (2-101 ) 式中 ruvw为从原

6、点到某一阵点的矢量，u，v，w 分别表示沿三个点阵矢量的平移量，亦即该阵点的坐标值。 既然任何晶体的晶胞都可看成是平行六面体，那么不同的晶体的差别在哪里？差别有两点： (1)不同晶体的晶胞，其大小和形状可能不同。 (2)围绕每个结点的原子种类、数量及分布可能不同。 晶胞的大小显然取决于 AB，AD 和 AE 这三条棱的长度 a，b 和 c ，而晶胞的形状则取决于这些棱之间的夹角， 和 。我们把 a，b，c，和这6个参量称为点阵常数（点阵常数（Lattice Parameter）或晶格常数）或晶格常数。 2.晶系 按照晶胞的大小和形状的特点，也就是按照 6 个点阵常数之间的关系和特点，可以将各种

7、晶体归于如图 2-105 所示的 7 种晶系晶系，准确地说，晶系是根据它的对称性来划分的。金属一般具有立方和六方晶格。 图2-105七大晶系的晶体学特征 由 7 种晶系可以形成多少种空间点阵呢？这就取决于每种晶系可以包含多少点阵，或者说，有多少种可能的结点分布方式。为了回答这个问题，我们的基本出发点是：点阵的结点必须是等同点。由于晶胞的角隅、6 个外表面的中心（面心）以及晶胞的中心（体心）都是等同点，故乍看起来，似乎每种晶系包括 4 种点阵，即简单点阵、底心点阵、面心点阵和体心点阵。这样看来，7 种晶系总共似乎可以形成 47=28 种点阵。然而，读者如果将这28种点阵逐一画出，就会发现，从对称

8、性的角度看，其中有些点阵是完全相同的。真正不同的点阵只有 14 种。 四、进一步讨论 1.布拉菲点阵与复式点阵上面讨论的点阵都是由等同点构成的，即按照“每个阵点的周围环境相同”的要求构成的。按照这一要求，最先是布拉菲（A. Bravais）用数学方法证明了只能有14种空间点阵。所以，这样的点阵也叫布拉菲点阵（Bravais Lattice)。通常人们所说的点阵就是指布拉菲点阵。 但是，实际晶体中各原子并不一定是等同点。例如，对合金来说，至少就有两种不同的原子。即使是纯金属，晶体中各原子也未必是等同点，因为各原子周围的环境（近邻原子的分布）未必相同。因此，实际晶体中各原子的集合并不一定构成布拉菲

9、点阵。人们把晶体中原子的集合（或分布）称为晶体结构，把表示原子分布规律的代表点（几何点）的集合称为布拉菲点阵，或简称点阵。如上所述，这些代表点必然是等同点。 对一些简单的金属和合金，晶体结构和点阵没有差别。例如，铜、银、金、铝、镍、钯、铂、铅、 铁、奥氏体不锈钢等的晶体结构和点阵都是面心立方（通常用 fcc 表示）。碱金属、钒、铌、铬、钼、钨、 铁等的晶体结构和点阵都是体心立方（通常用 bcc 表示）。但是，其他一些金属，特别是具有复杂结构的金属和合金，其晶体结构就不同于点阵。让我们举两个实际的例子。 例如锌、镉、镁、铍、 钛、 锆、铪等都具有简单六方点阵，密排六方结构。由图 2-109(a)

10、可见，原子不仅分布在晶胞顶点，而且还分布在 处。图 2-109(b) 是原子在底面（垂直于 c 轴的平面）上的投影。从图可以看出，位于晶胞顶点的 a 原子和位于内部的 b 原子，其周围环境是不同的：a1 原子周围的b 原子分布（图2-109(b)中的 b1，b2，b3 ）不同于 b1 周围的 a 原子分布（见图2-109(b)中的 a1，a2，a3 ），因而 a 原子和 b 原子不是等同点，由 a 和 b 原子的集合不构成布拉菲点阵，而构成一个密排六方结构。因为如果把原子看成是同样大小的刚性小球，那么每个原子都几乎和 12 个近邻原子相切（最紧密的排列）。 2.晶胞的选取 我们在前面引出的晶胞

11、和点阵常数的概念是不严格的，原因是晶胞的选取不是惟一的。就是说，从同一点阵中可以选取出大小、形状都不同的晶胞。相应的点阵常数自然也就不同，这样就会给晶体的描述带来很大的麻烦。为了确定起见，必须对晶胞的选取方法作一些规定。这规定就是，所选的晶胞应尽量满足以下三个条件。 (1)能反映点阵的周期性能反映点阵的周期性。将晶胞沿a，b，三个晶轴方向无限重复堆积（或平移）就能得出整个点阵（既不漏掉结点，也不产生多余的结点)。 (2)包含尽可能多的直角包含尽可能多的直角，尽量直观地反映点阵的对称性。 (3)晶胞的体积最小晶胞的体积最小。 其中，第(1)个条件是所有晶胞都要满足的必要条件。第(2)和第(3)两

12、个条件若不能兼顾，则至少要满足一个。 第二节 晶面指数（Crystal-plane Indices） 和晶向指数（Crystal-direction Indices） 在点阵中由结点构成的平面称为晶面晶面（Crystal Plane），连接点阵中任意结点列的直线方向称为晶向（晶向（Crystal Direction）。不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力学行为、相变、X 光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。所以，为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。 一、晶面和晶向指数的确定 1.晶面指数的确定 国际上通用的

13、是密勒（Miller）指数，即用三个数字来表示晶面指数。图2-201中的红色晶面为待确定的晶面，其确定方法如下。(1)建立一组以晶轴 a，b，c 为坐标轴的坐标系，令坐标原点不在待标晶面上，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c。 (2)求出待标晶面在 a，b，c 轴上的截距x，y，z。如该晶面与某轴平行，则截距为。(3)取截距的倒数 1/x，1/y，1/z。(4)将这些倒数化成最简整数比h，k，l，使h k l = 1/x 1/y 1/z。(5)将h，k，l 置于圆括号内，写成(h k l)，则(h k l)就是待标晶面的晶面指数。下面是一个例子 请确定图2-202(a)中的晶面的晶面

14、指数，并在图2-202(b)中画出这些晶面指数所代表的晶面。 首先选定坐标系，如图所示。然后求出待标晶面在a，b，c轴上的截距，分别为1/2，2/3，1/2。取倒数后得到2，3/2，2。再将其化成最简整数比，得到4，3，4三个数。于是该面的晶面指数为(434)。 所有相互平行的晶面在三个晶轴上的截距虽然不同，但它们是成比例的，其倒数也仍然是成比例的，经简化可以得到相应的最简整数。因此，所有相互平行的晶面，其晶面指数相同，或者三个符号均相反。可见，晶面指数所代表的不仅是某一晶面，可见，晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而且代表着一组相互平行的晶面。而且代表着一组相互平行的晶面。 2.晶向指数的确定

15、用三指数表示晶向指数u v w的步骤如图2-203所示：(1)建立以晶轴 a，b，c 为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长 a，b，c，坐标原点在待标晶向上。(2)选取该晶向上原点以外的任一点 P(x，y，z)。(3)将 x，y，z 化成最简整数比 u，v，w，且 u v w = x y z。(4)将 u，v，w 三数置于括号内就得到晶向指数u v w 。 当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。若原点不在待标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标 P(x1，y1，z1)和 Q(x2，y2，z2)，然后将(x1-x2)，(y1-y2)，(z1-z2)三个数化成

16、最小的简单整数 u，v，w，并使之满足u v w =(x1-x2) (y1-y2) (z1-z2)。则u v w为该晶向的指数。或者将待标晶向平移至（通过）原点，在平移后的晶向上重复前述标定过程(2)至(4)即可。显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。若所指的方向相反，则晶向指数的一致的晶向。若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反。数字相同，但符号相反。 关于晶面指数和晶向指数的确定方法还有以下几点说明：(1)参考坐标系通常都是右手坐标系。坐标系可以平移（因而原点可置于任何位置）。但不能转动，否则，在不同坐标系下定出的指数就无法相互比较。

17、(2)晶面指数和晶向指数可为正数，亦可为负数，但负号应写在数字上方，如 ， 等。(3)若各指数同乘以不等于零的数n，则新晶面的位向与旧晶面的一样，新晶向与旧晶向或是同向(当 n 0)，或是反向(当 n 0 )。但是，晶面距（两个相邻平行晶面间的距离）和晶向长度（两个相邻结点间的距离）一般都会改变，除非 n = 1。 第三节 一些晶体学重要公式 一、晶带定理(Zone Law)1.晶带的定义晶带晶带（Crystallographic Zone)：许多不同的晶面组都平行与同一直线时，则这些晶面组总称为一个晶带，与之平行的直线称为晶带轴（晶带轴（Crystallographic Zone Axis）

18、。）。 晶带定理晶带定理:晶带轴u v w 与晶带的晶面（h k l）之间符合下列关系：hu + kv + lw = 0（2-301） 证明：晶带轴u v w的直线方程为： （2-302）晶面（h k l）的方程为: （2-303）即: hx + ky + lz= 1 所以，直线u v w与平面(h k l)平行时，必须 hu + kv + lw = 0（2-304） 已知两个互不平行的晶面(h1,k1,l1)、(h2,k2,l2),其晶带轴u v w可以求出：晶面的(h1,k1,l1)的方程为：h1x + k1y + l1z = 1（2-305）同样晶面(h2,k2,l2)的方程为:h2x

19、+ k2y + l2z = 1（2-306）晶面(h1,k1,l1)的法线向量为: = h1,k1,l1（2-307）晶面(h2,k2,l2)的法线向量为: = h2,k2,l2（2-308）由于两平面的交线与n1，n2均垂直 必须指出：1 .以上公式所计算的晶面间距只对简单晶胞而言，如果是复杂晶 胞（如：体心，面心有原子），在计算时应考虑晶面层数的影响。 2.晶面间距最大的面总是阵点原子最密排的晶面。 第四节 常见晶体结构及其几何特征 一、常见晶体结构在金属晶体中，金属键使原子的排列趋于尽可能地紧密，构成高度对称性的简单的晶体结构。最常见的金属晶体结构有以下三类。 体体 心心 立立 方方 面

20、面 心心 立立 方方 密密 排排 六六 方方 1.体心立方结构 ( A2 )体心立方结构的缩写为 bcc（Body-Centered Cubic），其晶胞结构如图2-401所示。属于此类结构的金属有：碱金属、难熔金属（V，Nb，Ta，Cr，Mo，W）、-Fe 等等。 2.面心立方结构 ( A1 ) 面心立方结构的缩写为fcc（Face-Centered Cubic），其晶胞结构如图2-402所示。属于此类结构的金属有：Al，-Fe，Ni，Pb，Pd，Pt，贵金属以及奥氏体不锈钢等。 二、几何特征 所谓几何特征包括以下几个方面。 1.配位数（Coodinative Number(CN)）配位数配位数是指晶体结构中，与任一原子最近邻并且等距离的原子数。对纯元素晶体来说，任一原子到最近邻原子的距离必然是相等的。但是，对于多种元素形成的晶体来说，任一原子到不同元素的最近邻原