牛顿插值公式的一个应用

1、牛顿插值公式的一个应用摘要本文从具体例题出发 ,通过数值逼近中的牛顿插值公式 ,解决了初等数学中的一类较为复杂的求函数值、求范围、作证明的相关问题。关键字 牛顿插值公式 函数值 范围中图分类号 :O711 文献标识码 :A牛顿(Newton)插值是数值逼近中的一个重要部分，它向前继承了拉格朗日(Lagrange)插值，向后引出了埃尔米特 (Hermite) 插值 ,可以看作对多项式插值作了一个简单的统一。 相关的研究也是比比皆是。 牛顿插值公式具有形式简单,便于计算等优点。 因此,在插值中得到的广泛的应用。本文将从初等数学的角度来研究牛顿插值公式的有效应用。1 牛顿插值公式定义1:若在a,b上

2、给出n+1个点,f (x)是a,b上的实值函 数,则可得f (x)在a,b的牛顿插值多项式，(1)其中插值余项 而则称之为 (n 阶)差商 ,记(2)所以上定义可知 ,只要按顺序求出 0 到 n 阶的差商 ,我们 就可以求出已知节点的插值多项式 p(x), 而在所求的过程中 , 前面所求的阶差商同时为阶差商服务的。当然这也正是牛顿 插值公式的优点所在。定理 1:对于上述定义中的牛顿插值多项式是唯一的。(证明参见文献 1)定理2:对于定义1中，如果f (x)为多项式函数，则p (x)可 以精确表示 f (x)。根据定义 1 以及定理 1 ,我们不难得到定理 2,即如果给定 的f(x)本身就是多项

3、式，则我们根据(1)所得的p(x)就应该是 f(x) 本身了。我们现在就利用这点来解决初等数学中的相关 问题。2 求函数值问题例 1 、已知求 f(4).解: (对于一般情况我们会选择代入后解一个方程组,但当方程组较多是解起来比较麻烦,且易出错 ,现以牛顿插值的方法来解 )由定义知 ,我们可根据 (-1,2),(1,1),(2,1) 三点来作牛顿插值 由定理 2 知其可精确表示 f(x), 即则由(2)式知:所以3 求范围问题例 2、已知 , 且满足 ,试求的范围。解:由公式 (1),现将 f (x) 在 x=1,x=2,x=3 三点作牛顿插值 则得到:再按 (2)得,所以故 maxmin所以

4、得到 :例 3、已知 ,满足 ,求的范围。解 :同上将在 x=1,x=2,x=3 点展开 ,得由已知条件 ,方程的一次项系数为零 ,则通过与上式的比 较知 :,按(2)式分别计算可得到 :,故 max,min, 所以得到 :4 用作证明例 4、已知 ,求证 :|,|,|中至少有一个不小于 1/2 。 （下转第145 页 ）（上接第 138 页）证明 :同上 ,先做牛顿插值 ,有由已知条件知二次项的系数为 1,也即 :展开即得如果 |,|,|都小于 1/2,则|+2|+|得到矛盾 ,所以原命题成立。5 结语从上可以看出 ,牛顿插值很好地解决了相关的题目 ,当然 这种方法对于次数更高也是同样适合的 （只要给出的函数是 多项式函数即可 ）,上述例对于高中生来说有一定难度 ,应用高 等数学的知识去做却变的很简单。从这里可以看出高等数学 的学习对我们中学数学教学的指导具有重要的作用。相信可 以作为中学数学教学过程中的一个很好的补充内容。参考文献1 合肥工业大学数学与信息