高等代数习题集

1、高等代数习题集21. 设 x = ，求x。 2. 设二次型 f (x1, x2, . , xn)是不定的，证明： 存在n维向量x0，使 x0'ax0 = 0，其中a是该二次型的矩阵。 3. 设 w = f (x)| f (x) px4, f (2) = 0。 a 证明：w是px4的子空间。 b 求w的维数与一组基。 4. 在r3中定义变换a：任意 (x1, x2, x3) r3, a(x1, x2, x3) = (2x2 + x3, x1 -4x2, 3x3)。 1， 证明：a是rr3上线性变换， 2， 求a在基 xi1 = (1, 0, 0), xi2 = (0, 1, 0), xi

2、3 = (1, 1, 1)下的矩阵。 5. 设 ，求正交矩阵t，使t'at成对角形。 6. 设v是数域p上n维线性空间，a是v上可逆线性变换， w是a的不变子空间。证明：w也是a-1的不变子空间。 7. 设v是n维欧氏空间，a是v上变换。 若任意 , v，有 (a, a) = (,)。 证明：a是v上线性变换，从而是v上正交变换。 8. 设 x = ，求x。 9. 设a是奇数级的实对称矩阵，且| a| > 0， 证明：存在实n维向量x0 0，使 x0'ax0 > 0。 10. 设 a = ， w = | r4, a = 0。证明： 1. 1，w是 4的一个子空间。

3、2. 2，求w的维数与一组基。 11. 设 b， c = ，在 r2 x 2中定义变换a：任意 x r2 x 2, a(x) = bxc。 1， 证明：a是 r2 x 2上线性变换。 2， 求a在基 e11, e12, e21, e22下的矩阵。 12. 用正交线性替换，化实二次型 f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形。 13. 设v为数域p上线性空间，a是v上线性变换， 若 (a2)-1(0) = a-1(0)，证明： v = av.+a-1(0)。 14. 设v是n维欧氏空间。a是v上正交变换，w是a的不变子空间。 证明：w也是a的不变子空间。

4、15. 设 x = ，求x。 16. 设a是奇数级的实对称矩阵，且| a| > 0， 证明：存在实n维向量x0 0，使 x0'ax0 > 0。 17. 设 a = ， w = | r4, a = 0。证明： 1. 1，w是 4的一个子空间。 2. 2，求w的维数与一组基。 18. 设 b， c = ，在 r2 x 2中定义变换a：任意 x r2 x 2, a(x) = bxc。 1. 1，证明：a是 r2 x 2上线性变换。 2. 2，求a在基 e11, e12, e21, e22下的矩阵。 19. 用正交线性替换，化实二次型 f (x1, x2, x3) = 2x1x2

5、+2x1x3 -2x2x3为标准形。 20. 设v为数域p上线性空间，a是v上线性变换， 若 (a2)-1(0) = a-1(0)，证明： v = av.+a-1(0)。 21. 设v是n维欧氏空间。a是v上正交变换，w是a的不变子空间。 证明：w也是a的不变子空间。 22. 设 x = ，求矩阵x。 23. 设实二次型 f (x1, x2, . , xn) = x'ax的秩是n,其中a是实对称矩阵. 证明:实二次型 g(x1, x2, . , xn) = x'a-1x与 f (x1, x2, . , xn)有相同的正负惯性指数和符号差 。 24. 设 w = (a1, a2,

6、 . , an)| ai r,ai = 0 证明 1. 1，证明：w是 rn的子空间。 2. 2，求w的维数与一组基。 25. 设 b = , b = .在 r2中定义变换: 对任意 x r2 x 2,x = bx + xc 1. 1，证明：是v上线性变换。 2. 2，求在基 e11, e12, e21, e22 下的矩阵。 26. 设 a = ，求正交矩阵t，使t'at成对角形。 27. 设v为数域p上n维线性空间，v1, v2为其子空间， 且 v = v1v2,为v上可逆的线性变换. 证明： v = v1 + v2。 28. 设v为n维欧氏空间，若a既是v上对称变换且a2 = e。

7、 证明：存在v的一组标准正交基，使得在该基下的矩阵为 。 29. 设 x = ，求矩阵x。 30. 设 f (x1, x2, . , xn) = x'ax是实二次型,其中a是实对称矩阵.如果x'ax = 0当且仅当x = 0。 证明： f (x1, x2, . , xn)的秩为n，符号差是n或- n. 31. 设 = (1, 2, 3, 0), = (- 1, -2, 0, 3)， = (0, 0, 1, 1), = (1, - 2, - 1, 0)， w = ki| ki r。 1. 1，证明：w是rr4的子空间。 2. 2，求w的维数与一组基。 32. 设a三维向

8、量空间v上可逆线性变换，a在 基 ,下的矩阵是 。 1. 1，证明：a的逆变换a-1也是v上线性变换。 2. 2，求a-1的在 ,下的矩阵。 33. 设 ，求正交矩阵t，使t'at成对角形。 34. 设v为n维欧氏空间，若a既是v上正交变换，又是v上对称变换。 证明：a2是v上的恒等变换。 35. 设v为数域p上n维线性空间，w为其子空间，a为v上线性变换。 证明：维(aw) +维 (a-1(0) w) =维w。 36. 设 x = ，求矩阵x。 37. 设 w = a| a r3 x 3, a' = - a。 1. 1，证明：w是 r3 x 3的一个子空间。 2. 2，求w的

9、维数与一组基。 38. 设实二次型 f (x1, x2, . , xn) = x'ax的秩为n， 符号差是s。证明：r中存在 (n - | s|)维子空间w使任意x0 w， x0'ax0 = 0。 39. 在rx3中定义变换a：任意 f (x) rx3, a(f (x) = xf'(x)。 1. 1，证明：a是rx3上线性变换。 2. 2，求a在基 1, x + 1, x2 + x + 1下的矩阵。 40. 设 a = ，求正交矩阵t，使t'at成对角形。 41. 设v为数域p上n维线性空间，a为v上线性变换。证明： 维(av) +维 (a-1(0) =维v。

10、42. 设v为n维欧氏空间，若a是v变换，若任意 , v， (a,) = (, a)。 证明：a是v上线性变换，从而为v上对称变换。 43. 设 v = px5,f (x) v ，有 f (x) = (x2 - 1)q(x) + r(x)， 其中r(x) = 0或次(r(x) < 2, 1. 1，证明： f (x) v,令 a(f (x) = r(x)，则a是v的一个线性变换; 2. 2，求a在基 1, x, x2, x3, x4下的矩阵. 44. 用正交线性替换，把实二次型 f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 +2x2x3化为标准形， 并求所用的正交线性替换,

11、45. 设a, b是n x n正定矩阵，证明：a2 + b2是正定矩阵, 46. 设 w = a| a = (aij)n pn x n,aii = 0, 1. 1，证明：w是 pn x n的子空间, 2. 2，求w的维数与一组基, 47. 判别下述结论是否正确，并说明理由, 1. 1，若n x n矩阵a, b有相同特征多项式，则a与b相似； 2. 2，若w是n维欧氏空间v的子空间w的正交补，则 v = w w, 48. 设a为n维欧氏空间v的线性变换， 证明：a是对称变换的充要条件是a有n个两两正交的特征向量, 49. 设a, b是数域p上n维线性空间v的两线性变换,若ab = ba，并且a有

12、n个互异的特征值, 证明：a, b有n个线性无关的公共的特征向量. 50. 求矩阵 a = 的特征值和特征向量。 51. 求二次型 f (x1, x2, x3) = x12 +5x1x2 -3x2x3 的标准型，并写出所用的非退化的线性替换。 52. 设v是由零多项式和数域 上 次数小于3的一元多项式的全体组成的p上线性空间。对于任意的 f (x) v,定义 (f (x) = f'(x) - f''(x).证明 1. 1，证明：是v的线性变换。 2. 2，求在基 1, x + 1, x2 - x下的矩阵。 53. 设v是一个欧氏空间， , v。证明: | = | ( +

13、 , - ) = 0 54. 设 w = f (x)| f (x) px4, f (2) = 0. 1. 1，证明：w是px4的子空间。 2. 2，求w的维数与一组基。 55. 设a为线性空间v上线性变换。证明： a是可逆的线性变换的充要条件是a 的特征值一定不等于零. 56. 设a为n x n实矩阵， a = a', a3 = en 证明：a = en 。 57. 设 x = ,求矩阵x。 58. 在rr3中定义线性变换a： (a1, a2, a3) r3, a(a1, a2, a3) = (2a2 + a3, a1 -4a2, 3a1)。求在基 (1, 0, 0),(1, 1, 0

14、),(1, 1, 1)下的矩阵. 59. 用正交线性替换化二次型 f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形 60. 设v为数域p上n维线性空间，a是v的一个可逆线性变换， w是a子空间。证明：w也是a-1-子空间。 61. 设a是正定矩阵，证明： a-1, a2都是正定矩阵。 62. 设v为数域p上n维线性空间，a是v的线性变换，且 kera = kera2。证明： v = kera av。 63. 设v为n维欧氏空间，a是v上对称变换，且a2 = e。 证明：存在v的一标准正交基，使a在该基下的矩阵是 . 64. 设 b p2 x 2， 1. 1，证明

15、： a(x) = bx - xb,x p2 x 2是 p2 x 2上一个线性变换； 2. 2，当 b = 时，求a在基 e11, e12, e21, e22下的矩阵。 65. 用正交线性替换，把实二次型 f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 +2x2x3化为标准形， 并求所用的正交线性替换。 66. 设 w1 = | x, y, z p, w2 = | a, b, c p都是 p2 x 2的子空间。 1. 1，求 w1 w2的维数和一组基； 2. 2，求w1 + w2的维数。 67. 判别下述结论是否正确，并说明理由。 1. 1，设 a, b pn x n，若a

16、, b有相同特征多项式，则a与b相似； 2. 2，设a是p上n维线性空间v的线性变换，若a有n个不同特征值，则 a在某基下的矩阵是对角形。 68. 判别实二次型 f (x1, x2, x3) = 3x12 +4x22 +5x32 +2x1x2 -4x2x3 是不是正定的？并说明理由。 69. 设a, b是数域p上n维线性空间v的两线性变换。 若a有n个互异的特征值，且a的特征向量都是b的特征向量， 证明：ab = ba。 70. 设a, b是n阶实对称矩阵，且b是正交矩阵。证明：存在n x n实可逆矩阵t，使t'at与t'bt同时为对角形。 71. 设 x = ，求矩阵x。 7

17、2. 设 b， c = ，在 r2 x 2中定义变换a：任意 x r2 x 2, a(x) = bxc。 1. 1，证明： a是 r2 x 2上线性变换。 2. 2，求a在基 e11, e12, e23, e22下的矩阵。 73. 用正交线性替换，化实二次型 f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形。 74. 设 w = (a1, a2, . , an)| ai rn, a1 + a2 + . + an = 0。 1. 1，证明：w是rn的子空间。 2. 2，求w的维数与一组基。 75. 设v为数域p上n维线性空间，v1, v2为v的两子空间， 且 v

18、= v1 v2, a是v上可逆线性变换。证明： v = av1 av2。 76. 设v是一个欧氏空间， , v， 证明： | = | + , - ) = 0。 77. 设a是欧氏空间v的一个正交变换， 证明：a的不变子空间的正交补也是a的不变子空间。 78. 设 v = p2 x 2, b v，(1)证明：变换a： x bx - xb是v上一个线性变换；(2)当 b = 时，求a在基eij下的矩阵。 79. 求 f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -6x2x3的标准形， 并给出所用的非退化线性替换p. 80. 求k为何值时 f (x1, x2, x3) = x12 +

19、(k + 2)x22 + kx32 +2x1x2 -2x1x3 -4x2x3 是正定的。 81. 判别下述结论是否正确，并说明理由。 1. 1，设 a, b pn x n，若a, b有相同特征多项式，则a与b相似； 2. 2，设a是p上n维线性空间v的线性变换，若a有n个不同特征值，则 a在某基下的矩阵是对角形。 82. 设 w1 = | x, y, z p, w2 = | a, b, c p都是 p2 x 2的子空间。 (1)求 w1 w2的维数和一组基；(2)求w1 + w2的维数。 83. 设 a = ， 1. 1，求a的特征值与特征向量； 2. 2，a是否相似于对角形，为什么

20、？ 84. 设a, b是数域p上n维线性空间v的两线性变换。 若a有n个互异的特征值，且a的特征向量都是b的特征向量， 证明：ab = ba。 85. 设a, b是n阶实矩阵，且b是正定矩阵。证明：存在实可逆矩阵p， 使ptap与ptbp同时为对角形。 86. 设 v = p2 x 2, b v， 1. 1，证明：变换a： x bx，是v上一个线性变换； 2. 2，当 b = 时，求a在基eij下的矩阵。 87. 求 f (x1, x2, x3) = x1x2 + x1x3 + x2x3的标准形， 并给出所用的非退化线性替换. 88. f (x1, x2, x3) = 3x12 +4x22 +

21、5x32 +2x1x2 -4x2x3是否正定。为什么？ 89. 判别下述结论是否正确，并说明理由。 1. 1，设 a, b pn x n，若a与b相似，则a, b有相同特征多项式； 2. 2，设a是n维线性空间v的线性变换，若a在某基下的矩阵是对角形， 则a有n个互异特征值。 90. 设 = (1, 0, 1, 1), = (1, -1, 1, 2), beta1 = (1, -1, 0, 1), = (0, 1, 0, 1), w1 = l(,), w2 = l(,)。 1. 1，求w1 + w2的维数和一组基； 2. 2，求 w1 w2的维数。 91. 设 a = ， 1. 1，求a的特征

22、值与特征向量； 2. 2，a是否相似于一个对角矩阵，为什么？ 92. 设a是实对称矩阵，并且a3 = en。证明：a = en。 93. 设a, b是数域 上n维线性空间v的两线性变换。若ab = ba，并且a有n个互异的特征值。 证明：a, b有n个线性无关的公共特征向量. 94. 设 v = px5,f (x) v, a(f (x) = r(x)， 其中 f (x) = (x3 - 1)q(x) + r(x), r(x) = 0或次(r(x) < 3。 1. 1，证明：变换a是v的一个线性变换。 2. 2，求a在基 1, x, x2, x3, x4下的矩阵。 95. 设 a = 求正

23、交矩阵t使t'at为对角形。 96. 设a, b是n x n正定矩阵，证明：a2 + b2是正定矩阵。 97. 判别下述结论是否正确，并说明理由。 1. 1，设a是n维线性空间v的线性变换，则 v = av kera； 2. 2，设v为欧氏空间，a是v的一个对称线性变换， ,是a之属不同特征值下的特征向量,则 , 98. 设 ,是 上n维线性空间v的线性变换， w既是-不变子空间,也是-不变子空间.证明: 1. 1，w是 + ,-不变子空间； 2. 2，若是可逆的，则w是 -不变子空间, 99. 设 w = a n x n| tra = 0, (其中tra表示a的主对角线元素

24、的和). 1. 1，证明：w是一个子空间； 2. 2，求w的维数和一组基. 100. 设 a = 可逆，其中 a1 pm x n, wi = aix = 0 之解空间,证明： pn = w1 w2. 101. 设a在基 ,下的矩阵是 a = 求在基 = 2 +3 + , = 3 +4 + , = +2 +2下的矩阵. 102. 设 a = 求a的特征值，特征向量.a是否相似于对角矩阵？ 103. 设a正定矩阵，证明：a*也正定. 104. 判别下述结论是否正确，并说明理由. 1. 1，n级实矩阵a是负定的充要条件是a的顺序主子式全小于0； 2. 2，n维欧氏空间v之正交变换把v的正交基变成正交

25、基. 105. 设是a之属的特征向量， g(x) = akxk px，证明：是g(a)之属 g()的特征向量。 106. 设a是n维线性空间v的线性变换，证明下述等价. 1. 1，a可逆； 2. 2， kera = 0； 3. 3，a将v的基变成基. 107. 设xtax是实二次矩阵，xtbx是正定二次矩阵，其中a, b是对称矩阵, 则存在非退化线性替换x = py把它们同时变换成标准形。 108. 设 v = px5,f (x) v, a(f (x) = r(x)， 其中 f (x) = (x2 - 1)q(x) + r(x)，r(x) = 0或次(r(x) < 2)。 1. 1，证明

26、：变换a是v的一个线性变换。 2. 2，求a在基 1, x, x2, x3, x4下的矩阵。 109. 用正交线性替换，把实二次型 f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 +2x2x3化为标准形， 并求所用的正交线性替换。 110. 设a, b是正定矩阵，证明：a + b，a-1都是正定矩阵。 111. 判别下述结论是否正确，并说明理由。 1. 1，若数域p上n阶矩阵a, b有相同特征多项式，则a与b相似； 2. 2，若w是n维欧氏空间v的子空间w的正交补，则 v = w w。 112. 设 v1, v2, v3 v是有限维子空间，证明： dimv1 + dimv2 + d

27、imv3 = dim(v1 + v2 + v3) + dim(v3 (v1 + v2) + dim(v1 + v2)。 113. 设a为n维欧氏空间v的线性变换， 证明：a是对称变换的充要条件是a有n个两两正交的特征向量。 114. 设a是n维欧氏空间的一个线性变换， (,)是v的内积。证明： (a(), a()是v的内积 a可逆。 115. 设 a = ，求a的逆矩阵。 116. 求二次型 f (x1, x2, x3) = x12 +5x1x2 -3x2x3的一个标准形， 并写出所用的非退化的线性替换。 117. 设 a = ，求a的所有特征值，特征向量。a是否相似于一个对角矩阵，为什么？

28、118. 设a是p上n x n矩阵， w = f (x) px| f (a) = 0。 证明：w关于通常的加与数乘是一个p上的线性空间。 119. 设 = (1, 2, 1, 0), = (- 1, 1, 1, 1), = (2, -1, 0, 1), = (1, - 1, 3, 7)，求 l(,) + l(,)与 l(,) l(,) 的维数。 120. 设v是一个欧氏空间， , v， 证明： | = | ( + , - ) = 0。 121. 设a是n x n实矩阵，证明：a'a是半正定矩阵。 122. 设a是欧氏空间的一个实对称变换。证明：若a4 = 0，则a = 0。

29、123. 设 a = ，求a的逆矩阵。 124. 求二次型 f (x1, x2, x3) = 3x12 -5x1x2 +2x1x3 - x32的一个标准形， 并写出所用的非退化的线性替换。 125. 设 a = ，求a的最小的特征值，并求属于该特征值的全体特征向量。 126. 设a是p上n x n矩阵， w = f (a)| f (x) px。 证明：w关于通常的加与数乘是一个线性空间。 127. 设v是p上2 x 2矩阵全体组成的一个线性空间，对b v，令 a(b) = ，其中b'是b的转置。 1. 1，证明：a是v的一个线性变换。 2. 2，求a在基 ,下的矩阵。 128

30、. 设v是欧氏空间， , v。证明： (,) = | + |2 - | - |2。 129. 设a是3 x 3矩阵。若1, 1, - 2是a的特征值，求 a2 +2a - 3e3的行列式。 130. 设a是n x n实对称矩阵。证明：若a3是半正定矩阵，则a是半正定矩阵。 131. 求矩阵x，使 x = 。 132. 求二次型 f (x1, x2, x3) = x12 -6x1x2 +4x1x3 -7x22 + x32的一个标准形， 并写出所有的非退化的线性替换。 133. 设 a = ，求a的最大的特征值，并求属于该特征值的全体特征向量。 134. 设a是一个p上n x n矩阵，w是所有形为

31、ab(其中b是n x m矩阵)全体所成的集。 证明：w关于通常的加与数乘是一个p上的线性空间。 135. 设v是由零多项式和p上次数小于3的一元多项式的全体组成的p上的线性空间。 对于f (x) v，令 a(f (x) = f'(x) - f''(x)。 1. 1，证明：变换a是一个线性变换。 2. 2，求a在基 1, x + 1, x2 - x下的矩阵。 136. 设v是欧氏空间， , v。证明： 若 | + |2 = |2 + |2，则与正交。 137. 设a, b都是n x n正定矩阵。证明：a + b也是正定矩阵。 138. 设a是n x n实对称矩阵。证明：

32、若a5 = en，则a = en。 139. 设 a = ，求a的逆矩阵。 140. 求二次型 f (x1, x2, x3) = 2x12 + x22 -4x1x2 -4x2x3的一个标准形， 并写出所用的非退化的线性替换。 141. 设 a = ，求a的最小的特征值，并求属于该特征值的全体特征向量。 142. 设v是欧氏空间，w是v上所有对称变换组成的集合。 证明：w关于通常的加与数乘是一个r上的线性空间。 143. 设v是p上2 x 2矩阵全体组成的一个线性空间，对b v，令 a(b) = b。 1. 1，证明：a是v的一个线性变换。 2. 2，求a在基 ,下的矩阵。 144. 设v是一个

33、欧氏空间， , v。证明： 若与正交，则 | + |2 - | - |2 = 0。 145. 设a是n x n矩阵。证明：若0是a的一个特征值，则a不是可逆的。 146. 设a是n x n实对称矩阵。是a的最大特征值。 证明： ( +1)en - a是正定矩阵。 147. 求矩阵x，使 x = 。 148. 求二次型 f (x1, x2, x3) = 2x12 +5x22 +5x32 +4x1x2 -4x1x3 -8x2x3的一个标准形， 并写出所用的非退化的线性替换。 149. 设 a = ，求a的全体实的特征值，并求属于这些特征值的全体特征向量。 150. 设 w = f (x) px|&

34、#160;f (1) = 0。 证明：w关于通常的加与数乘是一个上p的线性空间。 151. 设 = (1, 2, -1, -2), = (3, 1, 1, 1), = (- 1, 0, 1, -1), = (2, 5, -6, 5), = (- 1, 2, - 7, - 3)，求 l(,) + l(,)与 l(,) l(,) 的维数。 152. 设v是一个欧氏空间， , v。证明： | + |2 + | - |2 = 2|2 +2|2。 153. 设a是3 x 3矩阵。若1, - 1, - 2是a的特征值，求 a2 -3a - 10e3的行列式。 154. 设a是一个n x n实对称矩阵.如果对任意n维列向量（视为n x 1矩阵）， 有 (a,) > 0。证明：a是正定矩阵。 155. 计算向量组， = , = , = , = 的秩. 156. 计算行列式： . 1