《参数方程》练习题

1、、选择题:1直线I的参数方程为x a t（t 、| R对应的参数是右，则点R与P（a,b）之间的y b t i为参数），上的点距离是（C 2tlC .迈tl2.参数方程为1t （t为参数）表示的曲线是A. 一条直线.两条直线 C .一条射线两条射线x3.直线11 -t2-（t为参数）和圆X216交于A, B两点，贝U AB的中点坐标为（D ）3.3A. (3,3)B3,3) c . (.33)4.把方程xy 1化为以t参数的参数方程是A.1t21t2sintcosttantsintcosttant5 .若点P（3,m）在以点为焦点的抛物线4t2（t为参数）上，则PF等于（c ）4tA.6 ,直

2、线tsi n200tcos20°为参数）的倾斜角是.70二、填空题:7.曲线的参数方程是1t(t为参数,t t20），则它的普通方程为_y *（xD-（x1） 2&点P（x,y）是椭圆2x2 3y212上的一个动点，则x 2y的最大值为曲线% 2Pt。为参数，p为正常数）上的两点M ,N对应的参数分别为右和t2.,y2pt且 ti t2。，那么 MN4ptix t cos10 .直线与圆y tsin11 .设曲线c的参数方程为x 4 2cos5c,相切，则一y 2si n6x=tX轴的正半轴为极轴0 （t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，y=t建立极坐标系，则曲线C的极坐

3、标方程为cos2 sin 0三、解答题:12.已知点P（x, y）是圆x22y上的动点,（1）求2xy的取值范围；（2）a 0恒成立，求实数a的取值范围。cos解：(1)设圆的参数方程为y 1 sin2x y 2cos sin(2)x y a cos sin、 . 5sin( )1.51 2x y .51(cos sin).2 si n(-)13 ,分别在下列两种情况下,把参数方程e，cos化为普通方程:1（et et）sin（1）为参数，t为常数；（2）t为参数，1.解：）当 t 0 时，y 0, x cos，即 x为常数；1,且 yo ；0 时，cos1 zt t(ee)2而 X2221，

4、即厂-(el e)21Zt(e e2y 1-(el e .(2)当 k,kZ时，yOA1/t尹1,且 y o ；k ! k Z 时，x20,1 zt t(e e).2te2x2xtecos 2y qincos2x2y sin2y ciin得2b2e t化辽cos sin2x 2ycos sin（2）设I与圆x2 y2解：（1）直线的参数方程为x（2）把直线入 t代 迺 2 UH222 13t(制4t2.54222-Y2工2cossin14 已知直线I经过点倾斜角一，（1）写出直线I的参数方程。64相交与两点代B , 求点P到A,B两点的距离之积。tcos 6tsin6址22，则点P到A,B两点

5、的距离之积为过点（丁，。）作倾斜角为的直线与曲线*12y2 1交于点M,N ,求PM PN的最大值及相应的的值。X解：设直线为4&cos 4为参数) tsin，代入曲线并整理得(1 Sjn2 )t2(,10cos )t30,则 PM PN21 sin2所以当sin21时，即16.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，3PM PN的最大值为一，此时2Y确Mr昨存平赤山七*R/山段、木R人伏丘玄0。,已知点A的极坐标为2,4，直线I的极坐标方程为cos）a，且点A在直线I上。4求a的值及直线I的直角坐标方程;(n)圆x 1 cos aC的参数方程为（a为参数），试判断直线I与圆C的位置关系【解

6、析】所以直线从而直线(n)y sin a（I）由点AC - 2,一）在直线4I的方程可化为cos sinI的直角坐标方程为xy2由已知得圆C的直角坐标方程为所以圆心为（1,0），半径rcos(以为圆心到直线的距离d17.在直角坐标系中，直线a a 2上，可得(x 1)2 y2l2 ' ' 、1，所以直线与圆相交2I的方程为x-y+4=0 ,曲线C的参数方程为.（I ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点0为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4,），判断点P与直线I的位置关系;（II ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线I的距离的最小值解：（

7、1）把极坐标下的点（4,一）化为直角坐标得：P （0,4）又点P的坐标满足直线方程,所以点P在直线I上。（2 ）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为C3sin ,cos ），从而点e到直线I的距离为0。I J3 cos sin 41 d22 cos()4(I)求圆c的直角坐标方程；(H)设圆C与直线I交于点力B,若点P的坐标为(3八5),、.2 cos() 21 2 ，因止匕当 cos( 1666时，d去到最小值，且最小值为3 2,x 2 _(t为参数)。在极坐标系(与直角坐18 .在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为20为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为标系xoy取相同的长度

8、单位，目以原点2、，5 s in。求 IPAI+IPBI【解析】(I)由2、5sin得x2y22、5y0,即 x2(y、,5产5.2t)2 (2评22(n)将I的参数方程代入圆c的直角坐标方程,得(3即t2 3、2t 40,由于(3、2)2442 0，故可设右花是上述方程的两实根,所以t1 t2 3'2,又直线|过点P(35),故由上式及t的几何意义得: tt4IPAI + IPBI= |ti|+|t2|=ti+t2= A2。X 1 t COSX cos19.已知直线C(t为参数)，。(为参数)，y t si ny sin(1)当=一时,求C与C2的交点坐标； 3(n)过坐标原点0做G

9、的垂线，垂足为A, P为0A中点，当变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。(23)解:(I )当时，G的普通方程为y .3(x 1) , C2的普通方程为x2 y21 o联立方程组向X 1)，解得G与C2的交点为(1,0 ) y2 1(n) G的普通方程为xsin y cos sin 0。A点坐标为sin2cos sin，故当 变化时，p点轨迹的参数方程为:x sin2为参数,P点轨迹的普通方程为。1 .y sin cos21i故P点轨迹是圆心为I,。，半径为上的圆。4422.已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在

10、上，且依逆时 针次序排列，点的极坐标为(1) 求点的直角坐标；(2) 设为上任意一点，求的取值范围。【解析】(1)点的极坐标为点的直角坐标为(2)设；贝U21 .在直角坐标系xOy中，以O为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系。圆G，直线C2的极坐标方程分别为 4sin , cos ( ) 2 2.()求G与C2的交点的极坐标；()设P为G的圆心，Q为G与C2的交点连线的中点，已知直线x t a,PQ的参数方程为b3 (tR为参数).求a,b的值。y 112【解析】()由 x2y2, cos x, sin y得，圆G的直角坐标方程为x2 (y 2) 24，直线C2的直角坐标方程分别为X (y2)

11、24 X 0, X2 2,由X(V 24,解得2X y 40.yi 4, y2 2,所以圆G，直线C2的交点直角坐标为(0,4),(2,2)再由x? y2, cos x, sin y，将交点的直角坐标化为极坐标(4, ) , (2,2,)所以GV24与C2的交点的极坐标(4,一), (22,) 24()由()知，点P , Q的直角坐标为(0,2) , (1,3)故直线PQ的直角坐标方程为xy2由于直线PQ的参数方程为.3x t a,彳(t R为参数).消去参数y 11 2对照可得解得a15b 2.2.22 .已知曲线C的参数方程为y5cost（t为参数），以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极 5

12、sin t,轴建立极坐标系，曲线Q的极坐标方程为2sin（）把 C的参数方程化为极坐标方程;（n）求 c与Q交点的极坐标（Po,o <0< 2 n) o【解析】4 5 costcra（ 4产（y 5）2 25消去参数t，化为普通方程（x ）” ）即Ci ：8x10y 160.cossin代入x2y2 8x 10y16 0得cos 10 sin 16 0.(n) C2的普通方程为x2 y2 2y 0.22x y 8x 10y 16°，解得x2 y2 2y 0所以。与C2交点的极坐标分别为C 2,-）,（近）x 2cost23.已知动点P, Q都在曲线C:t为参数 上，对应参

13、数分别为t =ay 2sin t与t=2 a（ oVaV 2 n）出为pq的中点（1）求M的轨迹的参数方程（2）将M到坐标原点的距离d表示为【解析】（1）依题意有p2cos ,2sin的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点,Q 2cos2 ,2sin 2 ，因此M cos cos2 ,sinsi n2M的轨迹的参数方程为x cos cos2 ，o 为参数，0y sin si n2 7 -(2) M点到坐标原点的距离d x2 y22 2cos , 0x 2cos24.已知曲线Ci：y 2 2sin2 .当 时，d0,故M的轨迹过坐标原点ujiv uuuv为参数），M是Ci上的动点，P点满足OP 2

14、OMP点的轨迹为曲线C2（I）求C2的方程（口）在以o为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C2的异于极点的交点为B，求AB -一与g的异于极点的交点为3【解析】（I H&P（x,y）,则由条件知M,由于M点在Ci上，所以22X2cos,z42x 4cos 3 y 4即y 2 2sin .24sin从而C2的参数方程为y 4 4sin(为参数)(n)曲线G的极坐标方程为4sin，曲线C2的极坐标方程为8sin射线射线一与G的交点A的极径为1<3亍C2的交点B的极径为2 8sin.34sin一， 3所以|AB| |2 1I 23.25.在平面直角坐标系xOy中，曲线G的参数

15、方程为X cos,，(为参数)曲线C2的参数方程为/ Qinx a cos(a b 0,为参数)。在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，y bsi nC C与1，2各有一个交点。当0时，这两个交点间的距离为2,当i时5这两个交点重合°(1)分别说明G，C2是什么曲线，并求出a与b的值;设当 一时，|与G，C2的交点分别为人月,当4时，I与Ci，C2的交点为A2, B2 , 4求四边形A1A2B2B1的面积。解：(1)G是圆，C2是椭圆。当0，射线I与G，C2的交点的直角坐标分别是(1,0),(a,0)，这两个交点间的距离为a3，当I时，射线I与C1，C2的交点的直角坐标分别是

16、(0,1 ),(0,b)，b 1(2) G，C2的普通方程分别是X2y21,当时，射线I与Ci，C2的交点A，Bi42的横坐标分别是x.310，射线I与G，C2的两个10 ，交点A2E2分别与4,3关于X轴对称，所以四边形AA2B2B1是梯形, 故那为5X 1 t cos26.已知直线I :, (t为参数，为I的倾斜角，且0)与曲线y tsi nx J2 cosC :(为参数)相交于A、B两点，点F的坐标为(1,0)y sin(1)求ABF的周长；(2)若点E( 1,0)恰为线段AB的三等分点，求ABF的面积。2解：将曲线c消去可得：y3 14 所以 S abf |EF | |yi1，直线I过曲线c的左焦点F (1,0)，2由椭圆的定义可知 ABF 为 | AB| | AF |