误差方程与法方程ppt课件

1、1 一、一、 间接平差原理间接平差原理间接平差不直接列出观测值平差值应满足的条件（条件方程），而是将所有观测值平差值间接平差不直接列出观测值平差值应满足的条件（条件方程），而是将所有观测值平差值均表示为均表示为t个参数的函数（误差方程），观测值通过个参数的函数（误差方程），观测值通过t个参数联系起来，误差方程实际上是个参数联系起来，误差方程实际上是参数形式的条件方程。误差方程矩阵形式为参数形式的条件方程。误差方程矩阵形式为：ntnnnnttlxtxbxavlxtxbxavlxtxbxav2122221221121111 111nttnnlXBV其纯量形式为其纯量形式为2由于方程个数为由于方程个

2、数为n n个，而未知参数为个，而未知参数为 大于方程数，故误差方程没有唯一解，大于方程数，故误差方程没有唯一解，需要求满足最小二乘条件的特解，即满足需要求满足最小二乘条件的特解，即满足 的一组特殊解。的一组特殊解。于是根据求自由极值的原理及列矩阵对列矩阵的微分规则得到于是根据求自由极值的原理及列矩阵对列矩阵的微分规则得到这样通过引用最小二乘准则得出了这样通过引用最小二乘准则得出了t t个方程，将其与个方程，将其与n n个误差方程联立，得到间接个误差方程联立，得到间接平差的基础方程组平差的基础方程组minPVVTtn,VPB即：,PBVXXPBVXl)(BXPVXVPVXPVVnnnntTTTT

3、TT00222213111110tnnnTntnttnnVPBlXBV将第一式代入第二式，得到法方程将第一式代入第二式，得到法方程0)(PlBxPBBTT由法方程，可以求得未知参数的最小二乘解由法方程，可以求得未知参数的最小二乘解4000212121ptlxpttxpbtxpatpblxpbtxpbbxpabpalxpatxpabxpaattt5二、按方向值列误差方程二、按方向值列误差方程N N零方向零方向 jkpjkLjpLjXjYkXkYjZ设设j j、k k的坐标为未知参数：零的坐标为未知参数：零方向坐标方位角方向坐标方位角Z Zj j 为定向角未为定向角未知数知数,Jk,Jk方向坐标方

4、位角表示为方向坐标方位角表示为未知参数和定向角未知数的函未知参数和定向角未知数的函数：数：)(jkjkjkjjkXXYYarctgLZ600000)(yjZXXYYarctgYfxXfyYfxXfzVLjkjkkkkkjjjjjjkjk)(jjkjkjkZXXYYarctgL线性化：线性化：即：即：722)(1)() 1)(jkjkjkjkjXXYYXXYYXf22)()()(jkjkjkYYXXYYjkjkjkjkSSYsin2其中其中8jkjkkSXfsinjkjkjSyfcosjkjkkSyfcos 同样地同样地9kjkksinjjSajkjkjkSbcosjkjkjjkLzl令令方向值

5、误差方程：方向值误差方程：jkkjkkjkjjkjjkjjklybxaybxazv问题：正反方向方向值误差方程之间有什么联系？问题：正反方向方向值误差方程之间有什么联系？10三、史莱伯法则三、史莱伯法则以方向观测值组误差方程及法方程，由于增加了定向角未知数，未知数的总数比以角以方向观测值组误差方程及法方程，由于增加了定向角未知数，未知数的总数比以角度为观测值大约要增加度为观测值大约要增加5050。由于引入定向角未知数是为了建立数学模型的需要，定向。由于引入定向角未知数是为了建立数学模型的需要，定向角未知数属于多余参数，不是平差所需要的。角未知数属于多余参数，不是平差所需要的。史莱伯法则是这样的

6、一种方法，通过对误差方程的处理，使组成的法方程不含定向角史莱伯法则是这样的一种方法，通过对误差方程的处理，使组成的法方程不含定向角未知数，而解出与不消除定向角未知数同解的坐标未知数。未知数，而解出与不消除定向角未知数同解的坐标未知数。11应用史莱伯法则具体步骤为：应用史莱伯法则具体步骤为：（1 1）直接去掉误差方程中的定向角未知数，得到虚拟的误差方程；）直接去掉误差方程中的定向角未知数，得到虚拟的误差方程；（2 2）将每一个测站的虚拟误差方程分别相加，得到另一个虚拟的误差方程，称为和方）将每一个测站的虚拟误差方程分别相加，得到另一个虚拟的误差方程，称为和方程，和方程的权定义程，和方程的权定义为

7、为 ，其中，其中nini是测站是测站i i的方向数的方向数; ;（3 3）将虚拟误差方程像一般的误差方程一样用于组法方程，则可以从中解出与原始误）将虚拟误差方程像一般的误差方程一样用于组法方程，则可以从中解出与原始误差方程所组法方程同解的坐标未知数。差方程所组法方程同解的坐标未知数。inp112(4) 若定向角近似值采用下列计算公式计算若定向角近似值采用下列计算公式计算：inikikikinLZ1)(则计算公式则计算公式 tTxptlxpblxpalpllPVV.21iz仍然成立。原因是对应于定向角未知数仍然成立。原因是对应于定向角未知数的系数的系数 。 。0il13（5 5）若测站点和照准点

8、均是已知点，则该方向误差方程应用史莱伯法则后不存）若测站点和照准点均是已知点，则该方向误差方程应用史莱伯法则后不存在，但是其常数项加入了和方程常数项在，但是其常数项加入了和方程常数项。14 pdd.1pcd.1pbd.10pcd.1pcc.1pbc.10pbd.1pbc.1pbb.10padpacpabpaapddpcdpbdpadpcdpccpbcpacpbdpbcpbbpabpadpacpabpaa四、高斯约化原理四、高斯约化原理15 pdd.3000pcd.2pcc.200pbd.1pbc.1pbb.10padpacpabpaapdd.2pcd.200pcd.2pcc.200pbd.1p

9、bc.1pbb.10padpacpabpaa高斯高斯约化约化原理原理16归纳高斯约化过程，可以总结如下：归纳高斯约化过程，可以总结如下：1 1、设法方程阶数为、设法方程阶数为n n阶，则首先对第阶，则首先对第2 2行至第行至第n n行进行一次约化，然后对第行进行一次约化，然后对第3 3行至第行至第n n行行进行第二次约化，进行第二次约化，, ,直到对第直到对第n n行进行行进行n-1n-1次约化。约化完成后，法方程系数阵主对角次约化。约化完成后，法方程系数阵主对角线以下的元素为线以下的元素为0 0，系数矩阵变为上三角阵，从而可以依次回代求解未知数。，系数矩阵变为上三角阵，从而可以依次回代求解未

10、知数。2 2、一次约化时，各行元素均减去第一行同列元素乘一个因子，这个因子是第、一次约化时，各行元素均减去第一行同列元素乘一个因子，这个因子是第1 1行中列行中列数等于被约化行数的元素除以第数等于被约化行数的元素除以第1 1行自乘元素行自乘元素173 3、k k次约化时，被约化各行元素，减去次约化时，被约化各行元素，减去k k行同列元素乘一个因子，这个因子是行同列元素乘一个因子，这个因子是k k行中列数行中列数等于被约化行数的元素除以等于被约化行数的元素除以k k行自乘元素。行自乘元素。4 4、法方程常数项按照同样的规则进行约化、法方程常数项按照同样的规则进行约化18五、程序中组法方程的方法五

11、、程序中组法方程的方法根据法方程系数组成公式：根据法方程系数组成公式：可见，一个法方程系数元素单元可见，一个法方程系数元素单元pab ，是由各个误差方程系数中第，是由各个误差方程系数中第1 1和第和第2 2个未知数的个未知数的系数相乘的积累加而得的，因此程序中组法方程采用的算法是：依次列出观测值误差方系数相乘的积累加而得的，因此程序中组法方程采用的算法是：依次列出观测值误差方程，即求出误差方程的系数和常数，再将其两两相乘，存入相应的法方程系数、常数储程，即求出误差方程的系数和常数，再将其两两相乘，存入相应的法方程系数、常数储存单元。就单元存单元。就单元pabpab 而言而言，程序代码表示为：程

12、序代码表示为： ibappabpabiitttbap.bapbapbappab33322211119 pddpcdpbdpadpcdpccpbcpacpbdpbcpbbpabpadpacpabpaaiiiiiilxdxcxbxav4321在示例程序之中，法方程系数元素采用数组变量在示例程序之中，法方程系数元素采用数组变量nx(i)nx(i)保存。所以问题归结为如何根据保存。所以问题归结为如何根据两两相乘的误差方程系数，确定数组元素的下标两两相乘的误差方程系数，确定数组元素的下标i i观察误差方程和法方程形式，可以看出两两相乘的误差方程系数所对应的未知数序号，观察误差方程和法方程形式，可以看出两

13、两相乘的误差方程系数所对应的未知数序号，就是法方程系数阵二维矩阵的行和列号。就是法方程系数阵二维矩阵的行和列号。20 1096853742144343324232214131211示例程序法方程系数阵采用上三角储存，系数阵元数储存在一维数组中，其一维下示例程序法方程系数阵采用上三角储存，系数阵元数储存在一维数组中，其一维下标和二维数组元素下标对应关系如下：标和二维数组元素下标对应关系如下：21iiiiiilxdxcxbxav4321要实现误差方程系数两两相乘，可以通过二重循环：要实现误差方程系数两两相乘，可以通过二重循环：for i=1 to nfor i=1 to n for j=i to n for j=i to n . .计算法方程系数数组元素序号，并类积法方程系数阵元素的语句计算法方程系数数组元素序号，并类积法方程系数阵元素的语句 next jnext j Next i Next ii i和和j j就是法方程系数阵二维储存时的行号和列号。根据二维数组元素序号（就是法方程系数阵二维储存时的行号和列号。根据二维数组元素序号（i,j)i,j)计算计算一位数组元素序号的公式为：一位数组元素序号的公式为：h= h= 22l 23思考题1、控制网平差时，可列出多少个误差方程？未知参数应该是多少个，未知数之间应满足什么