运动型问题(题型概述)

1、运动型问题【题型特征】 用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为运动型问题,此类问题的显著特点是图形中的某个元素(如点、线段、角等)或整个几何图形按某种规律运动,图形的各个元素在运动变化的过程中互相依存、和谐统一,体现了数学中“变”与“不变”、 “一般”与“特殊”的辩证思想,渗透了分类讨论、转化化归、数形结合、函数方程等重要的数学思想,综合性较强.运动型试题主要类型:(1)点的运动(单点运动、双点运动);(2)线的运动(线段或直线的运动);(3)形的运动(三角形运动、四边形运动、圆的运动等).【解题策略】 解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形,把握图形运动与变化的全过程,抓

2、住其中的等量关系和变量关系,并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系.解决点动型问题,一是要搞清在点运动变化的过程中,哪些图形(如线段、三角形等)随之运动变化,并在点运动在相对静止的瞬间,寻找变量的关系.二是要运用好相应的几何知识.三是要结合具体问题,建立函数模型,达到解题目的.线动实质就是点动,即点动带动线动,进而还会产生面动,因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解.解决线动类问题的关键是要把握图形运动与变化的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系.从运动变化得到图形的特殊位置,进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示.解决形动类问题,一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变

3、这一特性,充分利用不变量来解决问题;二是要运用特殊到一般的关系,探究图形运动变化过程中的不同阶段;三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质,这种方法能够使得问题解决的过程更加简捷,结论更加准确.类型一点的运动典例1(2014·江西)如图(1),AB是O的直径,点C在AB的延长线上,AB=4,BC=2,P是O上半部分的一个动点,连接OP,CP.(1)求OPC的最大面积;(2)求OCP的最大度数;(3)如图(2),延长PO交O于点D,连接DB,当CP=DB时,求证:CP是O的切线.(1)(2)【全解】 (1)AB=4,OB=2,OC=OB+BC=4.在OPC中,设OC边上的高

4、为h,当h最大时,SOPC取得最大值.观察图形,当OPOC时,h最大,如图(1)所示:(1)此时h=半径=2,SOPC=2×2=4.OPC的最大面积为4.(2)当PC与O相切时,OCP最大.如图(2)所示:(2)OCP=30°.OCP的最大度数为30°.(3)如图(3),连接AP,BP.(3)A=D=APD=ABD.=,=.AP=BD.CP=DB,AP=CP.A=C.A=D=APD=ABD=C.在ODB与BPC中,ODBBPC(SAS).D=BPC.PD是直径,DBP=90°.D+BPD=90°.BPC+BPD=90°.DPPC.DP

5、经过圆心,PC是O的切线.【技法梳理】 本题是一道单质点的运动问题.考查了全等三角形的判定和性质,切线的判定和性质,作出辅助线构建直角三角形是解题的关键.(1)在OPC中,底边OC长度固定,因此只要OC边上高最大,则OPC的面积最大;观察图形,当OPOC时满足要求;(2)PC与O相切时,OCP的度数最大,根据切线的性质即可求得;(3)连接AP,BP通过ODBBPC可求得DPPC,从而求得PC是O的切线.举一反三1. (2014·黑龙江牡丹江)如图,在RtABC中,ACB=90°,AC=8,BC=6,CDAB于点D.点P从点D出发,沿线段DC向点C运动,点Q从点C出发,沿线段

6、CA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点P运动到C时,两点都停止.设运动时间为t秒.(1)求线段CD的长.(2)设CPQ的面积为S,求S与t之间的函数表达式,并确定在运动过程中是否存在某一时刻t,使得SCPQSABC=9100?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.(3)当t为何值时,CPQ为等腰三角形?(第1题)【小结】 解题要点是(1)明确动点的运动过程;(2)明确运动过程中,各组成线段、三角形之间的关系;(3)运用分类讨论的数学思想,避免漏解.类型二线的运动典例2(2014·广东)如图,在ABC中,AB=AC,ADBC于点D,BC=10cm,AD=8cm.

7、点P从点B出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线m从底边BC出发,以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB,AC,AD于点E,F,H,当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒(t>0).备用图(1)当t=2时,连接DE,DF,求证:四边形AEDF为菱形.(2)在整个运动过程中,所形成的PEF的面积存在最大值,当PEF的面积最大时,求线段BP的长.(3)是否存在某一时刻t,使PEF为直角三角形?若存在,请求出此时刻t的值;若不存在,请说明理由.【解析】 (1)如图(1)所示,利用菱形的定义证明;(2)如图(2)所示,首先求

8、出PEF的面积的表达式,然后利用二次函数的性质求解;(3)如图(3)(4)(5)所示,分三种情形,需要分类讨论,分别求解.【全解】 (1)当t=2时,DH=AH=4,则H为AD的中点,如图(1)所示.(1)EFAD,EF为AD的垂直平分线.AE=DE,AF=DF.AB=AC,ADBC于点D,ADBC,B=C.EFBC.AEF=B,AFE=C.AEF=AFE.AE=AF.AE=AF=DE=DF,即四边形AEDF为菱形.(2)如图(2)所示,由(1)知EFBC,(2)当t=2秒时,SPEF存在最大值,最大值为10,此时BP=3t=6.(3)存在.理由如下:若点E为直角顶点,如图(3)所示,(3)此

9、时PEAD,PE=DH=2t,BP=3t.PEAD,此比例式不成立,故此种情形不存在.若点F为直角顶点,如图(4)所示,(4)此时PFAD,PF=DH=2t,BP=3t,CP=10-3t.PFAD,.若点P为直角顶点,如图(5)所示.(5)过点E作EMBC于点M,过点F作FNBC于点N,则EM=FN=DH=2t,EMFNAD.EMAD,【技法梳理】 这是一道“线平移型”动态问题,涉及动点与动线两种运动类型.第(1)问考查了菱形的定义;第(2)问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值;第(3)问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点,重点考查了分类讨论的数学思想.举一反三2. (2014

10、·湖南衡阳)如图,直线AB与x轴相交于点A(-4,0),与y轴相交于点B(0,3),点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿直线AB向点B移动.同时,将直线以每秒0.6个单位长度的速度向上平移,交OA于点C,交OB于点D,设运动时间为t(0<t<5)秒.(1)证明:在运动过程中,四边形ACDP总是平行四边形;(2)当t取何值时,四边形ACDP为菱形?请指出此时以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB的位置关系并说明理由.(第2题)【小结】 这是一道“线运动型”的动态几何问题,线段的运动往往带动的是一个图形大小的变化(如三角形、平行四边形等),问题常以求图形面积的最值,或

11、者探究运动过程中是否存在某一特殊位置的形式出现.解决此类问题时,一是要选择适当的求图形面积的方法.若是规则图形,可以直接选择面积公式计算;若是不规则图形,一般情况下选择割补法,通过“割补”将不规则图形转化为规则图形解决;二是要根据线段的运动变化过程,探究其他图形的运动变化规律.有效的方法就是画出线段变化过程中的几个不同位置的图形,确定线段运动变化的不同阶段,从而判断随之而动的其他图形的一般位置和特殊位置.类型三面的运动典例3(2014·甘肃天水)如图(1),在平面直角坐标系中,点A(0,-6),点B(6,0).RtCDE中,CDE=90°,CD=4,DE=4,直角边CD在y

12、轴上,且点C与点A重合.RtCDE沿y轴正方向平行移动,当点C运动到点O时停止运动.解答下列问题:(1)如图(2),当RtCDE运动到点D与点O重合时,设CE交AB于点M,求BME的度数.(2)如图(3),在RtCDE的运动过程中,当CE经过点B时,求BC的长.(3)在RtCDE的运动过程中,设AC=h,OAB与CDE的重叠部分的面积为S,请写出S与h之间的函数表达式,并求出面积S的最大值.(1)(2)(3)【全解】 (1)如图(1),(1)在平面直角坐标系中,点A(0,-6),点B(6,0).OA=OB.OAB=45°.CDE=90°,CD=4,DE=4,OCE=60&#

13、176;.CMA=OCE-OAB=60°-45°=15°.BME=CMA=15°.(2)如图(2),(2)CDE=90°,CD=4,DE=4,OBC=DEC=30°.OB=6,BC=4.(3)h2时,如图(3),作MNy轴交y轴于点N,作MFDE交DE于点F,且OE交AB于点k.(3)CD=4,DE=4,AC=h,AN=NM,CN=4-FM,AN=MN=4+h-FM.CMNCED,【技法梳理】 本题是一道面平移型动态问题.综合运用了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、以及三角形外角定理,难度较大.对于第(3)题这类有关于动态问题,需

14、要分类讨论,以防漏解有一定的难度.(1)如图(1),由对顶角的定义知,BME=CMA,所以欲求BME的度数,需求CMA的度数.根据三角形外角定理进行解答即可;(2)如图(2),通过解直角BOC来求BC的长度;(3)需要分类讨论:h2时,如图(4),作MNy轴交y轴于点N,作MFDE交DE于点F,S=SEDC-SEFM;当h2时,如图(3),S=SOBC.举一反三3. (2014·福建三明)如图(1),在RtABC中,ACB=90°,AB=10,BC=6,扇形纸片DOE的顶点O与边AB的中点重合,OD交BC于点F,OE经过点C,且DOE=B.(1)证明COF是等腰三角形,并求

15、出CF的长;(2)将扇形纸片DOE绕点O逆时针旋转,OD,OE与边AC分别交于点M,N(如图(2),当CM的长是多少时,OMN与BCO相似?(1)(2)备用图(第3题)【小结】 解决运动型问题时,一是要搞清运动变化的过程中,哪些图形(如线段、三角形等)不改变、那些图形随之变化,即确定运动变化过程中图形中的变与不变,充分利用不变量来解决问题;二是要运用好相应的几何知识;三是要结合具体问题,建立函数模型,达到解题目的.对于几何图形的运动的动态几何题,一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性;二是要运用特殊与一般的关系,探究图形运动变化过程中的不同阶段;三是要运用类比转化的方法探究相

16、同运动状态下的共同性质,这种方法能够使得问题解决的过程更加简洁,结论更加准确.类型一1. (2014·贵州贵阳)如图,在RtABC中,BAC=90°,AB=AC=16cm,AD为BC边上的高.动点P从点A出发,沿AD方向以cm/s的速度向点D运动.设ABP的面积为S1,矩形PDFE的面积为S2,运动时间为t秒(0<t<8),则t=秒时,S1=2S2. (第1题)(第2题) 类型二3. (2014·湖南怀化)如图(1),在平面直角坐标系中,AB=OB=8,ABO=90°,yOC=45°,射线OC以每秒2个单位长度的

17、速度向右平行移动,当射线OC经过点B时停止运动,设平行移动x秒后,射线OC扫过RtABO的面积为y.(1)求y与x之间的函数表达式;(2)当x=3秒时,射线OC平行移动到O'C',与OA相交于点G,如图(2),求经过G,O,B三点的抛物线的表达式;(3)现有一动点P在(2)中的抛物线上,试问点P在运动过程中,是否存在三角形POB的面积S=8的情况?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.(1)(2)(第3题)4. (2014·江苏连云港)在一次科技活动中,小明进行了模拟雷达雪描实验.如图,表盘是ABC,其中AB=AC,BAC=120°,在点A处有一束红

18、外光线AP,从AB开始,绕点A逆时针匀速旋转,每秒钟旋转15°,到达AC后立即以相同的旋转速度返回A,B,到达后立即重复上述旋转过程.小明通过实验发现,光线从AB处开始旋转计时,旋转1秒,时光线AP交BC于点M,BM的长为(20-20)cm.(1)求AB的长.(2)从AB处旋转开始计时,若旋转6秒,此时AP与BC边交点在什么位置?若旋转2014秒,此时AP与BC边交点在什么位置?并说明理由.(第4题)类型三5. (2014·湖南益阳)如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的P的圆心P的坐标为(-3,0),将P沿x轴正方向平移,使P与y轴相切,则平移的距离为().(第5题)

19、A. 1B. 1或5C. 3D. 5 6. (2014·黑龙江黑河)在等腰直角三角形ABC中,BAC=90°,AB=AC,直线MN过点A且MNBC,过点B为一锐角顶点作RtBDE,BDE=90°,且点D在直线MN上(不与点A重合),如图(1),DE与AC交于点P,易证:BD=DP.(无需写证明过程)(1)在图(2)中,DE与CA延长线交于点P,BD=DP是否成立?如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由.(2)在图(3)中,DE与AC延长线交于点P,BD与DP是否相等?请直接写出你的结论,无需证明.(1)(2)(3)(第6题)参考答案【真题精讲】1. (1)如

20、图(1),(第1题(1)ACB=90°,AC=8,BC=6,AB=10.CDAB,线段CD的长为4.8.(2)过点P作PHAC,垂足为H,如图(2)所示.(第1题(2)由题可知DP=t,CQ=t.则CP=4.8-t.ACB=CDB=90°,HCP=90°-DCB=B.PHAC,CHP=90°.CHP=ACB.CHPBCA.整理,得5t2-24t+27=0.即(5t-9)(t-3)=0.若QC=QP,过点Q作QECP,垂足为E,如图(3)所示.(第1题(3)C(-0.8t,0),OC=0.8t.在RtOCD中,CD=t.点P从点A出发,以每秒1个单位长度的

21、速度沿直线AB向点B移动t(0<t<5)秒,AP=t.AP=CD=t.APCD.APCD,AP=CD=t,在运动过程中,四边形ACDP总是平行四边形.A(-4,0),B(0,3),OA=4,OB=3.在RtOAB中,AB=5.过点D作DEAB于点E,则DEB=90°.(第2题)在AOB和DEB中,AOB=DEB=90°且OBA=EBD,AOBDEB.点D到直线AB的距离等于D的半径.以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB相切.方法二:(在证明D与直线AB相切时,也可利用等积法求得点D到直线AB的距离.)设点D到直线AB的距离为d,则点D到直线AB的距离与D的半

22、径相等,即d=r.以点D为圆心、OD长为半径的D与直线AB相切.方法三:(巧用“菱形对角线的性质”和“角平分线性质定理”)连接AD,则AD是菱形ACDP的对角线,AD平分OAB.DOAO,DO是点D到直线AO的距离.点D到直线AB的距离=点D到直线AO的距离(DO).以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB相切.3. (1)ACB=90°,点O是AB的中点,OC=OB=OA=5.OCB=B,ACO=A.DOE=B,FOC=OCF.FC=FO.COF是等腰三角形.过点F作FHOC,垂足为H,如图(1),(第3题(1)FC=FO,FHOC, (2)若OMNBCO,如图(2),(第3题(2

23、)则有NMO=OCB.OCB=B,NMO=B.A=A,AOMACB.若OMNBOC,如图(3),(第3题(3)则有MNO=OCB.OCB=B,MNO=B.ACO=A,CONACB.过点M作MGON,垂足为G,如图(3),MNO=B,MON=B,MNO=MON.MN=MO.MGON,即MGN=90°,【课后精练】1. 62. -63. (1)AB=OB,ABO=90°,ABO是等腰直角三角形.AOB=45°.yOC=45°,AOC=(90°-45°)+45°=90°.AOCO.C'O'是CO平移得到,AOC'O'.OO'