四川省2010届高三数学专题训练4立体几何(文)(2010年3月成都研讨会资料)旧人教版

1、专题四立体几何专项训练一、选择题1如图，点 E 是正方体 ABCD A1 B1C1D1 的棱 DD1的中点，则过点 E 且与直线 AB、B1C1 都相交的直线的条数是A0B 1A 1D 1 2无数条CDB 1C 12P是正三棱锥的侧棱上一点（侧棱端点除外） ，则的大小满足PABCPCAPBE（）A0APB120B60APB18060APB900APB60CDADBC3. 一个广告气球被一束入射角为的平行光线照射，其在水平面上的投影是一个长半轴为5m的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是（）A 1002B 100cos22C100 sin 22D100 cos2.sin mmmm4正四棱锥的

2、底面边长为 x，侧棱长为 y，则 x 的取值范围是（）yA (0,2 )B (0, 2)C (0,1)D (0, 1)225. 长方体的各顶点都在半径为R 的球面上，则该长方体的最大体积是A 63 R3B 83 R373C 42 R3D 83 R3396. 在水平横梁上 A、B 两点各挂长为 50cm的细线 AM，BN， |AB|=60cm ，在 MN处挂长为 60cm 的木条 MN平行于横梁，木条中点为 O，若木条绕其中点 O 水平方向旋转 60 ，则木条比原来升高了A 10cmB 5cmC 10 3cmD 5 3cm7正方体 11 1 1 的棱长为 1，点在棱上，且=1，点P是平面内的动点

3、，ABCD AB CDMABAMABCD31 AP到点 M的距离的平方差等于1，则点 P 的轨迹是（）且点 P到直线 A D 的距离与点A抛物线B双曲线C直线D以上都不对8如图， 已知正方体 ABCDA1 B1 C1 D 1 上、下底面中心分别为O1 , O 2 ，将正方体绕直线O1O2 旋转一周，其中由线段BC 1 旋转所得图形是（）D 1C 1A 1O1B 1DCAO2CDBAB用心爱心专心二、填空题9在四棱锥PABCD中， PA平面 ABCD，底面 ABCD为平行四边形，PA=a， AB 2PA，ABC 60 ，则 D到平面 PBC的距离为 _ aAB10设 a, b 是异面直线， 点

4、、 在a上运动，AB 2，点、 在 b 上运动，CD 2，A BC D、 、 、分别是、的中点 .给出下列命题：四面体的体HGEFGHAD BD BC ACABCD0EF积是常数；四边形EFGH的面积是常数；a,b 可能与平面 AEC都成 90 ；四边形 EFGH是菱形 . 其中正确命题的序号是 _.C11如图，正四棱锥VABCD的侧棱长与底边长相等，点E 是棱 VA的中点，点 ODV是底面中心，则异面直线EO与 BC所成的角是_b12有一个正四棱锥，它的底面边长和侧棱长均为a ，现在要用一张正方形的包装纸E将它完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠）那么包装纸的最小边长应为_ AB三、解答题ODC

5、13. 在边长为 a 的正三角形的三个角处各剪去一个四边形这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如左图 若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器， 如右图则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值14. 直三棱柱 ABCA1 B1C1 中， ABAC1 AA1 ， BAC90 ， D 为棱 BB1 的中点（ 1）求异2面直线ACC1D与所成的角；1（ 2）求平面A1 DC 与平面 ADC 所成的角的大小用心爱心专心15. 四棱锥 PABCD中，底面 ABCD是正方形，边长为 a， PD=a， PA=PC= 2a求证： PD平面 ABCD求异面

6、直线PB与 AC所成的角求二面角A PBD的大小在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径求四棱锥外接球的半径16. 如图，在直四棱柱 ABCD A1BC11D1 中 ， 底 面 A1B1C1D1 是梯 形 ， 且 A1B1 / DC11 ，A1D1 D1D D1C11 A1B11， ADAC ， E是棱 AB 的中点21111（ 1）求证： CDAD ；（ 2）求点 C1 到平面 CD1B1 的距离；（ 3）求二面角 D 1 CE B1 的大小用心爱心专心专题四立体几何专项训练参考答案一、选择题DABB DABD8显然在旋转过程中，线段 BC 1 上任意一点到轴O1 O2 的距离为定值 . 设

7、线段线段 O1O2 的中点为 O，则 OM是异面直线 O1O2 和 BC 1的公垂线段 . 设 N是线段 BC 1 上任意一点， N 在轴 O1 O2 上的射影为P，我们只需研究在静止状态下线段 MN与 PN的函数关系即可 . 如图，以正方体的中心O为原点建立空间直角坐标系，不失一般性， 设点N在线段1 上. 设正方体边A1MC0 知长为 2， MN t ， PNd ，则由异面直线O1O2和 BC 1 所成角为45BC 1 的中点为zD1O1POM，C1B1NyN(2t,1,2t), P(0,0,2t) ，故在 Rt OPN中，由 OP 2PN 2ON2得：x222t 2Dd21t212112

8、d2O2tt1 ，A2222即 d 与 t 满足双曲线关系，故选D.二、填空题93a;10 ;11 ;12 62 a232三、解答题13. 解析：设容器的高为x则容器底面正三角形的边长为a23x,V ( x)3x(a23x) 2 (0xa)4233143x (a23x)( a23 x)4431 ( 4 3 x a 2 3x a 2 3 x) 3a3.16354当且仅当4 3xa23x,即x3a时,Vmaxa3. .1854故当容器的高为3a 时，容器的容积最大，其最大容积为a3.185414. 解法一：（ 1）连结 AC 交 AC 于点E，取AD中点F，连结EF，则EFCD 111直线 EF与

9、A1C所成的角就是异面直线11C D 与 AC 所成的角设 ABa ，则 C1D2B1 D23a ， 1C1B122ACACAA15aADAB2BD 22a CEF 中，15，EF13a，CE1aC1 DAC2222直三棱柱中，BAC90 ，则 ADAC CFAC 2AF 2a2(2a)26 a22MCB用心爱心专心2225 a 23 a23 a215 ，CE EFCF442cos CEFEF53152CE2aa22异面直线 C1D 与 AC1所成的角为 arccos15 15（ 2）直三棱柱中，BAC90，AC平面 ABB1 A1 则 ACA1D 又 AD2a ， A1 D2a， AA12a

10、 ，则 AD 2A1D2AA21，于是 ADA1D A1D平面 ACD 又 A1D平面 ACD1，平面 A1 DC平面 ADC 故平面 A1 DC与平面 ADC 所成的角为 900 .z解法二：（ 1）建立如图所示的空间直角坐标系.C1B1设 AB a ，则 A1(0,0, 2a), C(0, a,0), C1(0, a, 2a), D(a,0, a) ，A 1于是C1D( a, a,a), AC(0, a,2a)D1CD AC0a22a 215，xycos C1D, AC111|C1D | | AC1|3a5a15CB异面直线 C1D 与 AC1所成的角为 arccos15 A15（2）A1

11、D (a,0,a), AD( a,0, a), AC(0, a,0)，22A1D AD a 0 a 0, A1D AC 0 .则 A1DAD, A1D AC A1D平面 ACD 平面 A1DC平面 ADC ，故平面A1 DC 与平面 ADC所成的角为 900.15. 解析：（ 1）要证 PD平面 ABCD，只需证 PD垂直于平面 ABCD内的两条相交线，而所给已知量都是数，故可考虑勾股定理的逆定理 PD=a， AD=a，PA= 2a222 PD+DA=PA同理 PDA=90°即 PDDA， PDDC AODC=D PD平面 ABCD从图形的特殊性，应先考虑PB与 AC是否垂直，若不垂

12、直然后再转化连结 BD， ABCD是正方形 BDAC PD平面 ABCD PD AC PDBD=D AC平面 PDB PB 平面 PDB AC PB PB与 AC所成的角为 90°用心爱心专心由于 AC平面 PBD，所以用垂线法作出二面角的平面角设 AC BD=O，过 A 作 AE PB于 E，连 OE AO平面 PBD OE PB AEO为二面角APBD的平面角 PD平面 ABCD， AD ABPA AB在 RtPDB中， PBPD 2BD 23a在中，S11PB AE，AEPA AB2a a2 aRtPAB2PA ABPB3a32AO1 AC2 a22在 RtAOE中， sinA

13、EOAO3AE2 AEO=60°， 二面角 APBD的大小为 60° 当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大，即球心到各个面的距离均相等，联想到用体积法求解. 设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连结 SA、SB、 SC、 SD、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为RVP ABCD1S ABCDPD1a333S PADS PDC1a 2 , S PABS PBC1a2a2a 2 , S ABCDa 2222 VPABCDVSPDAVS PDCVS ABCDVSPABVS PBC1 a31R(S PADS PDCS PABS PBC S

14、ABCD )331 a 31 R( 1 a 21 a 22 a 22 a 2a 2 )R (12 )a3322222球的最大半径为（12 a ）2四棱锥的外接球的球心到P、 A、B、C、D 五的距离均为半径，只要找出球心的位置即可，在 RtPDB中，斜边 PB的中点为 F，则 PF=FB=FD不要证明 FA=FC=FP即可设 PB 的中点为 F, 在 RtPDB中： FP=FB=FD,在 RtPAB中： FA=FP=FB,在 RtPBC中：, 故为四棱锥外接球的球心,FP为外接球的半径FP=FB=FCFP=FB=FA=FC=FD, F FP=1 PB , FP3 a四棱锥外接球的半径为3 a2

15、22【说明】本题主要考查棱锥的性质以及内切外接的相关知识点 ; “内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，例如本例中球内切于四棱锥中时，球与四棱锥的五个面相切，即球心到五个面的距离相等 ; 求体积或运用体和解决问题时，经常使用等积变形，即把一个几何体割补成其它几个几何体的和或差 .（ 4）立体几何的推理必须做到言必有据，论证严密.16. 解析：本题考查多面体中的线面关系，求二面角，求点到平面的距离：考查多面体中的线面关系，求点到平面的距离、二面角.用心爱心专心证明：连接A1D ，A1 D1 DA 是正

16、方形， AD1DA1 ，又AD1AC，1 AD1 平面 ACD1， AD1 CD ，又DD1CD ， CD平面 AD1 ， CDAD（ 2）解：在平面A1 B1C1D1 中，过 C1 点作 C1KD1B1 ，垂足为 K ，连接 CK ，又过 C1 点作C1H CK ，垂足为 H ，则 C1H 为点 C1 到平面CD1B1的距离，在 C1B1D1中，有12212C1KD1B1DC11 C1B1sin135 ， C1K5，5CC1 C1 K1166在 Rt CC1K 中， C1H5，点 C1到平面 CD1 B1 的距离为CK16615解法 2：用等体积法，设点C1 到平面 CD1B1 的距离为 h

17、 ，在CD1B1 中 ， C D12,D1B15,C1B3 ,CD1B1为直角三角形，由VC C1D1B1VC1 CD1B1 得1 12sin1352 3h ， h6，点 C1 到平面 CD1 B1 的距6离为6 6（3）解： D EDCCE AD2, 取线段 CE 的中点 F ，连接 D1F ，则 D1FCE ，111CE / A1D ， A1B1CE ，再取线段 CB1 的中点 G ，连接 FG ， FG / EB1 ， CEFG ，D1FG 是二面角 D 1CE B1 的平面角，在D1 FG 中， D1F61， FG，取线段2211的中点L，连接GL， 则DG12GL2D1L， 在1 1

18、L中 ，B CDC212525111D1L 122 1c o s 1 ，3 5 D1G244，由余弦定理知22用心爱心专心( 6)2(1)21166cosD1FG224，二面角 D 1CEB1 的大小为 arccos(613) 2322空间向量解法：（ 1 ）证明：用基向量法设 D1 A1 a ， a1， DC11b ，b 1 D D c ， c 1，ACb c a ，D A a c ，111AC1D1 A AC1D1A 0，22b c b a 0 ， a b0 ， (b c a) (a c) 0， c aA1B12b, D1 A1 a，A1B1 D1 A10，A1B1D1 A1，即1 11 1， CDADABAD（ 2）解：构建空间直角坐标系，运用向量的坐标运算以 D1 为原点， D1 A1 ， D1C1 ， D1 D 所在直线分别为x, y, z轴，建立如图所示的空间直角系则D1(0,0,0) ，C (0,1,1), E(1,1,0) ，B1 (1,2,0)，DC(0,1,1) ，D E(1,1,0) ，EC ( 1,0,1) ，11EB