概率论与数理统计第四章第三节

1、1内容回顾 上一节主要内容回顾： 1.方差的概念 2.性质(1) (2) (3) (4)24.3 协方差及相关系数协方差及相关系数 345据此我们可得协方差的如下性质：641,10101010 ydyxdxxydxdydxdyyxxyfXYE78问题 协方差作为描述和相关程度的量，在同一物理量纲之下有一定的作用， 但同样的两个量采用不同的量纲使它们的协方差在数值上表现出很大的差异很大的差异。 为此引入如下概念：910优点 与协方差相比，相关系数不仅克服了量纲的影响，而且给出了规范化的取值范围。111213 02111dxxXE141516XYYXCOVYDXDYDYXDXCOVYDYDXDXD

2、22)()()(122)(,)(2 )()( )()(22，171819 XaDXXaCOVbXCOVaXXCOVbaXXCOVYXCOV, XDabaXDYD2202122234.4 矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵242526212221, D(Y)D(X)X)COV(YY)COV(XD(Y)Y)COV(YD(X)X)COV(X 解解 2728293031XCXCxxf121222121exp21,3233定义定义 设(X1,X2,X n)的任两个分量Xi和Xj的相关系数 ij存在,(i,j=1,2,),称n阶方阵R为n维随机向量的 相关矩阵相关矩阵,记为nn2n1nn22221n11211.

3、R其中ij为分量Xi和Xj的相关系数.显然显然, 1DXDXDXDX)X,Xcov(iiiiiiii,DXDX)X,Xcov(jijijiij所以性质性质 (1)相关矩阵R主对角线元素均为1,且R为对称的非负定矩阵; (2)对二维随机向量(X,Y)有:11RXYXY34例例.设XN(0,1),YN(0,1),D(X-Y)=0,求(X,Y)的协差阵C.解解:由题意得:DX=DY=1, D(X-Y)=DX+DY-2cov(X,Y) =2-2cov(X,Y) =0故Cov(X,Y)=1所以DYYXYXDXC),cov(),cov(111135例例.设X,Y的协差阵为,16449C求相关阵R.解解:由

4、题意得:DX=9,DY=16,cov(X,Y)=4,DYDX)Y ,Xcov(XY31434所以,11RXYXY131311364.5条件期望条件期望 在例3.3.1中，我们已经求得以不放回方式取球时，二维随机变量 在 的条件下, 的条件分布律如下: 因此，在 (第一次取出的是白球)的条件下,第二次取到的白球的平均数应为 称为在在 的条件下，的条件下， 的条件期望的条件期望。 ),(YX1XY013/41/4Y1|XYP1X414114301XY37383940本章综合练习题1 1.(951)设PX0,Y0=3/7, PX0=PY0=4/7 则Pmax(X,Y)0=( ).2 2.(914)对

5、于任意两个随机变量X与Y,若E(XY)=E(X)E(Y),则( ). D(XY)=D(X)D(Y), X与Y不独立 D(X+Y)=D(X)+D(Y), X与Y独立5/7解解1 1. Pmax(X,Y)0=PX 0或Y 0 =P(X 0)+P(Y0)-P(X 0)P(Y 0) =P(X 0)+P(Y0)-P(X 0,Y 0)=5/72. D(X+Y)=DX+DY+2E(X-EX)(Y-EY) = DX+DY+2(EXY-EXEY)413.3.（904904）设随机变量）设随机变量X X和和Y Y是独立同分布的，是独立同分布的，且且X X等可能地取等可能地取 -1-1，1 1为值，则下列式子正确的

6、是（为值，则下列式子正确的是（ ）. . X=Y X=Y PX=Y=0 PX=Y=0 PX=Y=1/2 PX=Y=1/2 PX=Y=1 PX=Y=13 4 4. .(954)设X与Y 独立同分布,记U=X-Y,V=X+Y,则U和V必然（ ） 不独立， 相关系数不为零， 独立， 相关系数为零.解解: 3.: 3. P(X=Y)=P(X=1,Y=1)+P(X=-1,Y=-1) =P(X=1)P(Y=1)+P(X=-1)P(Y=-1) =1/4+1/4=1/2 4. E(UV)=E(X-Y)(X+Y)=E(X2-Y2)=EX2-EY2=0 EU=E(X-Y)=EX-EY=0所以 cov(U,V)=E

7、(UV)-EU EV=0, UV=0425.设(X,Y)服从0,a0,a上的均匀分布,求E|X-Y|.解解:由题意得 dxdy)y, x(f)y, x(g)Y,X(gE得 dxdy)y, x(f|yx|YX|Ea0a02dxdya1|yx|根据其它0aY0 ,aX0a1)y, x( f)Y ,X(2aay=xXY0 x-y0 x-y0S1S21S2dxdya1|yx|2S2dxdya1|yx|a0 x02dya1)yx(dx23a436.设(X,Y)其它01y0 , 1x0 xy4)y, x(f求(X,Y)的联合分布函数.11解解:(1)x0,或y1时,F(x,y)=10 x0uvdv4du2

8、x(5)x1,0y1时,F(x,y)=y010uvdv4du2y综合即得:1y0 , 1xy1y, 1x0 x1y0 , 1x0yx0y0 x0)y, x(F2222或xyXY04xy447.7.（961961）设随机变量）设随机变量，是是 i.i.di.i.d的，且的，且等可能等可能地取地取1 1，2 2，3 3为值为值, ,又设又设X=max(,),Y=min(X=max(,),Y=min(，).). (1) (1)写出（写出（X X，Y Y）的联合概率分布；）的联合概率分布； (2)X(2)X与与Y Y是否相互独立？是否相互独立？(3)(3)计算计算E E（X X）. .解解:X的取值为

9、i=1,2,3, Y的取值为j=1,2,3,且XY,所以,(1)ij时时,=1/9+1/9=2/9故(X,Y)联合分布为X123Y 1 2 31/9 0 02/9 1/9 02/9 2/9 1/9pi .1/93/95/9p. j5/9 3/9 1/9P(X=1,Y=1)P(X=1)P(Y=1)故X,Y不独立.计算得:EX=22/9P(=i,=j)+P(=j,=i)45本章测验题 1.设袋中有m只颜色各不相同的球。有返回的摸取n次，摸出x种颜色的球，求x的数学期望。 2.设 为正的同分布同分布的随机变量，证明 时， 3.已知随机向量 的协方差矩阵为 求相关系数矩阵相关系数矩阵。nXXX,21 nk 1nkXXXXXXEnk 2121ZYX,9 , 2, 32,