导数的应用(精品教案)

1、导数的应用（一）【课前小测】1. 曲线yx311在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A9 B3 C9 D152. 函数f(x)x22ln x的递减区间是()A(0,1 B1，)C(，1)，(0,1) D1,0)，(0,13. 若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()A2 B3 C6 D94. 已知函数f(x)x4x32x2，则f(x)()A有极大值，无极小值 B有极大值，有极小值C有极小值，无极大值 D无极小值，无极大值5. 已知x1，则函数yx的最小值为()A1B0 C1D2【知识梳理】（一）利用导数研究函数单调性为增函数（为减函数

2、）.在区间上是增函数0在上恒成立；在区间上为减函数0在上恒成立.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:求，讨论的零点问题;确定在内符号;若在上恒成立，则在上是增函数；若在上恒成立，则在上是减函数（2） 利用导数研究函数的极值极值的判别方法：（极值是在附近所有的点，都有，则是函数的极大值，极小值同理）当函数在点处连续时（何为函数在点上连续？），如果在附近的左侧0，右侧0，那么是极大值；如果在附近的左侧0，右侧0，那么是极小值.求函数在某个区间上的极值的步骤：先留意下的定义域，再求导函数；求方程的根，判定是否落在所关注的区间内；检查在方程的根的左右的符号：“左正右负”在处取极大值；“左负右正”在

3、处取极小值。（3） 利用导数研究函数的最值最值定义：函数在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1） 求函数在（）内的极值（极大值或极小值）；（2）将的各极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。注意：若要在开区间上讨论最值问题，此时端点值取不到，可能不存在最值。（四）一般的三次函数的图象与性质：导函数，抛物线开口向上，记方程的判别式.1函数的定义域与值域均为R。2图象有两种形状：（1）若， 其导数恒大于等于0，原函数无极值，原函数图象

4、如右所示（2）若，令两根为且，其原函数图象如右所示3、三次函数的图象与x轴的交点个数的问题即三次方程解的个数的问题OOO由三次函数的图象分析可得方程的解有以下几种情况： 有且只有一个实数解 OO有两个不同的实数解 有三个不同的实数解O思考：三次函数的图象？（五）用函数的单调性来证明不等式：当，有；当，有；【导学一】利用导数求函数的单调区间【例1】已知函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，函数g(x)x2aln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于_【例2】已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()【我爱展示1】设是函数f(x)

5、的导函数，y=的图象如图所示，则y= f(x)的图象最有可能的是（ ）【例3】已知（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求的取值范围；（3）是否存在,使f(x)在（-，0上单调递减，在0，+）上单调递增？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【我爱展示2】已知函数（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数的取值范围；（2）是否存在实数,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；【导学二】利用导数求函数的极值和最值【例4】已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.(1)求a

6、，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值【我爱展示3】1.已知在时有极大值6，在时有极小值，（1）求a，b，c的值；（2）求区间上的最大值和最小值.2. (2014·安徽卷)设函数f(x)1(1a)xx2x3，其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x0,1时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值【导学三】高次方程的零点问题【例4】已知函数 (R)（1）当时，求函数的极值；（2）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围【我爱展示4】已知函数在上是减函数，在上是增函数，函数在上有三个零点，且1是其中一个零点（1）求的值； （2）求的取

7、值范围；（3）试探究直线与函数的图像交点个数的情况，并说明理由【课后作业】1.函数在区间上是（ ）A单调增函数 B单调减函数C在上是减函数，在上是增函数 D在上是增函数，在上是减函数2.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有（ ）极小值点A1个 B2个 C 3个 D4个3.设函数若曲线的斜率最小的切线与直线平行，求：（1）a的值；（2）函数的单调区间。4.设函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求的极大值和极小值；（3）若函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围。5设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，且在x2处取得极值（1）求a，的值； （2

8、）求函数在上的最大值和最小值6.已知函数，且是奇函数。（1）求，的值；（2）求函数的单调区间。【参考答案】【课前小测】C A D C C【例1】解析函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，1，得a2.又g(x)2x，依题意g(x)0在x(1,2)上恒成立，得2x2a在x(1,2)上恒成立，有a2，a2.答案2【例2】解析在(1,0)上，f(x)单调递增，所以f(x)图象的切线斜率呈递增趋势；在(0,1)上，f(x)单调递减，所以f(x)图象的切线斜率呈递减趋势，故选B.【展示1】C【例3】解：=ex-a.（1）若a0，=ex-a0恒成立，即f(x)在R上递增.若a>0,ex-a0,

9、exa,xlna.f(x)的单调递增区间为(lna,+).（2）f（x）在R内单调递增，0在R上恒成立.ex-a0，即aex在R上恒成立.a（ex）min，又ex>0，a0.（3）方法一 由题意知ex-a0在（-，0上恒成立.aex在（-，0上恒成立.ex在（-，0上为增函数.x=0时，ex最大为1.a1.同理可知ex-a0在0，+）上恒成立.aex在0，+）上恒成立.a1，a=1.方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.=0,即e0-a=0,a=1.【展示2】解 由已知,在（-,+）上是单调增函数，在（-,+）上恒成立，即对xR恒成立.,只需,又时，,故在R上是增函数，则.（2）

10、解 由在(-1,1)上恒成立，得,x(-1,1)恒成立.-1<x<1,，只需.当时，在x(-1,1)上，,即f(x)在（-1，1）上为减函数，.故存在实数,使f(x)在（-1，1）上单调递减.【例4】解(1)f(x)ex(axb)aex2x4ex(axab)2x4，yf(x)在(0，f(0)处的切线方程为y4x4，f(0)ab44，f(0)b4，a4，b4.(2)由(1)知f(x)4ex(x2)2(x2)2(x2)(2ex1)，令f(x)0，得x2或ln ，列表：x(，2)2ln f(x)00f(x)极大值极小值yf(x)在(，2)，上单调递增；在上单调递减故f(x)极大值f(2)

11、44e2.【展示3】1.解：（1）由条件知 （2），x3(3,2)2(2,1)1(1,3)3006由上表知，在区间3，3上，当x=3时，当x=1时，2. 解(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)1a2x3x2.令f(x)0，得x1，x2，x1<x2.所以f(x)3(xx1)(xx2)当x<x1或x>x2时，f(x)<0；当x1<x<x2时，f(x)>0.故f(x)在(，x1)和(x2，)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0.当a4时，x21，由(1)知，f(x)在0,1上单调递增所以f(x)

12、在x0和x1处分别取得最小值和最大值当0<a<4时，x2<1，由(1)知，f(x)在0，x2上单调递增，在x2,1上单调递减，所以f(x)在xx2处取得最大值又f(0)1，f(1)a，所以当0<a<1时，f(x)在x1处取得最小值；当a1时，f(x)在x0处和x1处同时取得最小值； 当1<a<4时，f(x)在x0处取得最小值【展示4】（1）解：， 在上是减函数，在上是增函数，当时，取到极小值，即 （2）解：由（1）知， 1是函数的一个零点，即，的两个根分别为， 在上是增函数，且函数在上有三个零点，即 故的取值范围为（3）解：由（2）知，且 要讨论直线与

13、函数图像的交点个数情况，即求方程组解的个数情况由，得即即或 由方程， （*）得 ，若，即，解得此时方程（*）无实数解 若，即，解得此时方程（*）有一个实数解若，即，解得此时方程（*）有两个实数解，分别为，且当时， 综上所述，当时，直线与函数的图像有一个交点当或时，直线与函数的图像有二个交点当且时，直线与函数的图像有三个交点 【课后作业】1. C 2.A3.解：（1）因，所以。即当。因斜率最小的切线与平行，即该切线的斜率为-12，所以。解得，由题设，所以。（2）由（1）知，。 令，解得：。当时，故在上为增函数； 当时，故在上为减函数； 当时，故在上为增函数。 由此可见，函数的单调递增区间为和；单调递减区间为。4、解：（1