312复数的几何意义学案人教A版选修1-2

1、3.1.2复数的几何意义课标解读1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系(重点)2理解复数模的概念，会求复数的模(难点)复平面【问题导思】1复数zabi(a，br)与有序实数对(a，b)有怎样的对应关系？【提示】一一对应2有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？【提示】一一对应3复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？【提示】一一对应建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数的几何意义【问题导思】1平面直角坐标系中的点z与向量有怎样的对应关系？【提示

2、】一一对应2复数集与平面直角坐标系中以原点为起点的向量集合能一一对应吗？【提示】一一对应(1)复数zabi(a，br) 复平面内的点z(a，b)(2)复数zabi(a，br) 平面向量.为方便起见，我们常把复数zabi说成点z或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数复数的模向量的模r叫做复数zabi的模，记作|z|或|abi|，且r(r0，且rr).复平面内的点同复数的对应关系实数m取什么值时，复平面内表示复数z2m(4m2)i的点(1)位于虚轴上；(2)位于第三象限【思路探究】找出复数z的实部、虚部，结合(1)(2)的要求写出满足的条件【自主解答】复数z2m(4m2)i对应复平面内点的

3、坐标p为(2m,4m2)(1)若p在虚轴上，则即m0.(2)若点p在第三象限，则解得m2.当点p位于第三象限时，实数m的范围是(，2)1复数zabi(a，br)复平面内的点(a，b)2判断复数对应点的位置，关键是找出相应复数的实部和虚部在题设不变的情况下，求满足下列条件的实数m.(1)在实轴上；(2)在直线yx上【解】(1)若点在实轴上，则4m20，即m±2.(2)若点在直线yx上，则4m22m，解得m1±.复数的模的求法已知复数z满足z|z|28i，求复数z.【思路探究】设zabi(a，br)，代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a，b.【自主解答】法一设zabi(a

4、，br)，则|z|，代入方程得abi28i，解得z158i.法二原式可化为 z2|z|8i，|z|r，2|z|是z的实部，于是|z|，即|z|2684|z|z|2，|z|17.代入z2|z|8i得z158i.计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小求复数z168i及z2i的模，并比较它们的模的大小【解】|z1|10，|z2| ，|z1|>|z2|.复数的模及其几何意义已知复数z1i，z2i，(1)求|z1|与|z2|的值，并比较它们的大小(2)设复平面内，复数z满足|z2|z|z1|，复数z对应的点z的集合是什么？

5、【思路探究】(1)利用复数模的定义来求解若zabi(a，br)，则|z|.(2)先确定|z|的范围，再确定点z满足的条件，从而确定点z的图形【自主解答】(1)|z1|2.|z2|1.21，|z1|z2|.(2)由(1)知|z2|z|z1|，则1|z|2.因为不等式|z|1的解集是圆|z|1上和该圆外部所有点的集合，不等式|z|2的解集是圆|z|2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1|z|2的点z的集合是以原点o为圆心，以1和2为半径的两圆及所夹的圆环1两个复数不全为实数时不能比较大小；而任意两个复数的模均可比较大小2复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，

6、也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解3|z1z2|表示点z1，z2两点间的距离，|z|r表示以原点为圆心，以r为半径的圆如果将本题中|z2|z|z1|，改为|z2|z|z1|，复数z对应的点z的集合是什么？【解】|z2|z|z1|1|z|2，则复数z的轨迹为以原点o为圆心，1、2为半径的圆环且不包括边界，注意区别.因对复数的模理解不到位而导致错误试研究方程x25|x|60在复数集上解的个数【错解】将方程变为|x|25|x|60|x|2或|x|3x±2或x±3，故共有4个【错因分析】这里常出现将|x|看成“绝对值”从而出现错误的解法，注意这里|x|是一个复数的模，它不等

7、同于实数的绝对值，x2也不能写成|x|2.【防范措施】(1)认真审题，看清限制范围是实数还是复数(2)弄清复数的模与实数绝对值的区别(3)理解|z|的意义及|z|的计算方法(4)善于利用转化思想，把复数方程转化为实数方程组求解【正解】设xabi(a，br)，则原方程可化为a2b2562abi0或或即x±2或x±3或x±i.故方程在复数集上的解共有6个1复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应2研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑1(2013·福建高

8、考)复数z12i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()a第一象限b第二象限c第三象限 d第四象限【解析】z12i在复平面内对应的点为(1，2)，它位于第三象限【答案】c2若(0，3)，则对应的复数为()a0 b3c3i d3【解析】由复数的几何意义可知对应的复数为3i.【答案】c3已知34ixyi(x，yr)，则|15i|，|xyi|，|y2i|的大小关系为_【解析】由34ixyi(x，yr)，得x3，y4，而|15i|，|xyi|34i|5，|y2i|42i|.<5<，|y2i|<|xyi|<|15i|.【答案】|y2i|<|xyi|<|15i|4在复

9、平面内指出与复数z11i，z22i，z3i，z43i对应的点z1，z2，z3，z4，然后在复平面内画出这4个复数对应的向量【解】由题意知z1(1，)，z2(2，1)，z3(0，1)，z4(，3)如图所示，在复平面内，复数z1，z2，z3，z4对应的向量分别为，.一、选择题1过原点和i对应点的直线的倾斜角是()a.b c.d【解析】i在复平面上的对应点是(，1)，tan (0<)，.【答案】d2复数z(a22a)(a2a2)i对应的点在虚轴上，则a的值为()aa0或a2 ba0ca1且a2 da1或a2【解析】复数z(a22a)(a2a2)i对应的点在虚轴上，a22a0，a0或a2.【答案

10、】a3已知复数z1a2i，z22i，且|z1|z2|，则实数a()a1 b1c1或1 d±1或0【解析】由题意得，a21a±1.【答案】c4复数z与它的模相等的充要条件是()az为纯虚数 bz是实数cz是正实数 dz是非负实数【解析】设zabi，则|z|，又z|z|，即a.b0，a0，即z是非负实数【答案】d5设复数z(2t25t3)(t22t2)i，tr，则以下结论中正确的是()a复数z对应的点在第一象限b复数z一定不是纯虚数c复数z对应的点在实轴上方d复数z一定是实数【解析】2t25t30的252449>0，方程有两根，2t25t3的值可正可负，a、b不正确又t2

11、2t2(t1)21>0，d不正确，c正确【答案】c二、填空题6复数zlog3ilog3对应的点位于复平面内的第_象限【解析】log3<0，log3<0，z对应的点在第三象限【答案】三7若复数z135i，z21i，z32ai在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a_.【解析】设复数z1，z2，z3分别对应点p1(3，5)，p2(1，1)，p3(2，a)，由已知可得，从而可得a5.【答案】58已知复数z(x1)(2x1)i的模小于，则实数x的取值范围是_【解析】由题意得<，5x26x8<0，(5x4)(x2)<0，<x<2.【答案】(，2)三、解

12、答题9在复平面内，若复数z(m2m2)(m23m2)i的对应点，(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线yx上试分别求实数m的取值范围【解】复数z(m2m2)(m23m2)i的实部为m2m2，虚部为m23m2.(1)由题意，得m2m20，解得m2或m1.(2)由题意，得1m1，即m(1,1)(3)由已知，得m2m2m23m2，m2.10已知z1x2i，z2(x2a)i对任意的xr均有|z1|z2|成立，试求实数a的取值范围【解】|z1|，|z2|x2a|，且|z1|z2|，|x2a|对xr恒成立，等价于(12a)x2(1a2)0恒成立不等式等价于：解得a，a时，0·x2(1)0恒成立或：解得1a.a(1，)综上，可得实数a的取值范围是a|ar，且1a11如图311，平行四边形o